how to display pdf file in asp net using c# : Cut text from pdf document Library control class asp.net web page azure ajax Mathematics-Part1-Class-121-part1867

Acknowledgements
The Council gratefully acknowledges the valuable contributions of the following
participants of the Textbook Review Workshop: Jagdish Saran, Professor, Deptt. of
Statistics, University of Delhi; Quddus Khan, Lecturer, Shibli National P.G. College
Azamgarh (U.P.); P.K. Tewari, Assistant Commissioner (Retd.), Kendriya Vidyalaya
Sangathan; S.B. Tripathi, Lecturer, R.P.V.V. Surajmal Vihar, Delhi; O.N. Singh, Reader,
RIE, Bhubaneswar, Orissa; Miss Saroj, Lecturer, Govt. Girls Senior Secondary School
No.1, Roop Nagar, Delhi; P. Bhaskar Kumar, PGT, Jawahar Navodaya Vidyalaya,
Lepakshi, Anantapur, (A.P.); Mrs. S. Kalpagam, PGT, K.V. NAL Campus, Bangalore;
Rahul Sofat, Lecturer, Air Force Golden Jubilee Institute, Subroto Park, New Delhi;
Vandita Kalra, Lecturer, Sarvodaya Kanya Vidyalaya, Vikaspuri, District Centre,
New Delhi; Janardan Tripathi, Lecturer, Govt. R.H.S.S. Aizawl, Mizoram and
Ms. Sushma Jaireth, Reader, DWS, NCERT, New Delhi.
The Council acknowledges the efforts of Deepak Kapoor, Incharge, Computer
Station, Sajjad Haider Ansari, Rakesh Kumar and Nargis Islam,  D.T.P. Operators,
Monika Saxena,Copy Editor and Abhimanu Mohanty, Proof Reader.
The Contribution of APC-Office, administration of DESM and Publication
Department is also duly acknowledged.
Cut text from pdf document - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
delete text from pdf preview; can't copy and paste text from pdf
Cut text from pdf document - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
delete text from pdf online; get text from pdf online
CONSTITUTION OF INDIA
Fundamental Duties
Fundamental Duties – It shall be the duty of every citizen of India —
(a) to abide by the Constitution and respect its ideals and institutions, the National
Flag and the National Anthem;
(b) to cherish and follow the noble ideals which inspired our national struggle for
freedom;
(c) to uphold and protect the sovereignty, unity and integrity of India;
(d) to defend the country and render national service when called upon to do so;
(e) to promote harmony and the spirit of common brotherhood amongst all the people
of India transcending religious, linguistic and regional or sectional diversities;
to renounce practices derogatory to the dignity of women;
(f) to value and preserve the rich heritage of our composite culture;
(g) to protect and improve the natural environment including forests, lakes, rivers,
wildlife and to have compassion for living creatures;
(h) to develop the scientific temper, humanism and the spirit of inquiry and reform;
(i) to safeguard public property and to abjure violence;
(j) to strive towards excellence in all spheres of individual and collective activity so
that the nation constantly rises to higher levels of endeavour and achievement;
(k) who is a parent or guardian, to provide opportunities for education to his child
or, as the case may be, ward between the age of six and fourteen years.
Part IV A (Article 51 A)
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
C#.NET Program. Free PDF document processing SDK supports PDF page extraction, copying and pasting in Visual Studio .NET project.
delete text from pdf; copy text from pdf
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
Free PDF document manipulation SDK library compatible with Visual Studio and .NET framework 2.0+. VB.NET: Extract All Images from PDF Document.
copy highlighted text from pdf; get text from pdf file c#
Contents
P
ART
I
Foreword
v
Preface
vii
1. Relations and Functions
1
1.1 Introduction
1
1.2 Types of Relations
2
1.3 Types of Functions
7
1.4 Composition of Functions and Invertible Function
12
1.5 Binary Operations
19
2. Inverse Trigonometric Functions
33
2.1 Introduction
33
2.2 Basic Concepts
33
2.3 Properties of Inverse Trigonometric Functions
42
3. Matrices
56
3.1 Introduction
56
3.2 Matrix
56
3.3 Types of Matrices
61
3.4 Operations on Matrices
65
3.5 Transpose of a Matrix
83
3.6 Symmetric and Skew Symmetric Matrices
85
3.7 Elementary Operation (Transformation) of a Matrix
90
3.8 Invertible Matrices
91
4. Determinants
103
4.1 Introduction
103
4.2 Determinant
103
4.3 Properties of Determinants
109
4.4 Area of a Triangle
121
4.5 Minors and Cofactors
123
4.6 Adjoint and Inverse of a Matrix
126
4.7 Applications of Determinants and Matrices
133
VB.NET PDF copy, paste image library: copy, paste, cut PDF images
pasting into PDF page. Empower to cut, copy and paste a single image, multiple images and whole PDF document images. Allow to copy an
copy and paste text from pdf; copy text from protected pdf
C# PDF copy, paste image Library: copy, paste, cut PDF images in
image position accurately. Empower to cut, copy and paste a single image, multiple images and whole PDF document images. Allow to copy
extract text from pdf online; extract text from image pdf file
5. Continuity and Differentiability
147
5.1 Introduction
147
5.2 Continuity
147
5.3 Differentiability
161
5.4 Exponential and Logarithmic Functions
170
5.5 Logarithmic Differentiation
174
5.6 Derivatives of Functions in Parametric Forms
179
5.7 Second Order Derivative
181
5.8 Mean Value Theorem
184
6. Application of Derivatives
194
6.1 Introduction
194
6.2 Rate of Change of Quantities
194
6.3 Increasing and Decreasing Functions
199
6.4 Tangents and Normals
206
6.5 Approximations
213
6.6 Maxima and Minima
216
Appendix 1: Proofs in Mathematics
247
A.1.1 Introduction
247
A.1.2  What is a Proof?
247
Appendix 2: Mathematical Modelling
256
A.2.1 Introduction
256
A.2.2  Why Mathematical Modelling?
256
A.2.3  Principles of Mathematical Modelling
257
Answers
268
Supplementary Material
286
xiv
How to C#: Basic SDK Concept of XDoc.PDF for .NET
delete, re-order, copy, paste, cut, rotate, and PDF file text processing like text writing, extracting process images contained in PDF document, the following C#
cut text pdf; pdf text replace tool
VB.NET PDF: Basic SDK Concept of XDoc.PDF
delete, re-order, copy, paste, cut, rotate, and PDF file text processing like text writing, extracting process images contained in PDF document, the following VB
extract text from pdf with formatting; copy text from pdf to word
ʍ
There is no permanent place in the world for ugly mathematics ... . It may
be very hard to define mathematical beauty but that is just as true of
beauty of any kind, we may not know quite what we mean by a
beautiful poem, but that does not prevent us from recognising
one when we read it. — G. H. HARDY 
ʍ
1.1  Introduction
Recall that the notion of relations and functions, domain,
co-domain and range have been introduced in Class XI
along with different types of specific real valued functions
and their graphs. The concept of the term ‘relation’ in
mathematics has been drawn from the meaning of relation
in English language, according to which two objects or
quantities are related if there is a recognisable connection
or link between the two objects or quantities. Let  A be
the set of students of Class XII of a school and B be the
set of students of Class XI of the same school. Then some
of the examples of relations from A to B are
(i) {(a, b) 
A × B: a is brother of b},
(ii) {(a, b) 
A × B: a is sister of b},
(iii) {(a, b) 
A × B: age of a is greater than age of b},
(iv) {(a, b) 
A × B: total marks obtained by a in the final examination is less than
the total marks obtained by b in the final examination},
(v) {(a, b
A × B: a lives in the same locality as b}.  However, abstracting from
this, we define mathematically a relation R from A to B as an arbitrary subset
of A × B.
If (a, b) 
R, we say that a is related to b under the relation R and we write as
a R b. In general, (ab
R, we do not bother whether there is a recognisable
connection or link between and b. As seen in Class XI, functions are special kind of
relations.
In this chapter, we will study different types of relations and functions, composition
of functions, invertible functions and binary operations.
Chapter
1
RELATIONS AND FUNCTIONS
Lejeune Dirichlet
(1805-1859)
© NCERT
not to be republished
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
C#.NET PDF SDK - Insert Text to PDF Document in C#.NET. This C# coding example describes how to add a single text character to PDF document. // Open a document.
extracting text from pdf; cut text from pdf document
C# PDF remove image library: remove, delete images from PDF in C#.
Text: Replace Text in PDF. Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut Image in Page. Link: Edit URL. Bookmark: Edit
export highlighted text from pdf; can't copy text from pdf
MATHEMATICS
2
1.2  Types of Relations
In this section, we would like to study different types of relations. We know that a
relation in a set A is a subset of A × A. Thus, the empty set 
φ 
and A × A are two
extreme relations. For illustration, consider a relation R in the set A = {1, 2, 3, 4} given by
R = {(a, b): a – b = 10}. This is the empty set, as no pair (a, b) satisfies the condition
a – b = 10. Similarly, R
= {(ab) : | a – b | 
0} is the whole set A × A, as all pairs
(ab) in A × A satisfy | a – b | 
0. These two extreme examples lead us to the
following definitions.
Definition 1 A relation R in a set A is called empty relation, if no element of A is
related to any element of A, i.e., R = 
φ ⊂
A × A.
Definition 2  A relation R in a set A is called universal relation, if each element of A
is related to every element of A, i.e., R = A × A.
Both the empty relation and the universal relation are some times called trivial
relations.
Example 1 Let A be the set of all students of a boys school. Show that the relation R
in A given by R = {(ab) : a is sister of b} is the empty relation and R
= {(ab) : the
difference between heights of and b is less than 3 meters} is the universal relation.
Solution Since the school is boys school, no student of the school can be sister of any
student of the school. Hence, R = 
φ
, showing that R is the empty relation. It is also
obvious that the difference between heights of any two students of the school has to be
less than 3 meters. This shows that R
= A × A is the universal relation.
Remark In Class XI, we have seen two ways of representing a relation, namely raster
method and set builder method. However, a relation R in the set {1, 2, 3, 4} defined by R
 {(a, b)  : b  = a  +  1}  is  also  expressed  as b  if  and  only  if
b = a + 1 by many authors. We may also use this notation, as and when convenient.
If (ab
R, we say that a is related to b and we denote it as a R b.
One of the most important relation, which plays a significant role in Mathematics,
is an equivalence relation. To study equivalence relation, we first consider three
types of relations, namely reflexive, symmetric and transitive.
Definition 3 A relation R in a set A is called
(i) reflexive, if (aa
R, for every a
A,
(ii) symmetric, if (a
1
a
2
R implies that (a
2
a
1
)
R, for all a
1
a
2
A.
(iii) transitive, if (a
1
a
2
R and (a
2
a
3
)
R implies that (a
1
a
3
)
R, for all a
1
a
2
,
a
3
A.
© NCERT
not to be republished
RELATIONS AND FUNCTIONS
3
Definition 4 A relation R in a set A is said to be an equivalence relation if R is
reflexive, symmetric and transitive.
Example 2 Let T be the set of all triangles in a plane with R a relation in T given by
R = {(T
1
, T
2
) : T
1
is congruent to T
2
}. Show that R is an equivalence relation.
Solution R is reflexive, since every triangle is congruent to itself. Further,
(T
1
, T
2
T
1
is congruent to T
2
T
2
is congruent to T
1
(T
2
, T
1
R. Hence,
R is symmetric. Moreover, (T
1
, T
2
), (T
2
, T
3
T
1
is  congruent to T
2
and T
2
is
congruent to T
3
T
1
is congruent to T
3
(T
1
, T
3
R. Therefore, R is an equivalence
relation.
Example 3 Let L be the set of all lines in a plane and R be the relation in L defined as
R = {(L
1
, L
2
) : L
1
is perpendicular to L
2
}. Show that R is symmetric but neither
reflexive nor transitive.
Solution R is not reflexive, as a line L
1
can not be perpendicular to itself, i.e., (L
1
, L
1
)
R. R is symmetric as (L
1
, L
2
R
L
1
is perpendicular to L
2
L
2
is perpendicular to L
1
(L
2
, L
1
R.
R is not transitive. Indeed, if L
1
is perpendicular to L
2
and
L
2
is perpendicular to L
3
, then L
1
can never be perpendicular to
L
3
. In fact, L
1
is parallel to L
3
, i.e., (L
1
, L
2
R, (L
2
, L
3
R but (L
1
, L
3
R.
Example 4 Show that the relation R in the set {1, 2, 3} given by R = {(1, 1), (2, 2),
(3, 3), (1, 2), (2, 3)} is reflexive but neither symmetric nor transitive.
Solution R is reflexive, since (1, 1), (2, 2) and (3, 3) lie in R. Also, R is not symmetric,
as (1, 2) 
R but (2, 1) 
R. Similarly, R is not transitive, as (1, 2) 
R and (2, 3) 
R
but (1, 3) 
R.
Example 5 Show that the relation R in the set Z of integers given by
R = {(a, b) : 2 divides a – b}
is an equivalence relation.
Solution R is reflexive, as 2 divides (– a) for all a 
∈ 
Z. Further, if (a, b
R, then
2 divides a – b. Therefore, 2 divides b – a. Hence, (ba
R, which shows that R is
symmetric. Similarly, if (a, b
R and (bc
R, then a – b and  c are divisible by
2. Now, a – c = (a – b) + ( c) is even (Why?). So, (a – c) is divisible by 2. This
shows that R is transitive. Thus, R is an equivalence relation in Z.
Fig 1.1
© NCERT
not to be republished
MATHEMATICS
4
In Example 5, note that all even integers are related to zero, as (0, ± 2), (0, ± 4)
etc., lie in R and no odd integer is related to 0, as (0, ± 1), (0, ± 3) etc., do not lie in R.
Similarly, all odd integers are related to one and no even integer is related to one.
Therefore, the set E of all even integers and the set O of all odd integers are subsets of
Z satisfying following conditions:
(i) All elements of E are related to each other and all elements of O are related to
each other.
(ii) No element of E is related to any element of O and vice-versa.
(iii) E and O are disjoint and Z = E 
∪ 
O.
The subset E is called the equivalence class containing zero and is denoted by
[0]. Similarly, O is the equivalence class containing 1 and is denoted by [1]. Note that
[0] 
[1], [0] = [2r] and [1] = [2r + 1], r 
Z. Infact, what we have seen above is true
for an arbitrary equivalence relation R in a set X. Given an arbitrary equivalence
relation R in an arbitrary set X, R divides X into mutually disjoint subsets A
i
called
partitions or subdivisions  of X satisfying:
(i) all elements of A
i
are related to each other, for all i.
(ii) no element of A
i
is related to any element of A
j
i 
j.
(iii)
A
j
= X and A
i
A
j
φ
i 
j.
The subsets A
i
are called equivalence classes. The interesting part of the situation
is that we can go reverse also. For example, consider a subdivision of the set Z given
by three mutually disjoint subsets A
1
, A
2
and A
3
whose union is Z with
A
1
= {x 
Z : x is a multiple of 3} = {..., – 6, – 3, 0, 3, 6, ...}
A
2
= {x 
Z : – 1 is a multiple of 3} = {..., – 5, – 2, 1, 4, 7, ...}
A
3
= {x 
Z : – 2 is a multiple of 3} = {..., – 4, – 1, 2, 5, 8, ...}
Define a relation R in Z given by R = {(ab) : 3 divides  b}. Following the
arguments similar to those used in Example 5, we can show that R is an equivalence
relation. Also, A
1
coincides with the set of all integers in Z which are related to zero, A
2
coincides with the set of all integers which are related to 1 and A
3
coincides with the
set of all integers in Z which are related to 2. Thus, A
1
= [0], A
2
= [1] and A
3
= [2].
In fact, A
1
= [3r], A
2
= [3r + 1] and A
3
= [3r + 2], for all r 
Z.
Example 6 Let R be the relation defined in the set A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} by
R = {(ab) : both a and b are either odd or even}. Show that R is an equivalence
relation. Further, show that all the elements of the subset {1, 3, 5, 7} are related to each
other and all the elements of the subset {2, 4, 6} are related to each other, but no
element of the subset {1, 3, 5, 7} is related to any element of the subset {2, 4, 6}.
© NCERT
not to be republished
RELATIONS AND FUNCTIONS
5
Solution Given any element a in A, both a and a must be either odd or even, so
that (a, a) 
R. Further, (a, b) 
both a and b must be either odd or even
(ba) 
R. Similarly, (a, b
R and (bc) 
all elements a, b, c, must be
either even or odd simultaneously 
(ac) 
R. Hence, R is an equivalence relation.
Further, all the elements of {1, 3, 5, 7} are related to each other, as all the elements
of this subset are odd. Similarly, all the elements of the subset {2, 4, 6} are related to
each other, as all of them are even. Also, no element of the subset {1, 3, 5, 7} can be
related to any element of {2, 4, 6}, as elements of {1, 3, 5, 7} are odd, while elements
of {2, 4, 6} are even.
EXERCISE 1.1
1. Determine whether each of the following relations are reflexive, symmetric and
transitive:
(i) Relation R in the set A = {1, 2, 3, ..., 13, 14} defined as
R = {(xy) : 3x – y = 0}
(ii) Relation R in the set N of natural numbers defined as
R = {(xy) : x + 5 and x < 4}
(iii) Relation R in the set A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} as
R = {(x, y) : is divisible by x}
(iv) Relation R in the set Z of all integers defined as
R = {(xy) : – y is an integer}
(v) Relation R in the set A of human beings in a town at a particular time given by
(a)  R = {(xy) : and y work at the same place}
(b)  R = {(x, y) : and y live in the same locality}
(c)  R = {(xy) : is exactly 7 cm taller than y}
(d)  R = {(xy) : is wife of y}
(e)  R = {(xy) : is father of y}
2. Show that the relation R in the set R of real numbers, defined as
R = {(a, b) : a 
b
2
} is neither reflexive nor symmetric nor transitive.
3. Check whether the relation R defined in the set {1, 2, 3, 4, 5, 6} as
R = {(a, b) : b = a + 1} is reflexive, symmetric or transitive.
4. Show that the relation R in R defined as R = {(ab) : a 
b}, is reflexive and
transitive but not symmetric.
5. Check whether the relation R in R defined by R = {(ab) : 
b
3
} is reflexive,
symmetric or transitive.
© NCERT
not to be republished
MATHEMATICS
6
6. Show that the relation R in  the set {1, 2, 3} given by R = {(1, 2), (2, 1)} is
symmetric but neither reflexive nor transitive.
7. Show that the relation R in the set A of all the books in a library of a college,
given by R = {(x, y) : x and y have same number of pages} is an equivalence
relation.
8. Show that the relation R in the set A = {1, 2, 3, 4, 5} given by
R = {(a, b) : |– b| is even}, is an equivalence relation. Show that all the
elements of {1, 3, 5} are related to each other and all the elements of {2, 4} are
related to each other. But  no element of {1, 3, 5} is related to any element of {2, 4}.
9. Show that each of the relation R in the set A = {x 
Z : 0 
x 
12}, given by
(i) R = {(ab) : |a – b| is a multiple of 4}
(ii) R = {(ab) : a = b}
is an equivalence relation. Find the set of all elements related to 1 in each case.
10. Give an example of a relation. Which is
(i) Symmetric but neither reflexive nor transitive.
(ii) Transitive but neither reflexive nor symmetric.
(iii) Reflexive and symmetric but not transitive.
(iv) Reflexive and transitive but not symmetric.
(v) Symmetric and transitive but not reflexive.
11. Show that the relation R in the set A of points in a plane given by
R = {(P, Q) : distance of the point P from the origin is same as the distance of the
point Q from the origin}, is an equivalence relation. Further, show that the set of
all points related to a point P 
(0, 0) is the circle passing through P with origin as
centre.
12. Show that the relation R defined in the set A of all triangles as R = {(T
1
, T
2
) : T
1
is similar to T
2
}, is equivalence relation. Consider three right angle triangles T
1
with sides 3, 4, 5,  T
2
with sides 5, 12, 13 and T
3
with sides 6, 8, 10. Which
triangles among T
1
, T
2
and T
3
are related?
13. Show that the relation R defined in the set A of all polygons as R = {(P
1
, P
2
) :
P
1
and P
2
have same number of sides}, is an equivalence relation. What is the
set of all elements in A related to the right angle triangle T with sides 3, 4 and 5?
14. Let L be the set of all lines in XY plane and R be the relation in L defined as
R = {(L
1
, L
2
) : L
1
is parallel to L
2
}. Show that R is an equivalence relation. Find
the set of all lines related to the line y = 2x + 4.
© NCERT
not to be republished
Documents you may be interested
Documents you may be interested