how to display pdf file in asp net using c# : Cut and paste text from pdf document SDK control API wpf web page windows sharepoint Mathematics-Part1-Class-1211-part1869

MATRICES         97
or
1
1
5
0 0
=
1
0
10
P
1
1
2
(applying R
2
R
2
+ 5R
1
)
We have all zeros in the second row of the left hand side matrix of the above
equation. Therefore, P
–1
does not exist.
EXERCISE 3.4
Using elementary transformations, find the inverse of each of the matrices, if it exists
in Exercises 1 to 17.
1.
1
1
2
3
2.
2 1
1 1
3.
1 3
2 7
4.
2 3
5 7
5.
2 1
7 4
6.
2 5
1 3
7.
3 1
5 2
8.
4 5
3 4
9.
3 10
2
7
10.
3
1
4
2
11.
2 6
1
2
12.
6
3
2
1
13.
2
3
1
2
14.
2 1
4 2
.
15.
2
3 3
2
2 3
3
2 2
16.
1
3
2
3 0
5
2 5
0
17.
2 0
1
5 1 0
0 1 3
18. Matrices A and B will be inverse of each other only if
(A) AB = BA
(B) AB = BA = 0
(C) AB = 0, BA = I
(D) AB = BA = I
© NCERT
not to be republished
Cut and paste text from pdf document - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
how to copy and paste pdf text; copy text from pdf online
Cut and paste text from pdf document - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
acrobat remove text from pdf; copy paste text pdf file
98
MATHEMATICS
Miscellaneous Examples
Example 26 If 
cos
sin
A
sin
cos
θ
θ
=
θ
θ
, then prove that 
cos
sin
A
sin
cos
n
n
n
n
n
θ
θ
=
θ
θ
n 
N.
Solution We shall prove the result by using principle of mathematical induction.
We have
P(n) : If 
cos
sin
A
sin
cos
θ
θ
=
θ
θ
then 
cos
sin
A
sin
cos
n
n
n
n
n
θ
θ
=
θ
θ
n 
N
P(1) : 
cos
sin
A
sin
cos
θ
θ
=
θ
θ
, so
1
cos
sin
A
sin
cos
θ
θ
=
θ
θ
Therefore,
the result is true for n = 1.
Let the result be true for n = k. So
P(k) : 
cos
sin
A
sin
cos
θ
θ
=
θ
θ
, then 
cos
sin
A
sin
cos
k
k
k
k
k
θ
θ
=
θ
θ
Now, we prove that the result holds for n = k +1
Now
A
+ 1
=
cos
sin
cos
sin
A A
sin
cos
sin
cos
k
k
k
k
k
θ
θ
θ
θ
⎤⎡
=
⎥⎢
θ
θ −
θ
θ
⎦⎣
=
cos cos
–sin sin
cos sin
sin cos
sin cos
cos sin
sin sin
cos cos
k
k
k
k
k
k
k
k
θ
θ
θ
θ
θ
θ+
θ
θ
θ
θ+
θ
θ −
θ
θ+
θ
θ
=
cos(
) sin(
)
cos( 1)
sin( 1)
sin (
) cos(
)
sin ( 1)
cos( 1)
k
k
k
k
k
k
k
k
θ+ θ
θ
θ+ θ
+ θ
+ θ
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
θ+ θ
θ+ θ
+ θ
+ θ
⎦ ⎣
Therefore, the result is true for n = k  + 1. Thus by principle of mathematical induction,
we have 
cos
sin
A
sin
cos
n
n
n
n
n
θ
θ
=
θ
θ
, holds for all natural numbers.
Example 27 If A and B are symmetric matrices of the same order, then show that AB
is symmetric if and only if A and B commute, that is AB = BA.
Solution Since A and B are both symmetric matrices, therefore A
= A and B
= B.
Let
AB be symmetric, then (AB)
= AB
© NCERT
not to be republished
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
In this online article, we will address the robust functionality to copy and paste PDF page(s) in C#.NET document imaging application.
extract text from pdf open source; extract highlighted text from pdf
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
filepath) ' Copy the first page of PDF document. Dim page As PDFPage = doc.DuplicatePage(1) ' Do further manipulations VB.NET: Copy and Paste PDF Pages.
copy and paste text from pdf; copy text from locked pdf
MATRICES         99
But
(AB)
= B
A
= BA (Why?)
Therefore
BA = AB
Conversely, if AB = BA, then we shall show that AB is symmetric.
Now
(AB)
= B
A
=B A (as A and B are symmetric)
=AB
Hence AB is symmetric.
Example 28 Let 
2
1
5 2
2 5
A
,B
,C
3
4
7 4
3 8
=
=
=
. Find a matrix D such that
CD – AB = O.
Solution Since A, B, C are all square matrices of order 2, and CD – AB is well
defined, D must be a square matrix of order 2.
Let
D = 
a b
c d
. Then CD – AB = 0 gives
or
2 5
2
1 5 2
3 8
3
4 7 4
a b
c d
⎤⎡
⎤ ⎡
⎤⎡
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎦⎣
⎦ ⎣
⎦⎣
= O
or
2
5
2
5
3
0
3
8
3
8
43 22
a
c
b
d
a
c
b
d
+
+
⎤ ⎡
⎥ ⎢
+
+
⎦ ⎣
=
0 0
0 0
or
2
5
3
2
5
3
8
43 3
8
22
a
c
b
d
a
c
b
d
+
+
+
+
0 0
0 0
By equality of matrices, we get
2a + 5c – 3 = 0
... (1)
3a + 8c – 43 = 0
... (2)
2b + 5d = 0
... (3)
and
3b + 8d – 22 = 0
... (4)
Solving (1) and (2), we get a = –191, c = 77. Solving (3) and (4), we get b = – 110,
d = 44.
Therefore
D =
191
110
77
44
a b
c d
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF copy, paste image library: copy, paste, cut PDF images
pasting into PDF page. Empower to cut, copy and paste a single image, multiple images and whole PDF document images. Allow to copy an
cut text pdf; copy formatted text from pdf
C# PDF copy, paste image Library: copy, paste, cut PDF images in
image position accurately. Empower to cut, copy and paste a single image, multiple images and whole PDF document images. Allow to copy
export text from pdf; extract all text from pdf
100
MATHEMATICS
Miscellaneous Exercise on Chapter 3
1. Let 
0 1
A
0 0
=
, show that (aI + bA)
n
a
I + na
– 1 
bA, where I is the identity
matrix of order 2 and 
N.
2. If 
1 1 1
A
1 1 1
1 1 1
=
, prove that 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
A
3
3
3
,
.
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
N
3. If 
3
4
1 2
4
A
,then prove that A
1
1
1 2
n
n
n
n
n
+
=
=
, where n is any positive
integer.
4. If A and B are symmetric matrices, prove that AB – BA is a skew symmetric
matrix.
5. Show that the matrix B
AB is symmetric or skew symmetric according as A is
symmetric or skew symmetric.
6. Find the values of xyz if the matrix 
0 2
A
y
z
x
y
z
x
y
z
=
satisfy the equation
A
A  = I.
7. For what values of x : 
[
]
1 2 0
0
1 2 1 2 0 1
2
1 0 2
x
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣ ⎦
= O?
8. If 
3 1
A
1 2
=
, show that A
2
– 5A + 7I = 0.
9. Find x, if 
[
]
1 0 2
5
1 0 2 1 4
O
2 0 3 1
x
x
⎤⎡ ⎤
⎥⎢ ⎥
=
⎥⎢ ⎥
⎥⎢ ⎥
⎦⎣ ⎦
© NCERT
not to be republished
C# PDF Convert to Images SDK: Convert PDF to png, gif images in C#
Cut and paste any areas in PDF pages to images. Supports to resize images in conversion. RasterEdge.com provides C# developers with mature PDF document
extract pdf text to excel; copy text from pdf reader
C# PDF remove image library: remove, delete images from PDF in C#.
Text: Replace Text in PDF. Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut Image in Page. Link: Edit URL. Bookmark: Edit
erase text from pdf file; extract text from pdf image
MATRICES         101
10. A manufacturer produces three products xyz which he sells in two markets.
Annual sales are indicated below:
Market
Products
I
10,000
2,000
18,000
II
6,000
20,000
8,000
(a) If unit sale prices of xy and z are Rs 2.50, Rs 1.50 and Rs 1.00, respectively,
find the total revenue in each market with the help of matrix algebra.
(b) If the unit costs of the above three commodities are Rs 2.00, Rs 1.00 and 50
paise respectively. Find the gross profit.
11. Find the matrix X so that 
1 2 3
7
8
9
X
4 5 6
2
4
6
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
12. If A and B are square matrices of the same order such that AB = BA, then prove
by induction that AB
n
= B
n
A. Further, prove that (AB)
n 
= A
n
B
n
for all n 
N.
Choose the correct answer in the following questions:
13. If A =
is such that A² = I, then
(A) 1 + 
α
² + 
βγ
= 0
(B) 1 – 
α
² + 
βγ
= 0
(C) 1 – 
α
² – 
βγ
= 0
(D) 1 + 
α
² – 
βγ
= 0
14. If the matrix A is both symmetric and skew symmetric, then
(A) A is a diagonal matrix
(B) A is a zero matrix
(C) A is a square matrix
(D) None of these
15. If A is square matrix such that A
2
= A, then (I + A)³ – 7 A is equal to
(A) A
(B) I – A
(C) I
(D) 3A
Summary
ʄ
A matrix is an ordered rectangular array of numbers or functions.
ʄ
A matrix having rows and n columns is called a matrix of order m × n.
ʄ
[a
ij
]
m × 1
is a column matrix.
ʄ
[a
ij
]
1 × n
is a row matrix.
ʄ
An m × n matrix is a square matrix if m = n.
ʄ
A = [a
ij
]
m × m
is a diagonal matrix if a
ij
= 0, when i 
j.
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF url edit library: insert, remove PDF links in vb.net
Easy to put link into specified position, such as PDF text, image and PDF table. Copy, cut and paste PDF link to another PDF file in VB.NET project.
copy text from protected pdf to word; delete text from pdf online
How to C#: Basic SDK Concept of XDoc.PDF for .NET
delete, re-order, copy, paste, cut, rotate, and PDF file text processing like text writing, extracting process images contained in PDF document, the following C#
extract text from pdf c#; .net extract text from pdf
102
MATHEMATICS
ʄ
A = [a
ij
]
n × n
is a scalar matrix if a
ij
= 0, when i 
ja
ij
k, (k is some
constant), when i = j.
ʄ
A = [a
ij
]
n × n
is  an identity matrix, if a
ij
= 1, when i = ja
ij
= 0, when i 
j.
ʄ
A zero matrix has all its elements as zero.
ʄ
A = [a
ij
]
= [b
ij
] = B if (i) A and B are of same order, (ii)  a
ij
b
ij
for all
possible values of i and j.
ʄ
kA = k[a
ij
]
m × n
= [k(a
ij
)]
m × n
ʄ
– A = (–1)A
ʄ
A – B = A + (–1) B
ʄ
A + B = B + A
ʄ
(A + B) + C = A + (B + C), where A, B and C are of same order.
ʄ
k(A + B) = kA + kB, where A and B are of same order, k is constant.
ʄ
(k + l) A = kA + lA, where k and l are constant.
ʄ
If A = [a
ij
]
m × n
and B = [b
jk
]
n × p
, then AB = C = [c
ik
]
m × p
, where 
1
n
ik
ij jk
j
c
a b
=
=
ʄ
(i) A(BC) = (AB)C,  (ii)   A(B + C) = AB + AC,  (iii)   (A + B)C = AC + BC
ʄ
If A = [a
ij
]
× n
, then A
or A
T
= [a
ji
]
n × m
ʄ
(i) (A
)
= A,  (ii)   (kA)
kA
 (iii)   (A + B)
= A
+ B
 (iv)  (AB)
= B
A
ʄ
A is a symmetric matrix if A
= A.
ʄ
A is a skew symmetric matrix if A
= –A.
ʄ
Any square matrix can be represented as the sum of a symmetric and a
skew symmetric matrix.
ʄ
Elementary operations of a matrix are as follows:
(i) R
i
R
j 
or C
i
C
j
(ii) R
i
kR
i 
or C
i
kC
i
(iii) R
i
R
+
kR
j 
or C
i
C
+
kC
j
ʄ
If A and B are two square matrices such that AB = BA = I, then B is the
inverse matrix of A and is denoted by A
–1
and A is the inverse of B.
ʄ
Inverse of a square matrix, if it exists, is unique.
ʍʍ
ʍʍʍ
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET. Support PDF Image Extraction from a Page, a Region on a Page, and PDF Document in VB.NET Project.
copy pdf text to word with formatting; delete text from pdf preview
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
How to C#: Extract Image from PDF Document. Support PDF Image Extraction from a Page, a Region on a Page, and PDF Document. C#.NET
copy and paste text from pdf to word; cut text from pdf document
ʍ
All Mathematical truths are relative and conditional. — C.P. STEINMETZ
ʍ
4.1  Introduction
In the previous chapter, we have studied about matrices
and algebra of matrices. We have also learnt that a system
of algebraic equations can be expressed in the form of
matrices. This means, a system of linear equations like
a
1
x + b
1
y =c
1
a
2
x + b
2
y =c
2
can be represented as 
1
1
1
2
2
2
a
b
c
x
a
b
c
y
⎡ ⎤
⎡ ⎤
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
. Now, this
system of equations has a unique solution or not, is
determined by the number a
1
b
2
– a
b
1
. (Recall that if
1
1
2
2
a
b
a
b
or, a
1
b
2
– a
b
1
0,  then the system of linear
equations has a unique solution). The number a
1
b
2
– a
b
1
which determines uniqueness of solution is associated with the matrix 
1
1
2
2
A
a
b
a
b
=
and is called the determinant of A or det A. Determinants have wide applications in
Engineering, Science, Economics, Social Science, etc.
In this chapter, we shall study determinants up to order three only with real entries.
Also, we will study various properties of determinants, minors, cofactors and applications
of determinants in finding the area of a triangle, adjoint and inverse of a square matrix,
consistency and inconsistency of system of linear equations and solution of linear
equations in two or three variables using inverse of a matrix.
4.2  Determinant
To every square matrix A = [a
ij
] of order n, we can associate a number (real or
complex) called determinant of the square matrix A, where a
ij
= (ij)
th
element of A.
Chapter
4
DETERMINANTS
P.S. Laplace
(1749-1827)
© NCERT
not to be republished
104
MATHEMATICS
This may be thought of as a function which associates each square matrix with a
unique number (real or complex). If M is the set of square matrices, K is the set of
numbers (real or complex) and : M 
K is defined by f (A) = k, where A 
M and
k 
K, then f (A) is called the determinant of A. It is also denoted by |A| or det A or 
Δ
.
If A = 
a b
c d
, then determinant of A is written as |A| = 
a b
c d
= det (A)
Remarks
(i) For matrix A, |A| is read as determinant of A and not modulus of A.
(ii) Only square matrices have determinants.
4.2.1  Determinant of a matrix of order one
Let A = [a] be the matrix of order 1, then determinant of A is defined to be equal to a
4.2.2  Determinant of a matrix of order two
Let
A = 
11
12
21
22
a
a
a
a
be a matrix of order 2 × 2,
then the determinant of A is defined as:
det (A) = |A| = 
Δ
a
11
a
22
– a
21
a
12
Example 1 Evaluate 
2 4
–1 2
.
Solution We have 
2 4
–1 2
= 2(2) – 4(–1) = 4 + 4 = 8.
Example 2 Evaluate 
1
–1
x
x
x
x
+
Solution We have
1
–1
x
x
x
x
+
x (x) – (x + 1) (x – 1)  = x
2
– (x
2
– 1) = x
2
– x
2
+ 1 = 1
4.2.3  Determinant of a matrix of order 3 × 3
Determinant of a matrix of order three can be determined by expressing it in terms of
second order determinants. This is known as expansion of a determinant along
a row (or a column). There are six ways of expanding a determinant of order
© NCERT
not to be republished
DETERMINANTS     105
3 corresponding to each of three rows (R
1
, R
2
and R
3
) and three columns (C
1
, C
2
and
C
3
) giving the same value as shown below.
Consider the determinant of square matrix A = [a
ij
]
3 × 3
i.e.,
| A | =
21
22
23
31
32
33
a
a
a
a
a
a
11
12
13
a
a
a
Expansion along first Row (R
1
)
Step 1 Multiply first element a
11
of R
1
by (–1)
(1 + 1)
[(–1)
sum of suffixes in a
11
] and with the
second order determinant obtained by deleting the elements of first row (R
1
) and first
column (C
1
) of | A | as a
11
lies in R
1
and C
1
,
i.e.,
(–1)
1 + 1
a
11
22
23
32
33
a
a
a
a
Step 2 Multiply 2nd element a
12
of R
1
by (–1)
1 + 2
[(–1)
sum of suffixes in a
12
] and the second
order determinant obtained by deleting elements of first row (R
1
) and 2nd column (C
2
)
of | A | as a
12
lies in R
1
and C
2
,
i.e.,
(–1)
1 + 2
a
12
21
23
31
33
a
a
a
a
Step 3 Multiply third element a
13
of R
1
by (–1)
1 + 3
[(–1)
sum of suffixes in a
13
] and the second
order determinant obtained by deleting elements of first row (R
1
) and third column (C
3
)
of | A | as a
13
lies in R
1
and C
3
,
i.e.,
(–1)
1 + 3
a
13
21
22
31
32
a
a
a
a
Step 4 Now the expansion of determinant of A, that is, | A | written as sum of all three
terms obtained in steps 1, 2 and 3 above is given by
det A = |A| = (–1)
1 + 1
a
11
22
23
21
23
1 2
12
32
33
31
33
(–1)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
21
22
1 3
13
31
32
(–1)
a
a
a
a
a
+
or
|A| =a
11
(a
22
a
33
– a
32 
a
23
) – a
12
(a
21
a
33
– a
31 
a
23
)
a
13
(a
21
a
32
– a
31
a
22
)
© NCERT
not to be republished
106
MATHEMATICS
=a
11
a
22
a
33
– a
11
a
32 
a
23
– a
12
a
21
a
33
a
12
a
31 
a
23
a
13
a
21
a
32
– a
13
a
31
a
22
... (1)
$
Note  We shall apply all four steps together.
Expansion along second row (R
2
)
| A | =
11
12
13
31
32
33
a
a
a
a
a
a
21
22
23
a
a
a
Expanding along R
2
,
we get
| A | =
12
13
11
13
2 1
2 2
21
22
32
33
31
33
(–1)
(–1)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
11
12
2 3
23
31
32
(–1)
a
a
a
a
a
+
+
=– a
21
(a
12
a
33
– a
32 
a
13
) + a
22
(a
11
a
33
– a
31 
a
13
)
– a
23
(a
11
a
32
– a
31
a
12
)
| A | = – a
21
a
12
a
33
a
21
a
32 
a
13
a
22
a
11
a
33
– a
22
a
31 
a
13
– a
23
a
11
a
32
a
23
a
31
a
12
=a
11
a
22
a
33
– a
11
a
23
a
32
– a
12
a
21
a
33
a
12
a
23
a
31
a
13
a
21
a
32
– a
13
a
31
a
22
... (2)
Expansion along first Column (C
1
)
| A | =
12
13
22
23
32
33
11
21
31
a
a
a
a
a
a
a
a
a
By expanding along C
1
, we get
| A | =
22
23
12
13
1 1
2 1
11
21
32
33
32
33
(–1)
( 1)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
12
13
3 1
31
22
23
(–1)
a
a
a
a
a
+
=a
11
(a
22
a
33
– a
23
a
32
) – a
21
(a
12
a
33
– a
13
a
32
) + a
31
(a
12
a
23
– a
13
a
22
)
© NCERT
not to be republished
Documents you may be interested
Documents you may be interested