how to display pdf file in asp net using c# : Copy paste text pdf file application software cloud html windows azure class Mathematics-Part1-Class-1212-part1870

DETERMINANTS     107
| A | =a
11
a
22
a
33
– a
11
a
23
a
32
– a
21
a
12
a
33
a
21
a
13
a
32
a
31
a
12
a
23
– a
31
a
13
a
22
=a
11
a
22
a
33
– a
11
a
23
a
32
– a
12
a
21
a
33
a
12
a
23
a
31
a
13
a
21
a
32
– a
13
a
31
a
22
... (3)
Clearly, values of |A| in (1), (2) and (3) are equal. It is left as an exercise to the
reader to verify that the values of |A| by expanding along R
3
, C
2
and C
3
are equal to the
value of |A| obtained in (1), (2) or (3).
Hence, expanding a determinant along any row or column gives same value.
Remarks
(i) For easier calculations, we shall expand the determinant along that row or column
which contains maximum number of zeros.
(ii) While expanding, instead of multiplying by (–1)
i + j
, we can multiply by +1 or –1
according as (i + j) is even or odd.
(iii) Let A = 
2 2
4 0
and B = 
1 1
2 0
. Then, it is easy to verify that A = 2B. Also
|A| = 0 – 8 = – 8 and |B| = 0 – 2 = – 2.
Observe that, |A| = 4(– 2) = 2
2
|B| or |A| = 2
n
|B|, where n = 2 is the order of
square matrices A and B.
In general, if A = kB where A and B are square matrices of order n, then | A| = k
n
| B |, where n = 1, 2, 3
Example 3 Evaluate the determinant  
Δ
1 2 4
–1 3 0
4 1 0
.
Solution Note that in the third column, two entries are zero. So expanding along third
column (C
3
), we get
Δ
=
–1 3
1 2
1 2
4
–0
0
4 1
4 1
–1 3
+
= 4 (–1 – 12) – 0 + 0  = – 52
Example 4 Evaluate 
Δ
0
sin
–cos
–sin
0
sin
cos
–sin
0
α
α
α
β
α
β
.
© NCERT
not to be republished
Copy paste text pdf file - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
extract formatted text from pdf; copy text from pdf to word with formatting
Copy paste text pdf file - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
extract text from pdf acrobat; a pdf text extractor
108
MATHEMATICS
Solution Expanding along R
1
, we get
Δ
=
0
sin
–sin
sin
–sin
0
0
–sin
–cos
–sin
0
cos
0
cos
–sin
β
α
β
α
α
α
β
α
α
β
=0 – sin 
α
(0 – sin 
β
cos 
α
) – cos 
α
(sin 
α
sin 
β
– 0)
=sin 
α
sin 
β
cos 
α
– cos 
α
sin 
α
sin 
β
= 0
Example 5 Find values of x for which 
3
3 2
1
4 1
x
x
=
.
Solution We have 
3
3 2
1
4 1
x
x
=
i.e.
3 – x
2
= 3 – 8
i.e.
x
2
= 8
Hence
x =
2 2
±
EXERCISE 4.1
Evaluate the determinants in Exercises 1 and 2.
1.
2
4
–5 –1
2. (i)
cos
–sin
sin
cos
θ
θ
θ
θ
(ii)
2
1
–1
1
1
x
x
x
x
x
+
+
+
3. If A = 
1 2
4 2
, then show that | 2A | = 4 | A |
4. If A = 
1 0 1
0 1 2
0 0 4
, then show that | 3 A | = 27 | A |
5. Evaluate the determinants
(i)
3 –1 –2
0
0 –1
3 –5
0
(ii)
3 –4
5
1
1 –2
2
3
1
© NCERT
not to be republished
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
PDF file in .NET framework. Ability to copy selected PDF pages and paste into another PDF file. The portable document format, known
copying text from pdf to word; copy and paste text from pdf to excel
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
Help to extract single or multiple pages from adobe PDF file and save into a new PDF file. Ability to copy PDF pages and paste into another PDF file.
copy pdf text to word; copy pdf text to word document
DETERMINANTS     109
(iii)
0 1 2
–1 0 –3
–2 3 0
0
(iv)
2 –1 –2
0
2 –1
3 –5
0
6. If A = 
1 1 –2
2 1 –3
5 4 –9
, find | A |
7. Find values of x, if
(i)
2 4
2
4
5 1
6
x
x
=
(ii)
2 3
3
4 5
2
5
x
x
=
8. If 
2
6 2
18
18 6
x
x
=
, then x is equal to
(A) 6
(B) ± 6
(C) – 6
(D) 0
4.3 Properties of Determinants
In the previous section, we have learnt how to expand the determinants. In this section,
we will study some properties of determinants which simplifies its evaluation by obtaining
maximum number of zeros in a row or a column. These properties are true for
determinants of any order. However, we shall restrict ourselves upto determinants of
order 3 only.
Property 1 The value of the determinant remains unchanged if its rows and columns
are interchanged.
Verification Let 
Δ
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
b
b
b
c c
c
Expanding along first row, we get
Δ
=
2
3
1
3
1
2
1
2
3
2
3
1
3
1
2
b
b
b b
b b
a
a
a
c
c
c c
c c
+
=a
1
(b
c
3
– b
3
c
2
) – a
2
(b
1
c
3
– b
3
c
1
) + a
3
(b
1
c
2
– b
2
c
1
)
By interchanging the rows and columns of 
Δ
, we get the determinant
Δ
1
=
1
1
1
2
2
2
3
3
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF copy, paste image library: copy, paste, cut PDF images
PDF document images. Allow to copy an image from existing PDF file and paste it into another one. Guarantee high performance image
extract text from pdf using c#; export highlighted text from pdf
C# PDF copy, paste image Library: copy, paste, cut PDF images in
Allow to copy an image from existing PDF file and paste it into another one. Easy to zoom and crop image for adjusting image size.
c# extract pdf text; copy text from pdf to word
110
MATHEMATICS
Expanding 
Δ
1
along first column, we get
Δ
=a
1
(b
2
c
3
– c
2
b
3
) – a
2
(b
1
c
3
– b
3
c
1
) + a
3
(b
1
c
2
– b
2
c
1
)
Hence
Δ
=
Δ
1
Remark It follows from above property that if A is a square matrix, then
det (A) = det (A
), where A
= transpose of A.
$
Note  If R
i
= ith row and  C
i
ith column, then for interchange of row and
columns, we will symbolically write C
i
R
i
Let us verify the above property by example.
Example 6 Verify Property 1 for 
Δ
2 –3
5
6 0
4
1 5 –7
Solution Expanding the determinant along first row, we have
Δ
=
0
4
6
4
6 0
2
–(–3)
5
5 –7
1 –7
1 5
+
=2 (0 – 20) + 3 (– 42 – 4) + 5 (30 – 0)
=– 40 – 138 + 150 = – 28
By interchanging rows and columns, we get
Δ
1
=
2 6
1
–3 0
5
5 4 –7
(Expanding along first column)
=
0
5
6
1
6 1
2
–(–3)
5
4 –7
4 –7
0 5
+
=2 (0 – 20) + 3 (– 42 – 4) + 5 (30 – 0)
=– 40 – 138 + 150 = – 28
Clearly
Δ
=
Δ
1
Hence, Property 1 is verified.
Property 2 If any two rows (or columns) of a determinant are interchanged, then sign
of determinant changes.
Verification Let 
Δ
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
b b
b
c c
c
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
VB.NET Project. A Visual Studio .NET PDF SDK library, able to perform image extraction from multiple page adobe PDF file in VB.NET.
can't copy text from pdf; extract pdf text to word
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
Page, a Region on a Page, and PDF Document. C#.NET extract image from multiple page adobe PDF file library for Visual Studio .NET.
extract text from pdf to word; copying text from pdf into word
DETERMINANTS     111
Expanding along first row, we get
Δ
a
1
(b
2
c
3
– b
3
c
2
) – a
(b
1
c
3
– b
3
c
1
) + a
3
(b
1
c
2
– b
2
c
1
)
Interchanging first and third rows, the new determinant obtained is given by
Δ
1
=
1
2
3
1
2
3
1
2
3
c c
c
b b
b
a
a
a
Expanding along third row, we get
Δ
=a
1
(c
2
b
3
– b
2
c
3
) – a
2
(c
1
b
3
– c
3
b
1
) + a
3
(b
2
c
1
– b
1
c
2
)
=– [a
1
(b
2
c
3
– b
3
c
2
) – a
2
(b
1
c
3
– b
3
c
1
) + a
3
(b
1
c
2
– b
2
c
1
)]
Clearly
Δ
1
= – 
Δ
Similarly, we can verify the result by interchanging any two columns.
$
Note We can denote the interchange of rows by R
i
R
j
and interchange of
columns by C
i
C
j
.
Example 7 Verify Property 2 for 
Δ
2 –3
5
6
0
4
1
5 –7
.
Solution 
Δ
2 –3 5
6
0 4
1
5 –7
= – 28 (See Example 6)
Interchanging rows R
2
and R
3
i.e., R
2
R
3
, we have
Δ
1
=
2 –3
5
1
5 –7
6
0
4
Expanding the determinant 
Δ
1
along first row, we have
Δ
1
=
5 –7
1 –7
1 5
2
–(–3)
5
0
4
6
4
6 0
+
=2 (20 – 0) + 3 (4 + 42) + 5 (0 – 30)
=40 + 138 – 150 = 28
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
Also able to uncompress PDF file in VB.NET programs. Offer flexible and royalty-free developing library license for VB.NET programmers to compress PDF file.
copy text from scanned pdf to word; extract text from pdf with formatting
VB.NET PDF File Merge Library: Merge, append PDF files in vb.net
Professional VB.NET PDF file merging SDK support Visual Studio .NET. Merge PDF without size limitation. Append one PDF file to the end of another one in VB.NET.
get text from pdf image; get text from pdf file c#
112
MATHEMATICS
Clearly
Δ
1
= – 
Δ
Hence, Property 2 is verified.
Property 3 If any two rows (or columns) of a determinant are identical (all corresponding
elements are same), then value of determinant is zero.
Proof If we interchange the identical rows (or columns) of the determinant 
Δ
, then 
Δ
does not change. However, by Property 2, it follows that 
Δ
has changed its sign
Therefore
Δ
= – 
Δ
or
Δ
= 0
Let us verify the above property by an example.
Example 8 Evaluate 
Δ
3 2 3
2 2 3
3 2 3
Solution Expanding along first row, we get
Δ
= 3 (6 – 6) – 2 (6 – 9) + 3 (4 – 6)
= 0 – 2 (–3) + 3 (–2) = 6 – 6 = 0
Here R
1
and R
3
are identical.
Property 4 If each element of a row (or a column) of a determinant is multiplied by a
constant k, then its value gets multiplied by k.
Verification Let 
Δ
1
1
1
2
2
2
3
3
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
and 
Δ
1
be the determinant obtained by multiplying the elements of the first row by k.
Then
Δ
1
=
1
1
1
2
2
2
3
3
3
ka
kb
kc
a
b
c
a
b
c
Expanding along first row, we get
Δ
1
=k a
(b
2
c
3
– b
3
c
2
) – k b
1
(a
2
c
3
– c
2
a
3
) + k c
1
(a
2
 b
3
– b
a
3
)
=k [a
1
(b
2
c
3
– b
3
c
2
) – b
1
(a
2
c
3
– c
2
a
3
) + c
1
(a
2
b
3
– b
2
a
3
)]
=k 
Δ
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple
Professional VB.NET PDF file splitting SDK for Visual Studio and .NET framework 2.0. Split PDF file into two or multiple files in ASP.NET webpage online.
c# read text from pdf; edit pdf replace text
DETERMINANTS     113
Hence
1
1
1
2
2
2
3
3
3
ka
kb
kc
a
b
c
a
b
c
=k 
1
1
1
2
2
2
3
3
3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
Remarks
(i) By this property, we can take out any common factor from any one row or any
one column of a given determinant.
(ii) If corresponding elements of any two rows (or columns) of a determinant are
proportional (in the same ratio), then its value is zero. For example
Δ
=
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
b
b
b
ka k a
ka
= 0 (rows R
1
and R
2
are proportional)
Example 9 Evaluate 
102 18 36
1
3
4
17
3
6
Solution Note that 
6(17) 6(3) 6(6)
17 3 6
102 18 36
1
3
4
1
3
4
6 1 3 4
0
17
3
6
17
3
6
17 3 6
=
=
=
(Using Properties 3 and 4)
Property 5 If some or all elements of a row or column of a determinant are expressed
as sum of two (or more) terms, then the determinant can be expressed as sum of two
(or more) determinants.
For example,
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
b
b
b
c
c
c
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
b b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c
λ
λ
λ
+
Verification L.H.S. = 
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
b
b
b
c
c
c
© NCERT
not to be republished
114
MATHEMATICS
Expanding the determinants along the first row, we get
Δ
= (a
1
λ
1
) (b
2
c
3
– c
2
b
3
) – (a
2
λ
2
) (b
1
c
3
– b
3
c
1
)
+ (a
3
λ
3
) (b
1
c
2
– b
2
c
1
)
=a
1
(b
2
c
3
– c
2
b
3
) – a
2
(b
1
c
3
– b
3
c
1
) + a
3
(b
1
c
2
– b
2
c
1
)
λ
1
(b
2
c
3
– c
2
b
3
) – 
λ
2
(b
1
c
3
– b
3
c
1
) + 
λ
3
(b
1
c
2
– b
2
c
1
)
(by rearranging terms)
=
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
b
b
b
b
b
b
c
c
c
c
c
c
λ
λ
λ
+
= R.H.S.
Similarly, we may verify Property 5 for other rows or columns.
Example 10 Show that 
2
2
2
0
a
b
c
a
x b
y c
z
x
y
z
+
+
+
=
Solution We have
2
2
2
a
b
c
a
x b
y c
z
x
y
z
+
+
+
2
2
2
a b c
a
b
c
a b c
x
y
z
x y z
z
x
y
z
+
(by Property 5)
=0 + 0 = 0
(Using Property 3 and Property 4)
Property 6 If, to each element of any row or column of a determinant, the equimultiples
of corresponding elements of other row (or column) are added, then value of determinant
remains the same, i.e., the value of determinant remain same if we apply the operation
R
i
R
i
kR
j
or C
i
C
i
kC
j
.
Verification
Let
Δ
=
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
b
b
b
c c
c
and 
Δ
1
1
1
2
2
3
3
1
2
3
1
2
3
a
kc a
kc
a
kc
b
b
b
c
c
c
+
+
+
,
where 
Δ
1
is obtained by the operation R
1
R
1
kR
3
.
Here, we have multiplied the elements of the third row (R
3
) by a constant and
added them to the corresponding elements of the first row (R
1
).
Symbolically, we write this operation as R
1
R
1
k R
3
.
© NCERT
not to be republished
DETERMINANTS     115
Now, again
Δ
1
=
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
a
a
a
kc kc
kc
b
b
b
b
b
b
c c
c
c
c
c
+
(Using Property 5)
=
Δ
+ 0
(since R
1
and R
3
are proportional)
Hence
Δ
=
Δ
1
Remarks
(i) If 
Δ
1
is the determinant obtained by applying R
i
kR
i
or C
i
kC
i
to the
determinant 
Δ
, then 
Δ
1
k
Δ
.
(ii) If more than one operation like R
i
R
i
kR
j
is done in one step, care should be
taken to see that a row that is affected in one operation should not be used in
another operation. A similar remark applies to column operations.
Example 11 Prove that 
3
2
3
2
4
3
2
3
6
3
10
6
3
a
a b
a b c
a
a
b
a
b
c
a
a
a
b
a
b
c
+
+ +
+
+
+
=
+
+
+
.
Solution Applying operations R
2
R
2
– 2R
1
and R
3
R
3
– 3R
1
to the given
determinant 
Δ
, we have
Δ
=
0
2
0
3
7
3
a a b a b c
a
a b
a
a
b
+
+ +
+
+
Now applying R
3
R
3
– 3R
, we get
Δ
=
0
2
0
0
a a b a b c
a
a b
a
+
+ +
+
Expanding along  C
1
, we obtain
Δ
=
2
0
a
a b
a
a
+
+ 0 + 0
=a (a
2
– 0) = a (a
2
) = a
3
© NCERT
not to be republished
116
MATHEMATICS
Example 12 Without expanding, prove that
Δ
=
0
1
1
1
x y y z z x
z
x
y
+
+
+
=
Solution Applying R
1
R
1
+ R
2
to 
Δ
, we get
Δ
=
1
1
1
x y z x y z x y z
z
z
x
y
+ +
+ +
+ +
Since the elements of R
1
and R
3
are proportional, 
Δ 
= 0.
Example 13 Evaluate
Δ
=
1
1
1
a bc
b ca
c ab
Solution Applying R
2
R
2
– R
1
and R
3
R
3
– R
1
, we get
Δ
=
1
0
(
)
0
(
)
a
bc
b a c a b
c a b a c
Taking factors (b – a) and (c – a) common from R
2
and R
3
, respectively, we get
Δ
=
1
(
)(
) 0 1 –
0 1 –
a bc
b a c a
c
b
=(b – a) (c – a) [(– b + c)] (Expanding along first column)
=(a – b) (b – c) (c – a)
Example 14 Prove that 
4
b c
a
a
b
c a
b
abc
c
c
a b
+
+
=
+
Solution Let  
Δ
b c
a
a
b
c a
b
c
c
a b
+
+
+
© NCERT
not to be republished
Documents you may be interested
Documents you may be interested