how to display pdf file in asp net using c# : Copy text from locked pdf Library SDK component .net wpf windows mvc Mathematics-Part1-Class-1217-part1875

CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
157
Remarks
(i) As a special case of (3) above, if f is a constant function, i.e., f(x) = λ for some
real number λ, then the function (λ . g) defined by (λ . g) (x) = λ . g(x) is also
continuous. In particular if λ = – 1, the continuity of f implies continuity of – f.
(ii) As a special case of (4) above, if f is the constant function f (x) = λ, then the
function 
g
λ
defined by 
( )
( )
x
g
g x
λ
λ
=
is also continuous wherever g(x) ≠ 0. In
particular, the continuity of g implies continuity of 
1
g
.
The above theorem can be exploited to generate many continuous functions. They
also aid in deciding if certain functions are continuous or not. The following examples
illustrate this:
Example 16 Prove that every rational function is continuous.
Solution Recall that every rational function f is given by
( )
( )
, ( ) 0
( )
px
f x
q x
qx
=
where p and q are polynomial functions. The domain of f is all real numbers except
points at which q is zero. Since polynomial functions are continuous (Example 14), f is
continuous by (4) of  Theorem 1.
Example 17 Discuss the continuity of sine function.
Solution To see this we use the following facts
0
lim sin
0
x
x
=
We have not proved it, but is intuitively clear from the graph of sin x near 0.
Now, observe that f (x) = sin x is defined for every real number. Let c be a real
number. Put x = c + h. If x → c we know that h → 0. Therefore
lim ( )
x c
f x
=
limsin
x c
x
=
0
lim sin(
)
h
c h
+
=
0
lim[sin cos
cos sin ]
h
c
h
c
h
+
=
0
0
lim[sin cos ] lim [cos sin ]
h
h
c
h
c
h
+
=sin c + 0 = sin c = f(c)
Thus  lim
x→c
f(x) = f (c) and hence f is a continuous function.
Copy text from locked pdf - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
cut and paste pdf text; copy text from pdf online
Copy text from locked pdf - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
can't copy and paste text from pdf; extract text from pdf java
MATHEMATICS
158
Remark A similar proof may be given for the continuity of cosine function.
Example 18 Prove that the function defined by f(x) = tan x is a continuous function.
Solution The function f(x) = tan x = 
sin
cos
x
x
. This is defined for all real numbers such
that  cos x ≠  0,  i.e., x ≠ (2n +1)
2
π
. We have just proved that both sine  and cosine
functions are continuous. Thus tan x being a quotient of two continuous functions is
continuous wherever it is defined.
An interesting  fact is  the  behaviour  of continuous  functions  with respect  to
composition of functions. Recall that if f and g are two real functions, then
(f o g) (x) = f(g(x))
is defined whenever the range of g is a subset of domain of f. The following theorem
(stated without proof) captures the continuity of composite functions.
Theorem 2 Suppose f and g are real valued functions such that (f o g) is defined at c.
If g is continuous at c and if f is continuous at g (c), then (f o g) is continuous at c.
The following examples illustrate this theorem.
Example 19 Show that the function defined by f(x) = sin (x
2
) is a continuous function.
Solution Observe that the function is defined for every real number. The function
f  may  be thought  of as a composition g  o h of  the two  functions g and  h, where
g(x) = sin x and h(x) = x
2
. Since both g and h are continuous functions, by Theorem 2,
it can be deduced that f is a continuous function.
Example 20 Show that the function f defined by
f(x) = |1 – x + | x| |,
where x is any real number, is a continuous function.
Solution Define g by g(x) = 1 – x + |x| and  h by h(x) = |x| for all real x. Then
(h o g) (x) = h (g (x))
=h (1– x + | x|)
=| 1– x + | x| | = f (x)
In Example 7, we have seen that h is a continuous function. Hence g being a sum
of a polynomial function and the modulus function is continuous. But then f  being a
composite of two continuous functions is continuous.
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Ability to copy selected PDF pages and paste into another Besides, the capacity to be locked against editing or processing by others makes PDF file become
copy text from pdf; acrobat remove text from pdf
C# PowerPoint - Extract or Copy PowerPoint Pages from PowerPoint
read PDF, VB.NET convert PDF to text, VB.NET Extract/Copy PowerPoint Pages of PowerPoint Document in C# Besides, the capacity to be locked against editing or
copy text from pdf to word with formatting; extract text from image pdf file
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
159
EXERCISE 5.1
1. Prove that the function f(x) = 5x – 3 is continuous at x = 0, at x = – 3 and at x = 5.
2. Examine the continuity of the function f(x) = 2x
2
– 1 at x = 3.
3. Examine the following functions for continuity.
(a) f (x) = x – 5
(b) f (x) = 
1
x −5
, x ≠ 5
(c) f (x) = 
2
25
5
x
x
+
, x ≠ –5
(d) f (x) = | x – 5|
4. Prove that the function f(x) = x
n
is continuous at x = n, where n is a positive
integer.
5. Is the function f defined by
,if
1
( )
5, if > 1
x
x
f x
x
=
continuous at x = 0? At x = 1? At x = 2?
Find all points of discontinuity of f, where f is defined by
6.
2
3, if
2
( )
2
3, if > 2
x
x
f x
x
x
+
=
7.
| | 3, if
3
( )
2 , if 3
<3
6
2, if
3
x
x
f x
x
x
x
x
+
≤−
= −
− <
+
8.
| |
, if
0
( )
0, if
0
x
x
f x
x
x
=
=
9.
, if
0
| |
( )
1, if
0
x
x
x
f x
x
<
=
10.
2
1, if
1
( )
1, if
1
x
x
f x
x
x
+
=
+
<
11.
3
2
3, if
2
( )
1, if
2
x
x
f x
x
x
=
+
>
12.
10
2
1, if
1
( )
,
if
1
x
x
f x
x
x
=
>
13. Is the function defined by
5, if
1
( )
5, if
1
x
x
f x
x
x
+
=
>
a continuous function?
C# Word - Extract or Copy Pages from Word File in C#.NET
C#.NET rotate PDF pages, C#.NET search text in PDF, C# Extract/Copy Pages of Word Document in C# Project. Besides, the capacity to be locked against editing or
delete text from pdf preview; copy pdf text to word
C# Excel - Extract or Copy Excel Pages to Excel File in C#.NET
NET rotate PDF pages, C#.NET search text in PDF Extract/Copy Excel Pages of Excel Document in C# Project. Besides, the capacity to be locked against editing or
copy text from scanned pdf to word; cut and paste text from pdf
MATHEMATICS
160
Discuss the continuity of the function f, where f is defined by
14.
3, if 0
1
( )
4, if 1
3
5, if 3
10
x
f x
x
x
≤ ≤
=
< <
≤ ≤
15.
2 , if
0
( )
0, if 0
1
4 , if >1
x
x
f x
x
x
x
<
=
≤ ≤
16.
2, if
1
( )
2 , if 1
1
2, if
1
x
f x
x
x
x
≤−
=
− < ≤
>
17. Find the relationship between a and b so that the function f defined by
1, if
3
( )
3, if
3
ax
x
f x
bx
x
+
=
+
>
is continuous at x = 3.
18. For what value of λ is the function defined by
2
(
2 ), if
0
( )
4
1,
if
0
x
x
x
f x
x
x
λ
=
+
>
continuous at x = 0? What about continuity at x = 1?
19. Show that the function defined by g(x) = x – [x] is discontinuous at all integral
points. Here [x] denotes the greatest integer less than or equal to x.
20. Is the function defined by f(x) = x
2
– sin x + 5 continuous at x = π?
21. Discuss the continuity of the following functions:
(a) f (x) = sin x + cos x
(b) f (x) = sin  x – cos x
(c) f (x) = sin  x . cos x
22. Discuss the continuity of the cosine, cosecant, secant and cotangent functions.
23. Find all points of discontinuity of f, where
sin
, if
0
( )
1, if
0
x
x
f x
x
x
x
<
=
+
24. Determine if f defined by
2
1
sin , if
0
( )
0,
if
0
x
x
f x
x
x
=
=
is a continuous function?
VB.NET Word: Extract Text from Microsoft Word Document in VB.NET
time and effort compared with traditional copy and paste Word documents are often locked as static images and the in VB.NET. Apart from extracting text from Word
extract pdf text to excel; c# extract pdf text
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
161
25. Examine the continuity of f, where f is defined by
sin
cos , if
0
( )
1,
if
0
x
x
x
f x
x
=
=
Find the values of k so that the function f is continuous at the indicated point in Exercises
26 to 29.
26.
cos
, if
2
2
( )
3,
if
2
k
x
x
x
f x
x
π
π−
=
π
=
at x = 
2
π
27.
2
, if
2
( )
3,
if
2
kx
x
f x
x
=
>
at x = 2
28.
1, if
( )
cos , if
kx
x
f x
x
x
+
≤π
=
at x = π
29.
1, if
5
( )
3
5, if
5
kx
x
f x
x
x
+
=
>
at x = 5
30. Find the values of a and b such that the function defined by
5,
if
2
( )
, if 2
10
21,
if
10
x
f x
ax b
x
x
=
+
< <
is a continuous function.
31. Show that the function defined by f(x) = cos (x
2
) is a continuous function.
32. Show that the function defined by f(x) = |cos x| is a continuous function.
33. Examine that sin |x| is a continuous function.
34. Find all the points of discontinuity of f defined by f(x) = |x| – |x + 1|.
5.3.  Differentiability
Recall the following facts from previous class. We had defined the derivative of a real
function as follows:
Suppose f is a real function and c is a point in its domain. The derivative of f at c is
defined by
0
(
)
( )
lim
h
f c h
f c
h
+ −
MATHEMATICS
162
f(x)
x
n
sin x
cos x
tan x
f′(x)
nx
n–1
cos x
– sin x
sec
2
x
provided this limit exists. Derivative of f at c is denoted by f ′(c) or 
( ( )) |
c
d
f x
dx
. The
function defined by
0
(
)
( )
( ) lim
h
f x h
f x
f x
h
+ −
=
wherever the limit exists is defined to be the derivative of f. The derivative of f is
denoted by  f′ (x) or 
( ( ))
d
f x
dx
or if y  = f(x)  by 
dy
dx
or  y′.  The  process  of  finding
derivative of a function is called differentiation. We also use the phrase differentiate
f(x) with respect to x to mean find f ′(x).
The following rules were established as a part of algebra of derivatives:
(1) (u ± v)′ = u′ ± v′
(2) (uv)′ = u′v + uv′ (Leibnitz or product rule)
(3)
2
u
uv uv
v
v
′ − ′
 
=
 
 
, wherever v ≠ 0 (Quotient rule).
The following table gives a list of derivatives of certain standard functions:
Table 5.3
Whenever we defined derivative, we had put a caution provided the limit exists.
Now the natural question is; what if it doesn’t? The question is quite pertinent and so is
its answer. If  
0
(
)
( )
lim
h
f c h
f c
h
+
does not exist, we say that f is not differentiable at c.
In other words, we say that a function f is differentiable at a point c in its domain if both
0
(
)
( )
lim
h
f c h
f c
h
+
and 
0
(
)
( )
lim
h
f c h
f c
h
+
+
are finite and equal. A function is said
to be differentiable in an interval [a, b] if it is differentiable at every point of [a, b]. As
in case of continuity, at the end points a and b, we take the right hand limit and left hand
limit, which are nothing but left hand derivative and right hand derivative of the function
at a and b respectively. Similarly, a function is said to be differentiable in an interval
(a, b) if it is differentiable at every point of (a, b).
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
163
Theorem 3 If a function f is differentiable at a point c, then it is also continuous at that
point.
Proof Since f is differentiable at c, we have
( )
( )
lim
( )
x c
f x
f c
f c
x c
= ′
But for x ≠  c, we have
f(x)  – f (c)  =
( )
( )
.(
)
f x
f c
x c
x c
Therefore
lim [ ( )
( )]
x c
f x
f c
=
( )
( )
lim
.(
)
x c
f x
f c
x c
x c
or
lim[ ( )] lim[ ( )]
x c
x c
f x
f c
=
( )
( )
lim
.lim [(
)]
x c
x c
f x
f c
x c
x c
=f ′(c) . 0 = 0
or
lim ( )
x c
f x
=f (c)
Hence f is continuous at x = c.
Corollary 1 Every differentiable function is continuous.
We remark that the converse of the above statement is not true. Indeed we have
seen that the function defined by f(x) = | x| is a continuous function. Consider the left
hand limit
0
(0
)
(0)
lim
1
h
f
h
f
h
h
h
+ −
=
=−
The right hand limit
0
(0
)
(0)
lim
1
h
f
h
f
h
h
h
+
+
=
=
Since the above left and right hand limits at 0 are not equal, 
0
(0
)
(0)
lim
h
f
h
f
h
+
does not  exist  and hence f is  not  differentiable at 0. Thus f is  not  a  differentiable
function.
5.3.1   Derivatives  of composite functions
To study derivative of composite functions, we start with an illustrative example. Say,
we want to find the derivative of f, where
f(x)  = (2x + 1)
3
MATHEMATICS
164
One way is to expand (2x + 1)
3
using binomial theorem and find the derivative as
a polynomial function as illustrated below.
( )
d
f x
dx
=
3
(2
1)
d
x
dx
+
=
3
2
(8
12
6
1)
d
x
x
x
dx
+
+
+
=24x
2
+ 24x + 6
=6 (2x + 1)
2
Now, observe that
f(x) = (h o g) (x)
where g(x) = 2x + 1 and h(x) = x
3
. Put t = g(x) = 2x + 1. Then f(x) = h(t) = t
3
. Thus
df
dx
= 6 (2x + 1)
2
= 3(2x + 1)
2
. 2 = 3t
2
. 2 = 
dh dt
dt dx
The advantage with such observation is that it simplifies the calculation in finding
the derivative of, say, (2x + 1)
100
. We may formalise this observation in the following
theorem called the chain rule.
Theorem 4 (Chain Rule) Let f be a real valued function which is a composite of two
functions u and v; i.e., f = v o u. Suppose t = u(x) and if both 
dt
dx
and 
dv
dt
exist, we have
df
dv dt
dx dt dx
=
We skip the proof of this theorem. Chain rule may be extended as follows. Suppose
f is a real valued function which is a composite of three functions u, v and w ; i.e.,
f  = (w o u) o v. If t = v (x) and s = u(t), then
( o )
df d w u
dt dw ds dt
dx
dt
dx
ds dt dx
=
⋅ =
⋅ ⋅
provided all the derivatives in the statement exist. Reader is invited to formulate chain
rule for composite of more functions.
Example 21 Find the derivative of the function given by f(x) = sin (x
2
).
Solution Observe that the given function is a composite of two functions. Indeed, if
t = u(x) = x
2
and v(t) = sin t, then
f(x) = (v o u) (x) = v(u(x)) = v(x
2
) = sin x
2
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
165
Put t = u(x) = x
2
. Observe that 
cos
dv
t
dt
=
and 
2
dt
x
dx
=
exist. Hence, by chain rule
df
dx
=
cos 2
dv dt
t x
dt dx
=
It is normal practice to express the final result only in terms of x. Thus
df
dx
=
2
cos 2
2 cos
t x
x
x
⋅ =
Alternatively, We can also directly proceed as follows:
y = sin (x
2
) ⇒ 
dy
d
dx dx
=
(sin x
2
)
=cos x
2
d
dx
(x
2
) = 2x cos x
2
Example 22 Find the derivative of tan (2x + 3).
Solution Let f(x) = tan (2x + 3), u(x) = 2x + 3 and v(t) = tan t. Then
(v o u) (x) = v(u(x)) = v(2x  + 3) = tan (2x + 3) =  f(x)
Thus f is a composite of two functions. Put t = u(x) = 2x + 3. Then 
2
sec
dv
t
dt
=
and
2
dt
dx
=
exist. Hence, by chain rule
2
2sec (2
3)
df dv dt
x
dx dt dx
=
=
+
Example 23 Differentiate sin (cos (x
2
)) with respect to x.
Solution The function f(x) = sin (cos (x
2
)) is a composition f (x) = (w o v o u) (x) of the
three functions  u, v and  w, where  u(x)  =  x
2
 v(t)  = cos  t  and  w(s)  =  sin  s.  Put
t = u(x) = x
2
and s = v(t) = cos t. Observe that 
cos ,
sin
dw
ds
s
t
ds
dt
=
=−
and 
2
dt
x
dx
=
exist for all real x. Hence by a generalisation of chain rule, we have
df dw ds dt
dx
ds dt dx
=
⋅ ⋅
= (cos s) . (– sin t) . (2x) = – 2x sin x
2
. cos (cos x
2
)
MATHEMATICS
166
Alternatively, we can proceed as follows:
y = sin (cos x
2
)
Therefore
dy d
dx dx
=
sin (cos x
2
) = cos (cos x
2
d
dx
(cos x
2
)
=cos (cos x
2
) (– sin x
2
d
dx
(x
2
)
=– sin x
2
cos (cos  x
2
) (2x)
=– 2x sin x
2
cos (cos x
2
)
EXERCISE 5.2
Differentiate the functions with respect to x in Exercises 1 to 8.
1. sin (x
2
+ 5)
2. cos (sin x)
3. sin (ax + b)
4. sec (tan (
x
))
5.
sin (
)
cos (
)
ax b
cx d
+
+
6. cos x
3
. sin
2
(x
5
)
7.
(
)
2
2 cot x
8.
(
)
cos x
9. Prove that the function f given by
f(x) = |x – 1|, x ∈ R
is not differentiable at x = 1.
10. Prove that the greatest integer function defined by
f(x) = [x], 0 < x < 3
is not differentiable at x = 1 and x = 2.
5.3.2   Derivatives of implicit functions
Until now we have been differentiating various functions given in the form y = f(x).
But it is not necessary that functions are always expressed in this form. For example,
consider one of the following relationships between x and y:
x – y – π = 0
x + sin xy – y = 0
In the first case, we can solve for y and rewrite the relationship as y = x – π. In
the second case, it does not seem that there is an easy way to solve for y. Nevertheless,
there is  no doubt about  the  dependence  of  y  on  x  in  either  of  the cases.  When  a
relationship between x  and y is expressed in a way that it is easy to solve for y and
write y = f(x), we say that y is given as an explicit function of x. In the latter case it
Documents you may be interested
Documents you may be interested