﻿

# how to display pdf file in asp net using c# : Copy text from scanned pdf software application project winforms windows asp.net UWP Mathematics-Part1-Class-1210-part1868

MATRICES         87
Example 22 Express the matrix
2
2
4
B
1
3
4
1
2
3
= −
as the sum of a symmetric and a
skew symmetric matrix.
Solution Here
B
=
2
1
1
2
3
2
4
4
3
Let
P =
4
3
3
1
1
(B + B )
3 6
2
2
2
3 2
6
=
3
3
2
2
2
3
3
1
2
3
1
3
2
,
Now
P
=
3
3
2
2
2
3
3
1
2
3
1
3
2
= P
Thus
P =
1
(B +B )
2
is a symmetric matrix.
Also, let
Q =
1
5
0
2
2
0
1
5
1
1
1
(B – B )
1
0
6
0
3
2
2
2
5
6
0
5
3
0
2
′ =
=
Then
Q
=
1
5
0
2
3
1
0
3
Q
2
5
3
0
2
− = −
not to be republished
Copy text from scanned pdf - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
copy formatted text from pdf; erase text from pdf
Copy text from scanned pdf - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
extract text from scanned pdf; copy text from pdf in preview
88
MATHEMATICS
Thus
Q =
1
(B – B )
2
is a skew symmetric matrix.
Now
3
3
1
5
2
0
2
2
2
2
2
2
4
3
1
P+ Q
3
1
0
3
1
3
4
B
2
2
1
2
3
3
5
1
3
3
0
2
2
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
=
+
=−
=
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Thus, B is represented as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix.
EXERCISE 3.3
1. Find the transpose of each of the following matrices:
(i)
5
1
2
1
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(ii)
1
1
2
3
(iii)
1 5
6
3 5
6
2
3
1
2. If
1 2 3
4 1
5
A
5 7 9 and B
1 2
0
2 1 1
1 3
1
=
=
, then verify that
(i) (A + B)
= A
+ B
′,
(ii) (A – B)
= A
– B
3. If
3 4
1 2 1
A
1 2 and B
1 2 3
0 1
= −
=
, then verify that
(i) (A + B)
= A
+ B
(ii) (A – B)
= A
– B
4. If
2 3
1 0
A
and B
1 2
1 2
=
=
, then find (A + 2B)
5. For the matrices A and B, verify that (AB)
= B
A
, where
(i)
[
]
1
A
4 , B
1 2 1
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
=−
= −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(ii)
[
]
0
A
1 , B
1 5 7
2
⎡ ⎤
⎢ ⎥
=
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
not to be republished
C# PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR SDK
C#.NET convert PDF to images, C#.NET PDF file & pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C# C#.NET PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR
find and replace text in pdf file; copying text from pdf to excel
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
Powerful .NET PDF edit control allows modify existing scanned PDF text. Ability to change text font, color, size and location and output a new PDF document.
copy paste pdf text; copy text from pdf with formatting
MATRICES         89
6. If(i)
cos
sin
A
sin
cos
α
α
=
α
α
, then verify that A
A = I
(ii) If
sin
cos
A
cos
sin
α
α
=
α
α
, then verify that A
A = I
7.
(i) Show that the matrix
1
1 5
A
1
2 1
5
1 3
=−
is a symmetric matrix.
(ii)  Show that the matrix
0
1 1
A
1
0 1
1
1 0
= −
is a skew symmetric matrix.
8. For the matrix
1 5
A
6 7
=
, verify that
(i) (A + A
) is a symmetric matrix
(ii) (A – A
) is a skew symmetric matrix
9. Find
(
)
1
A A
2
+
and
(
)
1
A A
2
, when
0
A
0
0
a b
a
c
b
c
= −
10. Express the following matrices as the sum of a symmetric and a skew symmetric
matrix:
(i)
3
5
1
1
(ii)
6
2 2
2
3 1
2
1 3
(iii)
3
3
1
2
2
1
4
5
2
(iv)
1 5
1 2
not to be republished
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
be converted to plain text. Text can be extracted from scanned PDF image with OCR component. Professional PDF to text converting library
copy paste text pdf; copy highlighted text from pdf
C# PDF - Read Barcode on PDF in C#.NET
C#.NET convert PDF to images, C#.NET PDF file & pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C#.NET rotate PDF pages, C#.NET search text in PDF, C#.NET
get text from pdf into excel; extract text from pdf java open source
90
MATHEMATICS
Choose the correct answer in the Exercises 11 and 12.
11. If A, B are symmetric matrices of same order, then AB – BA is a
(A) Skew symmetric matrix
(B) Symmetric matrix
(C) Zero matrix
(D) Identity matrix
12. If
cos
sin
A
,
sin
cos
α −
α
=
α
α
then  A + A
= I, if the value of
α
is
(A)
6
π
(B)
3
π
(C)
π
(D)
3
2
π
3.7  Elementary Operation (Transformation) of a Matrix
There are six operations (transformations) on a matrix, three of which are due to rows
and three due to columns, which are  known as elementary operations or
transformations.
(i) The interchange of any two rows or two columns. Symbolically the interchange
of i
th
and j
th
rows is denoted by R
i
R
j
and interchange of i
th
and j
th
column is
denoted by C
i
C
j
.
For example, applying R
1
R
2
to
1
2
1
A
1
3 1
5
6
7
=−
, we get
1
3 1
1
2
1
5
6
7
.
(ii) The multiplication of the elements of any row or column by a non zero
number. Symbolically, the multiplication of each element of the i
th
row by k,
where k
≠
0 is denoted by R
i
kR
i
.
The corresponding column  operation is denoted by C
i
kC
i
For example, applying
3
3
1
C
C
7
, to
1
2 1
B
1
3 1
=
, we get
1
1
2
7
1
1
3
7
(iii) The addition to the elements of any row or column, the corresponding
elements of any other row or column multiplied by any non zero number.
Symbolically, the addition to the elements of i
th
row, the corresponding elements
of j
th
row multiplied by k is denoted by R
i
R
i
kR
j
.
not to be republished
VB.NET PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in vb.net
characters. Text extraction from scanned PDF image with OCR component in VB.NET. Free Library and source codes for VB.NET class. RasterEdge
export text from pdf to excel; extract text from pdf online
VB.NET PDF insert text library: insert text into PDF content in vb
Powerful .NET PDF edit control able to perform modification of existing scanned PDF file in VB.NET. Save text font, color, size and location changes to existing
copy text from pdf without formatting; copy text from protected pdf
MATRICES         91
The corresponding column operation is denoted by C
i
C
i
kC
j
.
For example, applying R
2
R
2
– 2R
1
, to
1
2
C
2
1
=
, we get
1
2
0
5
.
3.8  Invertible Matrices
Definition 6 If A is a square matrix of order m, and if there exists another square
matrix B of the same order m, such that AB = BA = I, then B is called the inverse
matrix of A and it is denoted by A
– 1
. In that case A is said to be invertible.
For example, let
A =
2 3
1 2
and B =
2 3
1 2
be two matrices.
Now
AB =
2 3
2 3
1 2
1 2
⎤⎡
⎥⎢
⎦⎣
=
4 3
6 6
1 0
I
2 2
3 4
0 1
− +
⎤ ⎡
=
=
⎥ ⎢
− +
⎦ ⎣
Also
BA =
1 0
I
0 1
=
. Thus B is the inverse of A, in other
words B = A
– 1
and A is inverse of B, i.e., A = B
–1
\$
Note
1. A rectangular matrix does not possess inverse matrix, since for products BA
and AB to be defined and to be equal, it is necessary that matrices A and B
should be square matrices of the same order.
2. If B is the inverse of A, then A is also the inverse of B.
Theorem 3 (Uniqueness of inverse) Inverse of a square matrix, if it exists, is unique.
Proof Let A = [a
ij
] be a square matrix of order m. If possible, let B and C be two
inverses of A. We shall show that B = C.
Since B is the inverse of A
AB = BA = I
... (1)
Since C is also the inverse of A
AC = CA = I
... (2)
Thus
B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C
Theorem 4 If A and B are invertible matrices of the same order, then (AB)
–1
= B
–1
A
–1
.
not to be republished
VB.NET PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR SDK
Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut Image in Page. VB.NET PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR
delete text from pdf file; copy text from scanned pdf
VB.NET Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF
& pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C# NET rotate PDF pages, C#.NET search text in PDF Create searchable and scanned PDF files from Excel in VB
extracting text from pdf; extract text from pdf
92
MATHEMATICS
Proof From the definition of inverse of a matrix, we have
(AB) (AB)
–1
= 1
or
A
–1
(AB) (AB)
–1
= A
–1
I
(Pre multiplying both sides by A
–1
)
or
(A
–1
A) B (AB)
–1
= A
–1
(Since A
–1
I = A
–1
)
or
IB (AB)
–1
= A
–1
or
B (AB)
–1
= A
–1
or
B
–1
B (AB)
–1
= B
–1
A
–1
or
I (AB)
–1
= B
–1
A
–1
Hence
(AB)
–1
= B
–1
A
–1
3.8.1  Inverse of a matrix by elementary operations
Let X, A and B be matrices of, the same order such that X = AB. In order to apply a
sequence of elementary row operations on the matrix equation X = AB, we will apply
these row operations simultaneously on X and on the first matrix A of the product AB
on RHS.
Similarly, in order to apply a sequence of elementary column operations on the
matrix equation X = AB, we will apply, these operations simultaneously on X and on the
second matrix B of the product AB on RHS.
In view of the above discussion, we conclude that if A is a matrix such that A
–1
exists, then to find A
–1
using elementary row operations, write A = IA and apply a
sequence of row operation on A = IA till we get, I = BA. The matrix B will be the
inverse of A. Similarly, if we wish to find A
–1
using column operations, then, write
A = AI and apply a sequence of column operations on A = AI till we get, I = AB.
Remark In case, after applying one or more elementary row (column) operations on
A = IA (A = AI), if we obtain all zeros in one or more rows of the matrix A on L.H.S.,
then A
–1
does not exist.
Example 23 By using elementary operations, find the inverse of the matrix
1
2
A=
2
1
.
Solution In order to use elementary row operations we may write A = IA.
or
1
2
1 0
1
2
1 0
A, then
A
2
1
0 1
0
5
2 1
⎤ ⎡
⎤ ⎡
=
=
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎦ ⎣
(applying R
2
R
2
– 2R
1
)
not to be republished
MATRICES         93
or
1 2
0 1
=
1
0
A
2
1
5
5
(applying R
2
–
1
5
R
2
)
or
1 0
0 1
=
1
2
5
5
A
2
1
5
5
(applying R
1
R
1
– 2R
2
)
Thus
A
–1
=
1
2
5
5
2
1
5
5
Alternatively, in order to use elementary column operations, we write A = AI, i.e.,
1
2
2
1
=
1 0
A
0 1
Applying C
2
C
2
– 2C
1
, we get
1
0
2
5
=
1
2
A
0
1
Now applying C
2
2
1
C
5
, we have
1 0
2 1
=
2
1
5
A
1
0
5
Finally, applying C
1
C
1
– 2C
2
, we obtain
1 0
0 1
=
1
2
5
5
A
2
1
5
5
Hence
A
–1
=
1
2
5
5
2
1
5
5