how to display pdf file in asp net using c# : Edit pdf replace text software control cloud windows azure html class Mathematics-Part1-Class-1216-part1874

The whole of science is nothing more than a refinement
of everyday thinking.” — ALBERT EINSTEIN 
5.1  Introduction
This chapter is essentially a continuation of our study of
differentiation of functions in Class XI. We had learnt to
differentiate certain functions like polynomial functions and
trigonometric functions. In this chapter, we introduce the
very important concepts of continuity, differentiability and
relations between them. We will also learn differentiation
of inverse trigonometric functions. Further, we introduce a
new class of functions called exponential and logarithmic
functions. These functions lead to powerful techniques of
differentiation. We illustrate certain geometrically obvious
conditions through differential calculus. In the process, we
will learn some fundamental theorems in this area.
5.2  Continuity
We start the section with two informal examples to get a feel of continuity. Consider
the function
1,if
0
( )
2,if
0
x
f x
x
=
>
This function is of course defined at every
point of the real line. Graph of this function is
given in the Fig 5.1. One can deduce from the
graph that the value of the function at nearby
points on x-axis remain close to each other
except at x = 0. At the points near and to the
left of 0, i.e., at points like – 0.1, – 0.01, – 0.001,
the value of the function is 1. At the points near
and to the right of 0, i.e., at points like 0.1, 0.01,
Chapter
5
CONTINUITY AND
DIFFERENTIABILITY
Sir Issac Newton
(1642-1727)
Fig 5.1
Edit pdf replace text - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
get text from pdf image; how to copy and paste pdf text
Edit pdf replace text - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
extract text from pdf file using java; delete text from pdf file
MATHEMATICS
148
0.001, the value of the function is 2. Using the language of left and right hand limits, we
may say that the left (respectively right) hand limit of f at 0 is 1 (respectively 2). In
particular the left and right hand limits do not coincide. We also observe that the value
of the function at x = 0 concides with the left hand limit. Note that when we try to draw
the graph, we cannot draw it in one stroke, i.e., without lifting pen from the plane of the
paper, we can not draw the graph of this function. In fact, we need to lift the pen when
we come to 0 from left. This is one instance of function being not continuous at x = 0.
Now, consider the function defined as
1,if
0
( )
2,if
0
x
f x
x
=
=
This function is also defined at every point. Left and the right hand limits at x = 0
are both equal to 1. But the value of the
function at x = 0 equals 2 which does not
coincide with the common value of the left
and right hand limits. Again, we note that we
cannot draw the graph of the function without
lifting the pen. This is yet another instance of
a function being not continuous at x = 0.
Naively, we may say that a function is
continuous at a fixed point if we can draw the
graph of the function around that point without
lifting the pen from the plane of the paper.
Mathematically, it may be phrased precisely as follows:
Definition 1 Suppose f is a real function on a subset of the real numbers and let  c be
a point in the domain of f. Then f is continuous at c if
lim ( )
( )
x c
f x
f c
=
More elaborately, if the left hand limit, right hand limit and the value of the function
at x = c exist and equal to each other, then f is said to be continuous at x = c. Recall that
if the right hand and left hand limits at x = c coincide, then we say that the common
value is the limit of the function at x = c. Hence we may also rephrase  the definition of
continuity as follows: a function is continuous at x = c if the function is defined at
x = c and if the value of the function at x = c equals the limit of the function at
x = c. If f is not continuous at c, we say f is discontinuous at c and c is called a point
of discontinuity of f.
Fig 5.2
VB.NET PDF replace text library: replace text in PDF content in vb
PDF edit control compatible with Windows system. In document management system, users may have the need of replace content in PDF document, like text characters
get text from pdf online; cut and paste text from pdf document
C# PDF replace text Library: replace text in PDF content in C#.net
SharePoint. A Professional C#.NET PDF edit control able to replace PDF text in .NET WinForms and ASP.NET web sever project. C#.NET
copy text pdf; cut text pdf
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
149
Example 1 Check the continuity of the function f given by f(x) = 2x + 3 at x = 1.
Solution First note that the function is defined at the given point x = 1 and its value is 5.
Then find the limit of the function at x = 1. Clearly
1
1
lim ( ) lim(2
3) 2(1) 3 5
x
x
f x
x
=
+ =
+ =
Thus
1
lim ( ) 5
(1)
x
f x
f
= =
Hence, f is continuous at x = 1.
Example 2 Examine whether the function f given by f(x) = x
2
is continuous at x = 0.
Solution First note that the function is defined at the given point x = 0 and its value is 0.
Then find the limit of the function at x = 0. Clearly
2
2
0
0
lim ( ) lim
0
0
x
x
f x
x
=
=
=
Thus
0
lim ( ) 0
(0)
x
f x
f
= =
Hence, f is continuous at x = 0.
Example 3 Discuss the continuity of the function f given by f(x) = | x | at x = 0.
Solution By definition
f(x) =
,if
0
, if
0
x
x
x
x
<
Clearly the function is defined at 0 and f(0) = 0. Left hand limit of f at 0 is
0
0
lim
( ) lim(– ) 0
x
x
f x
x
=
=
Similarly, the right hand limit of f at 0 is
0
0
lim
( ) lim
0
x
x
f x
x
+
+
=
=
Thus, the left hand limit, right hand limit and the value of the function coincide at
x = 0. Hence, f is continuous at x = 0.
Example 4 Show that the function f given by
f(x) =
3
3, if
0
1,
if
0
x
x
x
+
=
is not continuous at x = 0.
C# PDF Page Replace Library: replace PDF pages in C#.net, ASP.NET
Advanced PDF edit control and component for replacing PDF pages in both C# You can replace an entire PDF page with another PDF page from another PDF file
export highlighted text from pdf to word; c# extract text from pdf
VB.NET PDF Page Replace Library: replace PDF pages in C#.net, ASP.
from PDF. Text: Replace Text in PDF. Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut Image in Page. Link: Edit URL. Bookmark
export text from pdf; extract text from pdf to excel
MATHEMATICS
150
Solution The function is defined at x = 0 and its value at x = 0 is 1. When x ≠ 0, the
function is given by a polynomial. Hence,
0
lim ( )
x
f x
=
3
3
0
lim(
3) 0
3 3
x
x
+
=
+ =
Since the limit of f at x = 0 does not coincide with f(0), the function is not continuous
at x = 0. It may be noted that x = 0 is the only point of discontinuity for this function.
Example 5 Check the points where the constant function f(x) = k is continuous.
Solution The function is defined at all real numbers and by definition, its value at any
real number equals k. Let c be any real number. Then
lim ( )
x c
f x
=
lim
x c
k k
=
Since f(c) = k = 
lim
x→c
f(x) for any real number c, the function f is continuous at
every real number.
Example 6 Prove that the identity function on real numbers given by f(x) = x is
continuous at every real number.
Solution The function is clearly defined at every point and f(c) = c for every real
number c. Also,
lim ( )
x c
f x
=
lim
x c
x c
=
Thus, 
lim
x→c
f(x) = c = f(c) and hence the function is continuous at every real number.
Having defined continuity of a function at a given point, now we make a natural
extension of this definition to discuss continuity of a function.
Definition 2 A real function f is said to be continuous if it is continuous at every point
in the domain of f.
This definition requires a bit of elaboration. Suppose f is a function defined on a
closed interval [a, b], then for f to be continuous, it needs to be continuous at every
point in [a, b] including the end points a and b. Continuity of f at a means
lim
( )
x a
f x
+
=f(a)
and continuity of f  at b means
lim
( )
x b
f x
=f(b)
Observe that  lim
( )
x a
f x
and lim
( )
x b
f x
+
do not make sense. As a consequence
of this definition, if f is defined only at one point, it is continuous there, i.e., if the
domain of f is a singleton, f is a continuous function.
C# PDF bookmark Library: add, remove, update PDF bookmarks in C#.
GetLocation()); Console.WriteLine("Text: " + entry.GetText()); }. C#.NET Sample Code: Update PDF Document Outline Using C#.NET. Or you can also edit and update
copying text from pdf into word; copy text from pdf reader
C# PDF Text Search Library: search text inside PDF file in C#.net
word, ignore case, match string, etc. Ability to search and replace PDF text in ASP.NET programmatically. XDoc.PDF for .NET allows C#
delete text from pdf; copy text from pdf in preview
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
151
Example 7 Is the function defined by f(x) = | x |, a continuous function?
Solution We may rewrite f as
f(x) =
,if
0
, if
0
x
x
x
x
<
By Example 3, we know that f is continuous at x = 0.
Let c be a real number such that c < 0. Then f(c) = – c. Also
lim ( )
x c
f x
=
lim( ) –
x c
x
c
− =
(Why?)
Since 
lim ( )
( )
x c
f x
f c
=
 f  is continuous at all negative real numbers.
Now, let c be a real number such that c > 0. Then f(c) = c. Also
lim ( )
x c
f x
=
lim
x c
x c
=
(Why?)
Since  lim ( )
( )
x c
f x
f c
=
, f is continuous at all positive real numbers. Hence, f
is continuous at all points.
Example 8 Discuss the continuity of the function f given by f(x) = x
3
+ x
2
– 1.
Solution Clearly f is defined at every real number c and its value at c is c
3
+ c
2
– 1. We
also know that
lim ( )
x c
f x
=
3
2
3
2
lim(
1)
1
x c
x
x
c
c
+
− = +
Thus lim ( ( )
( )
x c
f x
f c
=
, and hence f is continuous at every real number. This means
f is a continuous function.
Example 9 Discuss the continuity of the function f defined by f (x) = 
1
x
, x ≠ 0.
Solution Fix any non zero real number c, we have
1 1
lim ( ) lim
x c
x c
f x
x c
=
=
Also, since for c ≠ 0, 
1
f (c)
c
=
, we have lim ( )
( )
x c
f x
f c
=
and hence, f is continuous
at every point in the domain of f. Thus f is a continuous function.
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
Powerful .NET PDF edit control allows modify existing scanned PDF text. Ability to change text font, color, size and location and output a new PDF document.
copy text from scanned pdf; get text from pdf into excel
C# PDF Sticky Note Library: add, delete, update PDF note in C#.net
Note. |. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Add Sticky Note. C#.NET PDF SDK - Add Sticky Note to PDF Page in C#.NET. Able to change font size in PDF comment box.
delete text from pdf online; copy text from encrypted pdf
MATHEMATICS
152
We take this opportunity to explain the concept of infinity. This we do by analysing
the function f(x) = 
1
x
near x = 0. To carry out this analysis we follow the usual trick of
finding the value of the function at real numbers close to 0. Essentially we are trying to
find the right hand limit of f at 0. We tabulate this in the following (Table 5.1).
Table 5.1
x
1
0.3
0.2
0.1 = 10
–1
0.01 = 10
–2
0.001 = 10
–3
10
–n
f(x) 1 3.333... 5
10
100 = 10
2
1000 = 10
3
10
n
We observe that as x gets closer to 0 from the right, the value of f(x) shoots up
higher. This may be rephrased as: the value of f(x) may be made larger than any given
number by choosing a positive real number very close to 0. In symbols, we write
0
lim
( )
x
f x
+
=+∞
(to be read as: the right hand limit of f(x) at 0 is plus infinity). We wish to emphasise
that + ∞ is NOT a real number and hence the right hand limit of f at 0 does not exist (as
a real number).
Similarly, the left hand limit of f  at 0 may be found. The following table is self
explanatory.
Table 5.2
x
– 1
– 0.3
– 0.2
– 10
–1
– 10
–2
– 10
–3
– 10
–n
f(x) – 1 – 3.333... – 5
– 10
– 10
2
– 10
3
– 10
n
From the Table 5.2, we deduce that the
value of f(x) may be made smaller than any
given number by choosing a negative real
number  very  close  to  0.  In symbols,
we write
0
lim
( )
x
f x
=−∞
(to be read as: the left hand limit of f(x) at 0 is
minus infinity). Again, we wish to emphasise
that – ∞ is NOT a real number and hence the
left hand limit of f at 0 does not exist (as a real
number). The graph of the reciprocal function
given in Fig 5.3 is a geometric representation
of the above mentioned facts.
Fig 5.3
C# PDF Digital Signature Library: add, remove, update PDF digital
Text: Replace Text in PDF. Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut Image in Page. Link: Edit URL. Bookmark: Edit
.net extract pdf text; copy and paste pdf text
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
153
Example 10 Discuss the continuity of the function f defined by
f(x) =
2,if
1
2,if
1
x
x
x
x
+
>
Solution The function f is defined at all points of the real line.
Case 1 If c < 1, then f(c) = c + 2. Therefore, 
lim ( ) lim(
2)
2
x c
x c
f x
x
c
=
+
= +
Thus, f is continuous at all real numbers less than 1.
Case 2 If c > 1, then f(c) = c – 2. Therefore,
lim ( ) lim
x c
x c
f x
=
(x – 2) = c – 2 = f (c)
Thus, f is continuous at all points x > 1.
Case 3 If c = 1, then the left hand limit of f at
x = 1 is
1
1
lim ( ) lim (
2) 1 2 3
x
x
f x
x
=
+
= + =
The right hand limit of f at x = 1 is
1
1
lim ( ) lim(
2) 1 2
1
x
x
f x
x
+
+
=
= − = −
Since the left and right hand limits of f at x = 1
do not coincide, f  is not continuous at x = 1. Hence
x = 1 is the only point of discontinuity of f. The graph of the function is given in Fig 5.4.
Example 11 Find all the points of discontinuity of the function f defined by
f(x) = 
2,if
1
0, if
1
2,if
1
x
x
x
x
x
+
<
=
>
Solution As in the previous example we find that f
is continuous at all real numbers x ≠ 1. The left
hand limit of f at x = 1 is
1
1
lim ( ) lim ( 2) 1 2 3
x
x
f x
x
=
+
= + =
The right hand limit of f at x = 1 is
1
1
lim ( ) lim(
2) 1 2
1
x
x
f x
x
+
+
=
= − = −
Since, the left and right hand limits of f at x = 1
do not coincide, f is not continuous at x = 1. Hence
x = 1 is the only point of discontinuity of f. The
graph of the function is given in the Fig 5.5.
Fig  5.4
Fig  5.5
MATHEMATICS
154
Example 12 Discuss the continuity of the function defined by
f(x) =
2,if
0
2,if
0
x
x
x
x
+
<
− +
>
Solution Observe that the function is defined at all real numbers except at 0. Domain
of definition of this function is
D
1
∪ D
2
where  D
1
= {x ∈ R : x < 0} and
D
2
= {x ∈ R : x > 0}
Case 1 If c ∈ D
1
, then 
lim ( ) lim
x c
x c
f x
=
(x + 2)
= c + 2 = f (c) and hence f is continuous in D
1
.
Case 2 If c ∈ D
2
, then lim ( ) lim
x c
x c
f x
=
(– x + 2)
= – c + 2 = f (c) and hence f is continuous in D
2
.
Since f is continuous at all points in the domain of f,
we deduce that f is continuous. Graph of this
function is given in the Fig 5.6. Note that to graph
this function we need to lift the pen from the plane
of the paper, but we need to do that only for those points where the function is not
defined.
Example 13 Discuss the continuity of the function f given by
f(x) = 
2
, if
0
, if
0
x
x
x
x
<
Solution Clearly the function is defined at
every real number. Graph of the function is
given in Fig 5.7. By inspection, it seems prudent
to partition the domain of definition of f into
three disjoint subsets of the real line.
Let
D
1
= {x ∈ R : x < 0}, D
2
= {0} and
D
3
= {x ∈ R : x > 0}
Case 1 At any point in D
1
, we have f(x) = x
2
and it is easy to see that it is continuous
there (see Example 2).
Case 2 At any point in D
3
, we have f(x) = x and it is easy to see that it is continuous
there (see Example 6).
Fig 5.6
Fig 5.7
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
155
Case 3 Now we analyse the function at x = 0. The value of the function at 0 is f(0) = 0.
The left hand limit of  f at 0 is
2
2
0
0
lim
( ) lim
0
0
x
x
f x
x
=
=
=
The right hand limit of f at 0 is
0
0
lim
( ) lim
0
x
x
f x
x
+
+
=
=
Thus 
0
lim ( ) 0
x
f x
=
= f(0) and hence f is continuous at 0. This means that f is
continuous at every point in its domain and hence, f is a continuous function.
Example 14 Show that every polynomial function is continuous.
Solution Recall that a function p is a polynomial function if it is defined by
p(x) = a
0
+ a
1
x + ... + a
n
x
n
for some natural number n, a
n
≠ 0 and a
i
∈ R. Clearly this
function is defined for every real number. For a fixed real number c, we have
lim ( )
( )
x c
p x
p c
=
By definition, p is continuous at c. Since c is any real number, p is continuous at
every real number and hence p is a continuous function.
Example 15  Find all the points of discontinuity of the greatest integer function defined
by f(x) = [x], where [x] denotes the greatest integer less than or equal to x.
Solution First observe that f is defined for all real numbers. Graph of the function is
given in Fig 5.8. From the graph it looks like that f is discontinuous at every integral
point. Below we explore, if this is true.
Fig 5.8
MATHEMATICS
156
Case 1 Let c be a real number which is not equal to any integer. It is evident from the
graph that for all real numbers close to c the value of the function is equal to [c]; i.e.,
lim ( ) lim[ ] [ ]
x c
x c
f x
x
c
=
=
. Also f(c) = [c] and hence the function is continuous at all real
numbers not equal to integers.
Case 2 Let c be an integer. Then we can find a sufficiently small real number
r > 0 such that [c – r] = c – 1 whereas [c + r] = c.
This, in terms of limits mean that
lim
x→c
f(x) = c – 1, 
lim
x→c+
f(x) = c
Since these limits cannot be equal to each other for any c, the function is
discontinuous at every integral point.
5.2.1  Algebra of continuous functions
In the previous class, after having understood the concept of limits, we learnt some
algebra of limits. Analogously, now we will study some algebra of continuous functions.
Since continuity of a function at a point is entirely dictated by the limit of the function at
that point, it is reasonable to expect results analogous to the case of limits.
Theorem 1 Suppose f and g be two real functions continuous at a real number c.
Then
(1) f + g is continuous at x = c.
(2) f – g is continuous at x = c.
(3) f . g is continuous at x = c.
(4)
f
g
 
 
 
is continuous at x = c, (provided g(c) ≠ 0).
Proof We are investigating continuity of (f + g) at x = c. Clearly it is defined at
x = c. We have
lim(
)( )
x c
f g x
+
=
lim[ ( )
( )]
x c
f x
g x
+
(by definition of f + g)
=
lim ( ) lim ( )
x c
x c
f x
gx
+
(by the theorem on limits)
=f(c) + g(c)
(as f and g are continuous)
= (f + g) (c)
(by definition of f + g)
Hence, f + g is continuous at x = c.
Proofs for the remaining parts are similar and left as an exercise to the reader.
Documents you may be interested
Documents you may be interested