how to display pdf file in asp net using c# : C# read text from pdf Library control component .net web page windows mvc Mathematics-Part1-Class-1214-part1872

DETERMINANTS     127
4.6.1  Adjoint of a matrix
Definition 3 The adjoint of a square matrix A = [a
ij
]
× n
is defined as the transpose of
the matrix [A
ij
]
× n
, where A
ij
is the cofactor of the element a
ij
. Adjoint of the matrix A
is denoted by adj A.
Let
11
12
13
21
22
23
31
32
33
A =
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Then
11
12
13
21
22
23
31
32
33
A
A
A
A=Transposeof A
A
A
A
A
A
adj
11
21
31
12
22
32
13
23
33
A
A
A
= A
A
A
A
A
A
Example 23 
2 3
Find   A for A =
1 4
adj
Solution We have  A
11
= 4, A
12
= –1, A
21
= –3, A
22
= 2
Hence
adj A =
11
21
12
22
A
A
4 –3
=
A
A
–1 2
Remark For a square matrix of order 2, given by
A =
11
12
21
22
a
a
a
a
The adj A can also be obtained by interchanging a
11
and a
22
and by changing signs
of a
12
and a
21
, i.e.,
We state the following theorem without proof.
Theorem 1 If A be any given square matrix of order n, then
A(adj A) = (adj A) A = 
AI
,
where I is the identity matrix of order n
© NCERT
not to be republished
C# read text from pdf - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
copy and paste text from pdf to word; erase text from pdf
C# read text from pdf - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
copy highlighted text from pdf; copy text from locked pdf
128
MATHEMATICS
Verification
Let
A = 
11
12
13
21
22
23
31
32
33
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 thenadj  A = 
11
21
31
12
22
32
13
23
33
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Since sum of product of elements of a row (or a column) with corresponding
cofactors is equal to |A| and otherwise zero, we have
A (adj A) = 
A
0
0
0
A
0
0
0
A
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
I
Similarly, we can show  (adj A) A = 
A
I
Hence A (adj A) = (adj A) A = 
A
I
Definition 4 A square matrix A is said to be singular if 
A
= 0.
For example, the determinant of matrix A = 
1 2
4 8
is zero
Hence A is a singular matrix.
Definition 5 A square matrix A is said to be non-singular if 
A
0
Let
A = 
1 2
3 4
. Then 
A
1 2
3 4
= 4 – 6 = – 2 
0.
Hence A is a nonsingular matrix
We state the following theorems without proof.
Theorem 2 If A and B are nonsingular matrices of the same order, then AB and BA
are also nonsingular matrices of the same order.
Theorem 3 The determinant of the product of matrices is equal to product of their
respective determinants, that is, 
AB
A
B
, where A and B are square matrices of
the same order
Remark We know that (adj A) A = 
A
I = 
A
0
0
0
A
0
0
0
A
© NCERT
not to be republished
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
PDF. |. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Extract PDF Image. A powerful C#.NET PDF control compatible with windows operating system and built on .NET framework.
export text from pdf to excel; copy text from pdf without formatting
How to C#: Basic SDK Concept of XDoc.PDF for .NET
can also perform various PDF file and page editing in C# project. Text Process. And PDF file text processing like text writing, extracting, searching, etc., are
extract pdf text to word; find and replace text in pdf
DETERMINANTS     129
Writing determinants of matrices on both sides, we have
(
A)A
adj
=
A
0
0
0
A
0
0
0
A
i.e.
|(adj A)| |A| =
3
1 0 0
A 0 1 0
0 0 1
(Why?)
i.e.
|(adj A)| |A| = |A|
3
(1)
i.e.
|(adj A)| = |A|
2
In general, if A is a square matrix of order n, then |adj(A)| = |A|
n – 1
.
Theorem 4 A square matrix A is invertible if and only if A is nonsingular matrix.
Proof Let A be invertible matrix of order n and I be the identity matrix of order n.
Then, there exists a square matrix B of order n such that AB = BA = I
Now
AB = I.  So 
AB
I
or   
A
B
= 1    
(since I 1, AB
A B)
=
=
This gives
A
0. Hence A is nonsingular.
Conversely, let A be nonsingular. Then 
A
0
Now
A (adj A) = (adj A) A = 
A
I
(Theorem 1)
or
1
1
A
A A I
|A |
|A|
adj
adj
⎞ ⎛
=
=
⎟ ⎜
⎠ ⎝
or
AB = BA = I, where B = 
1
A
|A|
adj
Thus
A is invertible and A
–1
1
A
|A|
adj
Example 24 If A = 
1 3 3
1 4 3
1 3 4
, then verify that A adj A = |A| I. Also find A
–1
.
Solution We have 
A
= 1
(16 – 9) –3 (4 – 3) + 3 (3 – 4) = 1 
0
© NCERT
not to be republished
C# PDF - Read Barcode on PDF in C#.NET
File: Merge PDF; C# File: Split PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages; C# Read: PDF Text Extract; C# Read: PDF Image
extract text from pdf file; copy text from pdf with formatting
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
|. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Insert Text to PDF. C#.NET PDF SDK - Insert Text to PDF Document in C#.NET. C#.NET Project DLLs: Insert Text Content to PDF.
extract text from pdf with formatting; a pdf text extractor
130
MATHEMATICS
Now A
11
= 7,  A
12
= –1, A
13
= –1, A
21
= –3, A
22
= 1,A
23
= 0, A
31
= –3, A
32
= 0,
A
33
= 1
Therefore
adj A =
7
3
3
1
1
0
1
0
1
Now
A (adj A) =
1 3 3
7
3
3
1 4 3
1
1
0
1 3 4
1
0
1
⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣
=
7 3 3
3 3 0
3 0 3
7 4 3
3 4 0
3 0 3
7 3 4
3 3 0
3 0 4
− −
− + +
− + +
− −
− + +
− + +
− −
− + +
− + +
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= (1)   
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
. I
Also
A
–1
1
A
A
ad j
=
7
3
3
1
1
1
0
1
1
0
1
7
3
3
1
1
0
1
0
1
Example 25 If A = 
2
3
1
2
and B
1
4
1 3
=
, then verify that (AB)
–1
= B
–1
A
–1
.
Solution We have AB = 
2
3
1
2
1
5
1
4
1 3
5
14
⎤⎡
⎤ ⎡
=
⎥⎢
⎥ ⎢
⎦⎣
⎦ ⎣
Since,
AB
= –11 
0, (AB)
–1
exists and is given by
(AB)
–1
14
5
1
1
(AB)
5
1
AB
11
adj
=−
14 5
1
5 1
11
=
Further,
A
= –11 
0 and 
B
= 1 
0. Therefore, A
–1
and B
–1
both exist and are given by
A
–1
1
4
3
3 2
1
,B
1 2
1 1
11
© NCERT
not to be republished
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
C#.NET PDF SDK - Convert PDF to Text in C#.NET. Integrate following RasterEdge C#.NET text to PDF converter SDK dlls into your C#.NET project assemblies;
get text from pdf c#; copy and paste text from pdf
C# PDF Text Search Library: search text inside PDF file in C#.net
|. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Search PDF Text. C#.NET PDF SDK - Search and Find PDF Text in C#.NET. C#.NET PDF DLLs for Finding Text in PDF Document.
erase text from pdf file; extract all text from pdf
DETERMINANTS     131
Therefore
1
1
3 2
4
3
1
B A
1 1
1 2
11
14
5
1
5
1
11
14 5
1
5 1
11
=
Hence (AB)
–1
= B
–1
A
–1
Example 26 Show that the matrix A = 
2 3
1 2
satisfies the equation A
– 4A + I
= O,
where I is 2 × 2 identity matrix and O is 2 × 2 zero matrix. Using this equation, find A
–1
.
Solution We have 
2
2 3 2 3
7 12
A
A.A
1 2 1 2
4 7
⎤⎡
⎤ ⎡
=
=
=
⎥⎢
⎥ ⎢
⎦⎣
⎦ ⎣
Hence
2
7 12
8 12
1 0
A
4A I
4 7
4 8
0 1
⎤ ⎡
⎤ ⎡
+ =
+
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎦ ⎣
0 0
O
0 0
=
=
Now
A
2
– 4A + I = O
Therefore
A A – 4A = – I
or
 A (A
–1
) – 4 A A
–1
= – I A
–1
(Post multiplying by A
–1
because |A| 
0)
or
A (A A
–1
) – 4I = – A
–1
or
AI – 4I = – A
–1
or
A
–1
=  4I – A  = 
4 0
2 3
2
3
0 4
1 2
1 2
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Hence
1
2
3
A
1 2
=
EXERCISE 4.5
Find adjoint of each of the matrices in Exercises 1 and 2.
1.
1 2
3 4
2.
1
1 2
2
3 5
2 0 1
Verify A (adj A) = (adj A) A = |A| I in Exercises 3 and 4
3.
2
3
4
6
4.
1
1 2
3 0
2
1 0
3
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET. Support PDF Image Extraction from a Page, a Region on a Page, and PDF Document in VB.NET Project.
extract text from pdf java open source; extract text from pdf
C# WPF PDF Viewer SDK to view, annotate, convert and print PDF in
File: Merge PDF; C# File: Split PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages; C# Read: PDF Text Extract; C# Read: PDF Image
copy pdf text with formatting; copy formatted text from pdf
132
MATHEMATICS
Find the inverse of each of the matrices (if it exists) given in Exercises 5 to 11.
5.
2
2
4 3
6.
1 5
3 2
7.
1 2 3
0 2 4
0 0 5
8.
1 0 0
3 3 0
5 2
1
9.
2
1 3
4
1 0
7 2 1
10.
1
1 2
0 2
3
3
2 4
11.
1
0
0
0 cos
sin
0 sin
cos
α
α
α −
α
12. Let A = 
3 7
2 5
and B = 
6 8
7 9
. Verify that (AB)
–1
= B
–1
A
–1
.
13. If A = 
3 1
1 2
, show that A
2
– 5A + 7I = O. Hence find A
–1
.
14. For the matrix A = 
3 2
1 1
, find the numbers a and b such that A
2
aA + bI = O.
15. For the matrix A = 
1 1
1
1 2
3
2
1 3
Show that  A
3
– 6A
+ 5A + 11 I = O. Hence, find A
–1
.
16. If A = 
2
1 1
1 2
1
1
1 2
Verify that A
3
– 6A
2
+ 9A – 4I = O and hence find A
–1
17. Let A be a nonsingular square matrix of order 3 × 3. Then |adj A| is equal to
(A) |A|
(B) |A|
2
(C) |A|
3
(D) 3|A|
18. If A is an invertible matrix of order 2, then det (A
–1
) is equal to
(A) det (A)
(B)
1
det (A)
(C) 1
(D) 0
© NCERT
not to be republished
DETERMINANTS     133
4.7  Applications of Determinants and Matrices
In this section, we shall discuss application of determinants and matrices for solving the
system of linear equations in two or three variables and for checking the consistency of
the system of linear equations.
Consistent system A system of equations is said to be consistent if its solution (one
or more) exists.
Inconsistent system A system of equations is said to be inconsistent if its solution
does not exist.
$
Note In this chapter, we restrict ourselves to the system of linear equations
having unique solutions only.
4.7.1  Solution of system of linear equations using inverse of a matrix
Let us express the system of linear equations as matrix equations and solve them using
inverse of the coefficient matrix.
Consider the system of equations
a
1
x + b
y + c
1
z =  d
1
a
2
x + b
y + c
2
z =d
2
a
3
x + b
y + c
3
z =d
3
Let
A =
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
,X
and B
a
b
c
x
d
a
b
c
y
d
a
b
c
z
d
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
Then, the system of equations can be written as, AX = B, i.e.,
1
1
1
2
2
2
3
3
3
a
b
c
x
a
b
c
y
a
b
c
z
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
1
2
3
d
d
d
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Case I If A is a nonsingular matrix, then its inverse exists. Now
AX = B
or
A
–1
(AX) = A
–1
B
(premultiplying by A
–1
)
or
(A
–1
A) X = A
–1
B
(by associative property)
or
I X = A
–1 
B
or
X = A
–1
B
This matrix equation provides unique solution for the given system of equations as
inverse of a matrix is unique. This method of solving system of equations is known as
Matrix Method.
© NCERT
not to be republished
134
MATHEMATICS
Case II If A is a singular matrix, then |A| = 0.
In this case, we calculate (adj A) B.
If (adj A) B 
O, (O being zero matrix), then solution does not exist and the
system of equations is called inconsistent.
If (adj A) B = O, then system may be either consistent or inconsistent according
as the system have either infinitely many solutions or no solution.
Example 27 Solve the system of equations
2x + 5y = 1
3x + 2y = 7
Solution The system of equations can be written in the form AX = B, where
A =
2 5
1
,X
and B
3 2
7
x
y
⎡ ⎤
⎡ ⎤
=
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
Now, 
A
= –11 
0, Hence, A is nonsingular matrix and so has a unique solution.
Note that
A
–1
=
2
5
1
3 2
11
Therefore
X = A
–1
B = – 
2
5 1
1
3 2 7
11
i.e.
x
y
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
33
3
1
11
1
11
Hence
x =3, y = – 1
Example 28 Solve the following system of equations by matrix method.
3x – 2y + 3z = 8
2x + y – z = 1
4x – 3y + 2z = 4
Solution The system of equations can be written in the form AX = B, where
3
2 3
8
A
2 1
1, X
and B
1
4
3 2
4
x
y
z
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
=
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
We see that
A
= 3 (2 – 3) + 2(4 + 4) + 3 (– 6 – 4) = – 17 
0
© NCERT
not to be republished
DETERMINANTS     135
Hence, A is nonsingular and so its inverse exists. Now
A
11
= –1,
A
12
= – 8,
A
13
= –10
A
21
= –5,
A
22
= – 6,
A
23
= 1
A
31
= –1,
A
32
= 9,
A
33
= 7
Therefore
A
–1
=
1
5
1
1
8
6 9
17
10 1
7
So
X =
–1
1
5
1 8
1
A B =
8
6 9
1
17
10
1
7
4
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣ ⎦
i.e.
x
y
z
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
=
17
1
1
34
2
17
51
3
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
=
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣ ⎦
Hence
x =1, y = 2 and z = 3.
Example 29 The sum of three numbers is 6. If we multiply third number by 3 and add
second number to it, we get 11. By adding first and third numbers, we get double of the
second number. Represent it algebraically and find the numbers using matrix method.
Solution Let first, second and third numbers be denoted by xy and z, respectively.
Then, according to given conditions, we have
x + y + z =6
y + 3 z =11
x + z =2 y  or x – 2 y + z = 0
This system can be written as A X = B, where
A =  
1 1 1
0 1 3
1
2 1
, X = 
x
y
z
and B = 
6
11
0
Here 
A
11 6 – (0 – 3) 0 –1
9 0
. Now we find adj A
A
11
= 1 (1 + 6) = 7,
A
12
= – (0 – 3) = 3,
A
13
= – 1
A
21
= – (1 + 2) = – 3,
A
22
= 0,
A
23
= – (– 2 – 1) = 3
A
31
= (3 – 1) = 2,
A
32
= – (3 – 0) = – 3,
A
33
= (1 – 0) = 1
© NCERT
not to be republished
136
MATHEMATICS
Hence
adj A =
7 –3
2
3
0 –3
–1 3
1
Thus
–1
=
1
A
adj (A) = 
7
3 2
1
3
0
3
9
1 3
1
Since
X = A
–1 
B
X =
7
3 2
6
1
3
0
3 11
9
1 3
1
0
⎤⎡ ⎤
⎥⎢ ⎥
⎥⎢ ⎥
⎥⎢ ⎥
⎦⎣ ⎦
or
x
y
z
1
9
42 33 0
18
0 0
6 33 0
+
+
+
− +
+
1
9
9
18
27
1
2
3
Thus
x =1, y = 2, z = 3
EXERCISE 4.6
Examine the consistency of the system of equations in Exercises 1 to 6.
1. x + 2y = 2
2. 2x – y = 5
3. x + 3y = 5
2x + 3y = 3
x + y = 4
2x + 6y = 8
4. x + + z = 1
5. 3xy – 2z = 2
6. 5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 2z = 2
2y – z = –1
2x + 3y + 5= 2
ax + ay + 2az = 4
3– 5y = 3
5– 2+ 6z = –1
Solve system of linear equations, using matrix method, in Exercises 7 to 14.
7. 5x + 2y = 4
8. 2x – y = –2
9. 4x – 3y = 3
7x + 3y = 5
3x + 4y = 3
3x – 5y = 7
10. 5x + 2y = 3
11. 2x + y + z = 1
12. x – y + z = 4
3x + 2y = 5
x – 2 y – 
3
2
2x + y – 3= 0
3y – 5z = 9
x + + z = 2
13. 2x + 3y +3 z = 5
14. x – y + 2z = 7
x – 2 y + = – 4
3x + 4y – 5= – 5
3x – y –  2z = 3
2– y + 3z = 12
© NCERT
not to be republished
Documents you may be interested
Documents you may be interested