how to display pdf file in asp net using c# : Extract text from scanned pdf control Library platform web page .net html web browser Mathematics-Part1-Class-1219-part1877

CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
177
1 du
u dx
=
(log ) log
( )
d
d
x
y
y
x
dx
dx
+
=
1
log 1
dy
x
y
y dx
⋅ +
So
du
dx
=
log
log
x
xdy
xdy
u
y
y
y
y dx
ydx
+
=
+
... (2)
Also v = x
y
Taking logarithm on both sides, we have
log v = y log x
Differentiating both sides w.r.t. x, we have
1 dv
v dx
=
(log ) log
d
dy
y
x
x
dx
dx
+
=
1
log
dy
y
x
x
dx
⋅ +
So
dv
dx
=
log
y
dy
v
x
x
dx
+
=
log
y
y
dy
x
x
x
dx
+
... (3)
Again
w = x
x
Taking logarithm on both sides, we have
log w = x log x.
Differentiating both sides w.r.t. x, we have
1 dw
w dx
=
(log ) log
( )
d
d
x
x
x
x
dx
dx
+
=
1
log 1
x
x
x
⋅ +
i.e.
dw
dx
=w (1 + log x)
=x
x
(1 + log x)
... (4)
Extract text from scanned pdf - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
extract text from pdf image; erase text from pdf
Extract text from scanned pdf - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
export highlighted text from pdf to word; export text from pdf to excel
MATHEMATICS
178
From (1), (2), (3), (4), we have
log
log
x
y
xdy
y
dy
y
y
x
x
ydx
x
dx
+
+
+
+ x
x
(1 + log x) = 0
or
(x . y
x–1
+ x
y
. log x) 
dy
dx
=– x
x
(1 + log  x) – y . x
y–1
– y
x
log y
Therefore
dy
dx
=
1
1
[ log
.
(1 log )]
.
log
x
y
x
x
y
y
y y x
x
x
x y
x
x
+
+
+
+
EXERCISE 5.5
Differentiate the functions given in Exercises 1 to 11 w.r.t. x.
1. cos x . cos 2x . cos 3x
2.
( 1) ( 2)
( 3)( 4) ( 5)
x
x
x
x
x
3. (log x)
cos x
4. x
x
– 2
sin x
5. (x + 3)
2
. (x + 4)
3
. (x + 5)
4
6.
1
1
1
x
x
x
x
x
+
+
+
7. (log x)
x
+ x
log x
8. (sin x)
x
+ sin
–1
x
9. x
sin x
+ (sin  x)
cos x
10.
2
cos
2
1
1
x
x
x
x
x
+
+
11. (x cos x)
x
1
( sin )
x
x
x
Find 
dy
dx
of the functions given in Exercises 12 to 15.
12. x
y
+ y
x
= 1
13. y
x
= x
y
14. (cos x)
y
= (cos y)
x
15. xy = e
(x – y)
16. Find the derivative of the function given by f(x) = (1 + x) (1 + x
2
) (1 + x
4
) (1 + x
8
)
and hence find f ′(1).
17. Differentiate (x
2
– 5x + 8) (x
3
+ 7x + 9) in three ways mentioned below:
(i) by using product rule
(ii) by expanding the product to obtain a single polynomial.
(iii) by logarithmic differentiation.
Do they all give the same answer?
C# PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR SDK
C#.NET PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR SDK for C#.NET. How to Extract Text from Adobe PDF Document Using .NET OCR Library in Visual C#. Overview.
extract text from pdf; get text from pdf into excel
VB.NET PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR SDK
VB.NET PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR SDK. VB.NET Tutorial for Using OCR Library to Extract Text from Adobe PDF Document. Overview.
copy pdf text with formatting; copy paste text pdf
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
179
18. If u, v and w are functions of x, then show that
d
dx
(u. v. w) =
du
dx
v. w + u . 
dv
dx
. w + u . v 
dw
dx
in two ways - first by repeated application of product rule, second by logarithmic
differentiation.
5.6  Derivatives of Functions in Parametric Forms
Sometimes the relation between two variables is neither explicit nor implicit, but some
link of a third variable with each of the two variables, separately, establishes a relation
between the first two variables. In such a situation, we say that the relation between
them is expressed via a third variable. The third variable is called the parameter. More
precisely,  a  relation  expressed  between  two  variables x  and  y  in  the  form
x = f(t), y = g (t) is said to be parametric form with t as a parameter.
In order to find derivative of function in such form, we have by chain rule.
dy
dt
=
dy dx
dx dt
or
dy
dx
=
whenever
0
dy
dx
dt
dx
dt
dt
Thus
dy
dx
=
()
as
() and
()
()
g t
dy
dx
g t
f t
f t
dt
dt
= ′
= ′
[provided f ′(t) ≠ 0]
Example 34 Find 
dy
dx
, if x = a cos θ, y = a sin θ.
Solution Given that
x = a cos θ, y = a sin θ
Therefore
dx
=– a sin θ, 
dy
= a cos θ
Hence
dy
dx
=
cos
cot
sin
dy
a
d
dx
a
d
θ
θ
=
=−
θ
θ
θ
C# TIFF: How to Convert TIFF File to PDF Document in C# Project
Convert Tiff to Scanned PDF. |. Home ›› XDoc.Tiff ›› C# Tiff: Tiff to PDF.
export highlighted text from pdf; extract text from pdf to excel
C#: Use OCR SDK Library to Get Image and Document Text
Extract Text from Scanned PDF. Extract Text from Jpeg, Png, Bitmap Images. MICR E-13B, OCR-A, OCR-B Fonts Support. Extract Text from Scanned PDF.
cut and paste text from pdf document; extract text from pdf using c#
MATHEMATICS
180
Example 35 Find 
dy
dx
, if x = at
2
, y = 2at.
Solution Given that x = at
2
, y = 2at
So
dx
dt
=2at   and   
dy
dt
= 2a
Therefore
dy
dx
=
2
1
2
dy
a
dt
dx
at t
dt
=
=
Example 36 Find 
dy
dx
, if x = a (θ + sin θ), y = a (1 – cos θ).
Solution We have 
dx
= a(1 + cos θ), 
dy
=  a (sin θ)
Therefore
dy
dx
=
sin
tan
(1 cos )
2
dy
a
d
dx
a
d
θ
θ
θ
=
=
+
θ
θ
a
Note  It may be noted here that 
dy
dx
is expressed in terms of parameter only
without directly involving the main variables x and y.
Example 37 Find 
2
2
2
3
3
3
,if
dy
x
y
a
dx
+
=
.
Solution Let x = a cos
3
θ, y = a sin
3
θ. Then
2
2
3
3
x
+y
=
2
2
3
3
3
3
( cos )
( sin )
a
a
θ +
θ
=
2
2
2
2
3
3
(cos
(sin )
a
a
θ+
θ =
Hence, x = a cos
3
θ, y = a sin
3
θ is parametric equation of 
2
2
2
3
3
3
x
y
a
+
=
Now
dx
=– 3a cos
2
θ sin θ and 
dy
= 3a sin
2
θ cos θ
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
Powerful .NET PDF edit control allows modify existing scanned PDF text. Ability to change text font, color, size and location and output a new PDF document.
a pdf text extractor; copy text from pdf
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
be converted to plain text. Text can be extracted from scanned PDF image with OCR component. Professional PDF to text converting library
.net extract pdf text; c# get text from pdf
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
181
Therefore
dy
dx
=
2
3
2
3 sin
cos
tan
3 cos sin
dy
a
y
d
dx
x
a
d
θ
θ
θ
=
=−
θ= −
θ
θ
θ
a
Note  Had we proceeded in implicit way, it would have been quite tedious.
EXERCISE 5.6
If  x and y are connected parametrically by the equations given in Exercises 1 to 10,
without eliminating the parameter, Find 
dy
dx
.
1. x = 2at
2
, y = at
4
2. x = a cos θ, y = b cos θ
3. x = sin t, y = cos 2t
4. x = 4t, y = 
4
t
5. x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
6. x = a (θ – sin θ), y = a (1 + cos θ) 7. x = 
3
sin
cos 2
t
t
3
cos
cos2
t
y
t
=
8.
cos log tan
2
t
x a
t
=
+
y = a sin t 9. x = a sec θ, y = b tan θ
10. x = a (cos θ + θ sin θ),  y = a (sin θ – θ cos θ)
11. If 
1
1
sin
cos
,
, show that
t
t
dy
y
x
a
y
a
dx
x
=
=
=−
5.7  Second Order Derivative
Let
y = f (x). Then
dy
dx
=f ′(x)
... (1)
If f′(x) is differentiable, we may differentiate (1) again w.r.t. x. Then, the left hand
side becomes 
d dy
dx dx
which is called the second order derivative of y w.r.t. x and
is denoted by 
2
2
d y
dx
. The second order derivative of f(x) is denoted by f″(x). It is also
C# PDF - Read Barcode on PDF in C#.NET
and Paste PDF Pages. Page: Rotate a PDF Page. PDF Read. Text: Extract Text from PDF. Text: Search Text in PDF. Image: Extract Image from
cut and paste pdf text; extract pdf text to excel
VB.NET PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in vb.net
characters. Text extraction from scanned PDF image with OCR component in VB.NET. Free Library and source codes for VB.NET class. RasterEdge
copy and paste text from pdf to word; c# extract pdf text
MATHEMATICS
182
denoted by D
2
y or y″ or y
2
if y = f(x). We remark that higher order derivatives may be
defined similarly.
Example 38 Find 
2
2
d y
dx
, if  y = x
3
+ tan x.
Solution Given that y = x
3
+ tan x. Then
dy
dx
=3x
2
+ sec
2
x
Therefore
2
2
d y
dx
=
(
)
2
2
3
sec
d
x
x
dx
+
=6x + 2 sec x . sec x tan x = 6x + 2 sec
2
x tan x
Example 39 If y = A sin x + B cos x, then prove that 
2
2
0
d y
y
dx
+ =
.
Solution We have
dy
dx
=A cos x – B sin x
and
2
2
d y
dx
=
d
dx
(A cos x – B sin x)
=– A sin  x – B cos x = – y
Hence
2
2
d y
dx
+ y = 0
Example 40 If  y = 3e
2x
+ 2e
3x
, prove that 
2
2
5
6
0
d y
dy
y
dx
dx
+
=
.
Solution Given that y = 3e
2x
+ 2e
3x
. Then
dy
dx
=6e
2x
+ 6e
3x
= 6 (e
2x
+ e
3x
)
Therefore
2
2
d y
dx
=12e
2x
+ 18e
3x
= 6 (2e
2x
+ 3e
3x
)
Hence
2
2
5
d y
dy
dx
dx
+ 6y = 6 (2e
2x
+ 3e
3x
)
– 30 (e
2x
+ e
3x
) + 6 (3e
2x
+ 2e
3x
) = 0
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
183
Example 41 If y = sin
–1
x, show that (1 – x
2
2
2
0
d y
dy
x
dx
dx
=
.
Solution We have y = sin
–1
x. Then
dy
dx
2
1
(1
−x)
or
2
(1
)
1
dy
x
dx
=
So
2
(1
).
0
d
dy
x
dx
dx
=
or
(
)
2
2
2
2
(1
)
(1
) 0
d y dy d
x
x
dx dx
dx
+
=
or
2
2
2
2
2
(1
)
0
2 1
d y dy
x
x
dx
dx
x
=
Hence
2
2
2
(1
)
0
d y
dy
x
x
dx
dx
=
Alternatively, Given that y = sin
–1 
x, we have
1
2
1
1
y
x
=
, i.e., 
(
)
2
2
1
1
1
x y
=
So
2
2
1 2
1
(1
). 2
(0 2 ) 0
x
yy
y
x
+
=
Hence
(1 – x
2
) y
2
– xy
1
= 0
EXERCISE 5.7
Find the second order derivatives of the functions given in Exercises 1 to 10.
1. x
2
+ 3x + 2
2. x
20
3. x . cos x
4. log x
5. x
3
log x
6. e
x
sin 5x
7. e
6x 
cos 3x
8. tan
–1 
x
9. log (log x)
10. sin (log x)
11. If y = 5 cos x – 3 sin x, prove that 
2
2
0
d y
y
dx
+ =
MATHEMATICS
184
12. If y = cos
–1
x, Find  
2
2
d y
dx
in terms of y alone.
13. If y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x), show that x
2
y
2
+ xy
1
+ y = 0
14. If y = Ae
mx
+ Be
nx
, show that 
2
2
(
)
0
d y
dy
m n
mny
dx
dx
+
+
=
15. If y = 500e
7x
+ 600e
–7x
, show that 
2
2
49
d y
y
dx
=
16. If e
y
(x + 1) = 1, show that 
2
2
2
d y
dy
dx
dx
=
17. If y = (tan
–1 
x)
2
, show that (x
2
+ 1)
2
y
2
+ 2x (x
2
+ 1) y
1
= 2
5.8  Mean Value Theorem
In this section, we will state two fundamental results in Calculus without proof. We
shall also learn the geometric interpretation of these theorems.
Theorem  6 (Rolle’s Theorem) Let f : [a, b] → R be continuous on [a, b] and
differentiable on (a, b), such that f(a) = f(b), where a and b are some real numbers.
Then there exists some c in (a, b) such that f ′(c) = 0.
In Fig 5.12 and 5.13, graphs of a few typical differentiable functions satisfying the
hypothesis of Rolle’s theorem are given.
Fig 5.12
Fig 5.13
Observe what happens to the slope of the tangent to the curve at various points
between a and b. In each of the graphs, the slope becomes zero at least at one point.
That is precisely the claim of the Rolle’s theorem as the slope of the tangent at any
point on the graph of y = f (x) is nothing but the derivative of f (x) at that point.
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
185
Theorem 7 (Mean Value Theorem) Let f : [a, b] → R be a continuous function on
[a, b] and differentiable on (a, b). Then there exists some  c in (a, b) such that
( )
( )
( )
f b
f a
f c
b a
′ =
Observe that the Mean Value Theorem (MVT) is an extension of Rolle’s theorem.
Let us now understand a geometric interpretation of the MVT. The graph of a function
y = f(x) is given in the Fig 5.14. We have already interpreted f′(c) as the slope of the
tangent to the curve y = f(x) at (c, f (c)). From the Fig 5.14 it is clear that 
( )
( )
f b
f a
b a
is the slope of the secant drawn between (a, f (a)) and (b, f(b)).  The MVT states that
there is a point c in ( a, b) such that the slope of the tangent at (c, f(c)) is same as the
slope of the secant between (a, f(a)) and (b, f(b)). In other words, there is a point c in
(a, b) such that the tangent at (c, f(c)) is parallel to the secant between (a, f(a)) and
(b, f (b)).
Fig 5.14
Example 42 Verify Rolle’s theorem for the function y = x
2
+ 2, a = – 2 and b = 2.
Solution The function y = x
2
+ 2 is continuous in [– 2, 2] and differentiable in (– 2, 2).
Also f(– 2) = f( 2) = 6 and hence the value of  f(x) at  – 2  and 2  coincide. Rolle’s
theorem states that there is a point c ∈ (– 2, 2), where f
(c) = 0. Since f
(x) = 2x, we
get c = 0. Thus at c = 0, we have f
(c) = 0 and c = 0 ∈ (– 2, 2).
Example 43 Verify Mean Value Theorem for the function f(x) = x
2
in the interval [2, 4].
Solution The function f(x) = x
2
is continuous in [2, 4] and differentiable in (2, 4) as its
derivative f
(x) = 2x
is defined in (2, 4).
MATHEMATICS
186
Now, f(2) = 4 and f (4) = 16. Hence
( )
( ) 16 4
6
4 2
f b
f a
b a
=
=
MVT states that there is a point c ∈ (2, 4) such that f
(c) = 6. But f
(x) = 2x which
implies c = 3. Thus at c = 3 ∈ (2, 4), we have f
(c) = 6.
EXERCISE 5.8
1. Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = x
2
+ 2x – 8, x ∈ [– 4, 2].
2. Examine if Rolle’s theorem is applicable to any of the following functions. Can
you say some thing about the converse of Rolle’s theorem from these example?
(i) f(x) = [x] for x ∈ [5, 9]
(ii) f(x) = [x] for x ∈ [– 2, 2]
(iii) f(x) = x
2
– 1 for x ∈ [1, 2]
3. If f : [– 5, 5] → R is a differentiable function and if f′(x) does not vanish
anywhere, then prove that f(– 5) ≠ f(5).
4. Verify Mean Value Theorem, if f(x) = x
2
– 4x – 3 in the interval [a, b], where
a = 1 and b = 4.
5. Verify Mean Value Theorem, if f(x) = x
3
– 5x
2
– 3x in the interval [a, b], where
a = 1 and b = 3.  Find all c ∈ (1, 3) for which f′(c) = 0.
6. Examine the applicability of Mean Value Theorem for all three functions given in
the above exercise 2.
Miscellaneous Examples
Example 44 Differentiate w.r.t. x, the following function:
(i)
2
1
3
2
2
4
x
x
+ +
+
(ii)   
2
sec
–1
3cos
x
e
x
+
(iii)    log
7
(log x)
Solution
(i) Let y = 
2
1
3
2
2
4
x
x
+ +
+
1
1
2
2
2
(3
2)
(2
4)
x
x
+
+
+
Note that this function is defined at all real numbers 
2
3
x>−
. Therefore
dy
dx
=
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
(3
2)
(3
2)
(2
4)
(2
4)
2
2
d
d
x
x
x
x
dx
dx
− −
+
+
+ −
+
+
Documents you may be interested
Documents you may be interested