how to display pdf file in asp net using c# : Copy text from pdf to word with formatting Library software component .net winforms windows mvc Mathematics-Part1-Class-1220-part1879

CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
187
=
1
3
2
2
2
1
1
(3
2)
(3)
(2
4)
4
2
2
x
x
x
 
+
+
 
 
=
(
)
3
2
2
3
2
2 3
2
2
4
x
x
x
+
+
This is defined for all real numbers 
2
3
x> −
.
(ii) Let 
2
sec
1
3cos
x
y e
x
=
+
This is defined at every real number in 
[ 1,1]
. Therefore
dy
dx
=
2
sec
2
2
1
(sec ) 3
1
x
d
e
x
dx
x
+
=
2
sec
2
1
2sec
(sec ) 3
1
x
d
e
x
x
dx
x
+
=
2
sec
2
1
2sec (sec tan )
3
1
x
x
x
x e
x
+
=
2
2
sec
2
1
2sec
tan
3
1
x
x
xe
x
+
Observe that the derivative of the given function is valid only in 
{
}
[ 1,1] 0
as
the derivative of cos
–1
x  exists only in  (– 1, 1) and the  function itself  is  not
defined at 0.
(iii) Let y = log
7
(log x) = 
log (log )
log7
x
(by change of base formula).
The function is defined for all real numbers x > 1. Therefore
dy
dx
=
1
(log (log ))
log7
d
x
dx
=
1
1
(log )
log7 log
d
x
x dx
=
1
log7 log
x
x
Copy text from pdf to word with formatting - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
extract text from pdf open source; copy and paste pdf text
Copy text from pdf to word with formatting - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
erase text from pdf file; copy text from pdf online
MATHEMATICS
188
Example 45 Differentiate the following w.r.t. x.
(i) cos
–1
(sin x)
(ii)   
1
sin
tan
1 cos
x
x
 +
(iii)   
1
1
2
sin
1 4
x
x
+
 +
Solution
(i) Let f (x) = cos
–1
(sin x). Observe that this function is defined for all real numbers.
We may rewrite this function as
f(x) = cos
–1
(sin x)
=
1
cos
cos
2
x
π
=
2
x
π
Thus
f′(x) = – 1.
(ii) Let f (x) = tan
–1 
sin
1 cos
x
x
 +
. Observe that this function is defined for all real
numbers, where cos x ≠ – 1; i.e., at all odd multiplies of π. We may rewrite this
function as
f(x) =
1
sin
tan
1 cos
x
x
 +
=
1
2
2sin
cos
2
2
tan
2cos
2
x
x
x
 
 
 
 
 
 
=
1
tan
tan
2
2
x
x
 
=
 
 
Observe that we could cancel 
cos
2
 x
 
 
in both numerator and denominator as it
is not equal to zero. Thus f′(x) = 
1
.
2
(iii) Let f(x) = sin
–1 
1
2
1 4
x
x
+
 +
. To find the domain of this function we need to find all
x such that 
1
2
1
1
1 4
x
x
+
− ≤
+
. Since the quantity in the middle is always positive,
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
file formats using Visual C# code, such as, PDF to HTML converter assembly, PDF to Word converter assembly C#.NET DLLs: Use PDF to Text Converter Control in
copy text from scanned pdf; extract pdf text to word
VB.NET PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in vb.
application. In addition, texts, pictures and font formatting of source PDF file are accurately retained in converted Word document file.
can't copy text from pdf; extract text from pdf file using java
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
189
we need to find all x such that 
1
2
1
1 4
x
x
+
+
, i.e., all x such that 2
x + 1
≤ 1 + 4
x
. We
may rewrite this as 2 ≤ 
1
2
x
+ 2
x
which is true for  all x. Hence  the function
is defined  at  every real number. By putting 2
x
=  tan θ,  this function  may be
rewritten as
f(x)  =
1
1
2
sin
1 4
x
x
+
 +
=
(
)
1
2
2 2
sin
1 2
x
x
+
=
1
2
2tan
sin
1 tan
θ
+
θ
=sin
–1
[sin 2θ]
=2θ = 2 tan
–1
(2
x
)
Thus
f′(x)  =
(
)
2
1
2
(2 )
1 2
x
x
d
dx
+
=
2
(2 ) log 2
1 4
x
x
+
=
1
2
log2
1 4
x
x
+
+
Example 46 Find  f′(x) if f(x) = (sin x)
sin x
for all 0 < x < π.
Solution The function y = (sin x)
sin x
is defined for all positive real numbers. Taking
logarithms, we have
log y = log (sin x)
sin x
= sin x log (sin x)
Then
1dy
ydx
=
d
dx
(sin x log (sin x))
=cos x log (sin x) + sin x . 
1
(sin )
sin
d
x
x dx
=cos x log (sin x) + cos x
=(1 + log (sin x)) cos x
C# Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in C#.
A convenient C#.NET control able to turn all Word text and image content into high quality PDF without losing formatting. Convert
copying text from pdf into word; copy text pdf
VB.NET Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in
Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut Export all Word text and image content into high quality PDF without losing
can't copy and paste text from pdf; copy highlighted text from pdf
MATHEMATICS
190
Thus
dy
dx
=y((1 + log (sin x)) cos x) = (1 + log (sin x)) ( sin x)
sin x
cos x
Example 47 For a positive constant a find 
dy
dx
, where
1
1
,and
a
t
t
y a
x
t
t
+
=
=
+
Solution Observe that both y and x are defined for all real t ≠ 0. Clearly
dy
dt
(
)
1
t
t
d
a
dt
+
=
1
1
log
t
t
d
a
t
a
dt
t
+
+
=
1
2
1
1
log
t
t
a
a
t
+
Similarly
dx
dt
=
1
1
1
a
d
a t
t
t
dt
t
+
+
=
1
2
1
1
1
a
a t
t
t
+
⋅ −
dx
dt
≠ 0 only if t ≠ ± 1. Thus for t ≠ ± 1,
dy
dy
dt
dx
dx
dt
=
=
1
2
1
2
1
1
log
1
1
1
t
t
a
a
a
t
a t
t
t
+
+
=
1
1
log
1
t
t
a
a
a
a t
t
+
+
Example 48 Differentiate sin
2
x w.r.t. e
cos x
.
Solution Let u (x) = sin
2
x and v (x) =  e
cos x
. We want to find 
/
/
du du dx
dv dv dx
=
. Clearly
du
dx
= 2 sin x cos x and 
dv
dx
= e
cos x
(– sin x) = – (sin  x) e
cos x
VB.NET Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF
pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C# NET rotate PDF pages, C#.NET search text in PDF all Excel spreadsheet into high quality PDF without losing
edit pdf replace text; how to copy and paste pdf text
C# PDF Convert to HTML SDK: Convert PDF to html files in C#.net
file. Besides, the converted HTML webpage will have original formatting and interrelation of text and graphical elements of the PDF.
copy text from pdf in preview; copy text from pdf reader
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
191
Thus
du
dv
=
cos
cos
2sin cos
2cos
sin
x
x
x
x
x
xe
e
=−
Miscellaneous Exercise on Chapter 5
Differentiate w.r.t. x the function in Exercises 1 to 11.
1. (3x
2
– 9x + 5)
9
2. sin
3
x + cos
6
x
3. (5x)
3cos2x
4. sin
–1
(x 
x
), 0 ≤ x ≤ 1
5.
1
cos
2
2
7
x
x
+
, – 2 < x < 2
6.   
1
1 sin
1 sin
cot
1 sin
1 sin
x
x
x
x
+
+
+
, 0 < x <
2
π
7. (log x)
log x
, x > 1
8. cos (a cos x + b sin x), for some constant a and b.
9. (sin x – cos x) 
(sin x – cos x)
3
4
4
x
π
π
< <
10. x
x
+ x
a
+ a
x
+ a
a
, for some fixed a > 0 and x > 0
11.
(
)
2
3
3
x
x
x
x
+
, for x > 3
12. Find 
dy
dx
, if y = 12 (1 – cos t), x = 10 (t – sin t), 
2
2
t
π
π
− < <
13. Find 
dy
dx
, if y = sin
–1
x + sin
–1
2
1−x
, 0 < x < 1
14. If 
1
1
0
x
y y
x
+ +
+ =
, for , – 1 < x < 1, prove that
(
)
2
1
1
dy
dx
x
=−
+
15. If (x – a)
2
+ (y – b)
2
= c
2
, for some c > 0, prove that
3
2
2
2
2
1
dy
dx
d y
dx
+
is a constant independent of a and b.
C# Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF in C#
C#.NET PDF SDK- Create PDF from Word in Visual C#. Turn all Excel spreadsheet into high quality PDF without losing formatting.
delete text from pdf file; find and replace text in pdf
C# Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to PDF
Excellent .NET control for turning all PowerPoint presentation into high quality PDF without losing formatting in C#.NET Class. Convert
export text from pdf; get text from pdf file c#
MATHEMATICS
192
16. If cos y = x cos (a + y), with cos a ≠ ± 1, prove that 
2
cos (
)
sin
dy
a y
dx
a
+
=
.
17. If x = a (cos t + t sin t) and y = a (sin t – t cos t), find 
2
2
d y
dx
.
18. If f(x) = |x|
3
, show that f ″(x) exists for all real x and find it.
19. Using mathematical induction prove that 
(
)
1
n
n
d
x
nx
dx
=
for  all  positive
integers n.
20. Using the fact that sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B and the differentiation,
obtain the sum formula for cosines.
21. Does there exist a function which is continuous everywhere but not differentiable
at exactly two points? Justify your answer.
22. If 
( )
( )
( )
f x
g x h x
y
l
m
n
a
b
c
=
, prove that 
( )
( )
( )
f x g x
h x
dy
l
m
n
dx
a
b
c
=
23. If y = 
1
acos
a
x
e
, – 1 ≤ x ≤ 1, show that 
(
)
2
2
2
2
1
0
d y
dy
x
x
a y
dx
dx
=
.
Summary
Î
A real valued function is continuous at a point in its domain if the limit of the
function at that point equals the value of the function at that point. A function
is continuous if it is continuous on the whole of its domain.
Î
Sum, difference, product and quotient of continuous functions are continuous.
i.e., if f and g are continuous functions, then
(f ± g) (x) = f (x) ± g(x) is continuous.
(f . g) (x) = f (x) . g(x) is continuous.
( )
( )
( )
f
f x
x
g
g x
 
=
 
 
(wherever g (x) ≠ 0) is continuous.
Î
Every differentiable function is continuous, but the converse is not true.
VB.NET Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to
Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut PDF, VB.NET convert PDF to text, VB.NET all PowerPoint presentation into high quality PDF without losing
delete text from pdf preview; cut text pdf
VB.NET Word: Extract Text from Microsoft Word Document in VB.NET
time and effort compared with traditional copy and paste VB.NET. Apart from extracting text from Word powerful & profession imaging controls, PDF document, tiff
extract all text from pdf; copy text from protected pdf
CONTINUITY AND DIFFERENTIABILITY
193
Î
Chain rule is rule to differentiate composites of functions. If f = v o u, t = u (x)
and if both 
dt
dx
and 
dv
dt
exist then
df dv dt
dx
dt dx
=
Î
Following are some of the standard derivatives (in appropriate domains):
(
)
1
2
1
sin
1
d
x
dx
x
=
(
)
1
2
1
cos
1
d
x
dx
x
=−
(
)
1
2
1
tan
1
d
x
dx
x
=
+
(
)
1
2
1
cot
1
d
x
dx
x
=
+
(
)
1
2
1
sec
1
d
x
dx
x
x
=
(
)
1
2
1
cosec
1
d
x
dx
x
x
=
(
)
x
x
d
e
e
dx
=
(
)
1
log
d
x
dx
x
=
Î
Logarithmic differentiation is a powerful technique to differentiate functions
of the form f (x) = [u (x)]
v(x)
. Here both f(x) and u(x) need to be positive for
this technique to make sense.
Î
Rolle’s Theorem: If f : [a, b] → R is continuous on [a, b] and differentiable
on (a,  b) such that f (a) = f(b), then there exists some c in (a, b) such that
f′(c) = 0.
Î
Mean  Value  Theorem:  If f  :  [a,  b]  → R  is  continuous on [ a,  b]  and
differentiable on (a, b). Then there exists some c in (a, b) such that
( )
( )
( )
f b
f a
f c
b a
′ =

MATHEMATICS
194
With the Calculus as a key, Mathematics can be successfully applied
to the explanation of the course of Nature.”
— WHITEHEAD 
6.1 Introduction
In Chapter 5, we have learnt how to find derivative of composite functions, inverse
trigonometric functions, implicit functions, exponential functions and logarithmic functions.
In this chapter, we will study applications of the derivative in various disciplines, e.g., in
engineering, science, social science, and many  other fields. For instance, we will learn
how the derivative can be used (i) to determine rate of change of quantities, (ii) to find
the equations of tangent and normal to a curve at a point, (iii) to find turning points on
the graph of a function which in turn will help us to locate points at which largest or
smallest value (locally) of a function occurs. We will also use derivative to find intervals
on which a function is increasing or decreasing. Finally, we use the derivative to find
approximate value of certain quantities.
6.2 Rate of Change of Quantities
Recall  that  by  the  derivative 
ds
dt
,  we mean  the rate  of  change of  distance  s  with
respect to the time t. In a similar fashion, whenever one quantity y varies with another
quantity x, satisfying some rule 
( )
y f x
=
, then 
dy
dx
(or f′(x)) represents the rate of
change of y with respect to x and  
0
x x
dy
dx
=
(or  f′(x
0
)) represents the  rate of change
of y with respect to x at 
0
x=x
.
Further, if two variables x and y are varying with respect to another variable t, i.e.,
if 
()
x f t
=
and 
()
y g t
=
, then by Chain Rule
dy
dx
=
dy dx
dt dt
 if  
0
dx
dt
Chapter
6
APPLICATION OF
DERIVATIVES
APPLICATION OF DERIVATIVES
195
Thus, the rate of change of y with respect to x can be calculated using the rate of
change of y and that of x both with respect to t.
Let us consider some examples.
Example 1 Find the rate of change of the area of a circle per second with respect to
its radius r when r = 5 cm.
Solution The area A of a circle with radius r is given by A = πr
2
. Therefore, the rate
of change of the area A with respect to its radius r is given by 
2
A
(
) 2
d
d
r
r
dr
dr
=
π
= π
.
When r =  5 cm, 
A
10
d
dr
= π
. Thus, the  area of  the circle  is  changing  at the  rate of
10π cm
2
/s.
Example 2 The volume of a cube is increasing at a rate of 9 cubic centimetres per
second.  How  fast  is  the surface area increasing  when the  length  of  an  edge is 10
centimetres ?
Solution Let x be the length of a side, V be the volume and S be the surface area of
the cube. Then, V = x
3
and S = 6x
2
, where x is a function of time t.
Now
dV
dt
=9cm
3
/s (Given)
Therefore
9 =
3
3
V
( )
( )
d
d
d
dx
x
x
dt dt
dx
dt
=
=
(By Chain Rule)
=
2
3
dx
x
dt
or
dx
dt
=
2
3
x
... (1)
Now
dS
dt
=
2
2
(6 )
(6 )
d
d
dx
x
x
dt
dx
dt
=
(By Chain Rule)
=
2
3
36
12x
x
x
 
=
 
 
(Using (1))
Hence, when
x = 10 cm, 
2
3.6 cm /s
dS
dt
=
MATHEMATICS
196
Example 3 A stone is dropped into a quiet lake and waves move in circles at a speed
of 4cm per second. At the instant, when the radius of the circular wave is 10 cm, how
fast is the enclosed area increasing?
Solution The area A of a circle with radius r is given by A = πr
2
. Therefore, the rate
of change of area A with respect to time t is
dA
dt
=
2
2
(
)
(
)
d
d
dr
r
r
dt
dr
dt
π
=
π
= 2π r 
dr
dt
(By Chain Rule)
It is given that
dr
dt
=4cm/s
Therefore, when r = 10 cm,
dA
dt
=2π (10) (4) = 80π
Thus, the enclosed area is increasing at the rate of 80π cm
2
/s, when r = 10 cm.
a
Note  
dy
dx
is positive if y increases as x increases and is negative if y decreases
as  x  increases.
Example 4 The length x of a rectangle is decreasing at the rate of 3 cm/minute and
the width y is increasing at the rate of 2cm/minute. When x =10cm and y = 6cm, find
the rates of change of (a) the perimeter and (b) the area of the rectangle.
Solution Since the length x is decreasing and the width y is increasing with respect to
time, we have
3cm/min
dx
dt
=−
and
2cm/min
dy
dt
=
(a) The perimeter P of a rectangle is given by
P = 2 (x + y)
Therefore
dP
dt
=
2
2( 3 2)
2cm/min
dx dy
dt dt
+
=
− +
=−
(b) The area A of the rectangle is given by
A = x . y
Therefore
dA
dt
=
dx
dy
y x
dt
dt
⋅ + ⋅
=– 3(6) + 10(2) (as x = 10 cm and y = 6 cm)
=2 cm
2
/min
Documents you may be interested
Documents you may be interested