how to display pdf file in asp net using c# : Extract text from pdf using c# control application system web page html windows console Mathematics-Part1-Class-1221-part1880

APPLICATION OF DERIVATIVES
197
Example 5 The total cost C(x) in Rupees, associated with the production of x units of
an item is given by
C(x) = 0.005 x
3
– 0.02 x
2
+ 30x + 5000
Find the marginal cost when 3 units are produced, where by marginal cost we
mean the instantaneous rate of change of total cost at any level of output.
Solution Since marginal cost is the rate of change of total cost with respect to the
output, we have
Marginal
cost (MC) =
2
0.005(3 ) 0.02(2 ) 30
dC
x
x
dx
=
+
When
x = 3, MC =
2
0.015(3 ) 0.04(3) 30
+
=0.135 – 0.12 + 30 = 30.015
Hence, the required marginal cost is Rs 30.02 (nearly).
Example 6 The total revenue in Rupees received from the sale of x units of a product
is given by R(x) = 3x
2
+ 36x + 5. Find the marginal revenue, when x = 5, where by
marginal revenue we mean the  rate of change of total revenue with respect  to the
number of items sold at an instant.
Solution Since marginal revenue is the rate of change of total revenue with respect to
the number of units sold, we have
Marginal Revenue
(MR) =
R
6
36
d
x
dx
=
+
When
x = 5, MR = 6(5) + 36 = 66
Hence, the required marginal revenue is Rs 66.
EXERCISE 6.1
1. Find the rate of change of the area of a circle with respect to its radius r when
(a) r = 3 cm
(b) r = 4 cm
2. The volume of a cube is increasing at the rate of 8 cm
3
/s.  How fast is  the
surface area increasing when the length of an edge is 12 cm?
3. The radius of a circle is increasing uniformly at the rate of 3 cm/s. Find the rate
at which the area of the circle is increasing when the radius is 10 cm.
4. An edge of a variable cube is increasing at the rate of 3 cm/s. How fast is the
volume of the cube increasing when the edge is 10 cm long?
5. A stone is dropped into a quiet lake and waves move in circles at the speed of
5 cm/s. At the instant when the radius of the circular wave is 8 cm, how fast is
the enclosed area increasing?
Extract text from pdf using c# - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
delete text from pdf online; extract text from scanned pdf
Extract text from pdf using c# - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
delete text from pdf; extract text from pdf to word
MATHEMATICS
198
6. The radius of a circle is increasing at the rate of 0.7 cm/s. What is the rate of
increase of its circumference?
7. The length x of a rectangle is decreasing at the rate of 5 cm/minute and the
width y is increasing at the rate of 4 cm/minute. When x = 8cm and y = 6cm, find
the rates of change  of (a) the perimeter, and (b) the area of the rectangle.
8. A balloon, which always remains spherical on inflation, is being inflated by pumping
in 900 cubic centimetres of gas per second. Find the rate at which the radius of
the balloon increases when the radius is 15 cm.
9. A balloon, which always remains spherical has a variable radius. Find the rate at
which its volume is increasing with the radius when the later is 10 cm.
10. A ladder 5 m long is leaning against a wall. The bottom of the ladder is pulled
along the ground, away from the wall, at the rate of 2cm/s. How fast is its height
on the wall decreasing when the foot of the ladder is 4 m away from the wall ?
11. A particle moves along the curve 6y = x
3
+2. Find the points on the curve at
which the y-coordinate is changing 8 times as fast as the x-coordinate.
12. The radius of an air bubble is increasing at the rate of 
1
2
cm/s. At what rate is the
volume of the bubble increasing when the radius is 1 cm?
13. A balloon, which always remains spherical, has a variable diameter 
3
(2
1)
2
x+
.
Find the rate of change of its volume with respect to x.
14. Sand is pouring from a pipe at the rate of 12 cm
3
/s. The falling sand forms a cone
on the ground in such a way that the height of the cone is always one-sixth of the
radius of the base. How fast is the height of the sand cone increasing when the
height is 4 cm?
15. The total cost C(x) in Rupees associated with the production of x units of an
item is given by
C(x) = 0.007x
3
– 0.003x
2
+ 15x + 4000.
Find the marginal cost when 17 units are produced.
16. The total revenue in Rupees received from the sale of x units of a product is
given by
R(x) = 13x
2
+ 26x + 15.
Find the marginal revenue when  x = 7.
Choose the correct answer in the Exercises 17 and 18.
17. The rate of change of the area of a circle with respect to its radius r at r = 6 cm is
(A) 10π
(B) 12π
(C) 8π
(D) 11π
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
C#.NET Sample Code: Insert Text Character to PDF Using C#.NET. This C#.NET Sample Code: Insert Text String to PDF Using C#.NET. If
export text from pdf to word; erase text from pdf
C# PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR SDK
C#.NET PDF - Extract Text from Scanned PDF Using OCR SDK for C#.NET. How to Extract Text from Adobe PDF Document Using .NET OCR Library in Visual C#. Overview.
extract text from pdf java open source; c# extract pdf text
APPLICATION OF DERIVATIVES
199
18. The total revenue in Rupees received from the sale of x units of a product is
given by
R(x) = 3x
2
+ 36x + 5.  The marginal revenue, when x = 15 is
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126
6.3  Increasing and Decreasing Functions
In this section, we will use differentiation to find out whether a function is increasing or
decreasing or none.
Consider the function f given by f(x) = x
2
, x ∈ R. The graph of this function is a
parabola  as given in Fig 6.1.
Fig  6.1
First consider the graph (Fig 6.1) to the right of the origin. Observe that as we
move from left to right along the graph, the height of the graph continuously increases.
For this reason, the function is said to be increasing for the real numbers x > 0.
Now consider the graph to the left of the origin and observe here that as we move
from left to right along the graph, the height of  the  graph continuously decreases.
Consequently, the function is said to be decreasing for the real numbers  x < 0.
We shall now give the following analytical  definitions  for a function  which is
increasing or decreasing on an interval.
Definition 1 Let I be an interval contained in the domain of a real valued function f.
Then f is said to be
(i) increasing on I if x
1
< x
2
in I ⇒ f(x
1
) ≤ f(x
2
) for all x
1
, x
2
∈ I.
(ii) strictly increasing on I if x
1
< x
2
in I ⇒ f(x
1
) < f(x
2
) for all x
1
, x
2
∈ I.
x
f (x) = x
2
–2
4
3
2
9
4
–1
1
1
2
1
4
0
0
Values left to origin
as we move from left to right, the
height of  the  graph  decreases
x
f (x) =  x
2
0
0
1
2
1
4
1
1
3
2
9
4
2
4
Values right to origin
as we move from left to right, the
height  of  the  graph increases
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
using RasterEdge.Imaging.Basic; using RasterEdge.XDoc.PDF; C#: Extract All Images from PDF Document. C# programming sample for extracting all images from PDF.
copy and paste pdf text; delete text from pdf acrobat
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Able to extract single or multiple pages from adobe portable document format, known as PDF document, is a documents even though they are using different types
copy paste text pdf; export highlighted text from pdf to word
MATHEMATICS
200
(iii) decreasing on I if x
1
< x
2
in I ⇒ f (x
1
) ≥ f (x
2
) for all x
1
, x
2
∈ I.
(iv) strictly decreasing on I if x
1
< x
2
in I ⇒ f (x
1
) > f(x
2
) for all x
1
, x
2
∈ I.
For graphical representation of such functions see Fig 6.2.
Fig 6.2
We shall now define when a function is increasing or decreasing at a point.
Definition 2 Let x
0
be a point in the domain of definition of a real valued function  f.
Then  f  is said to be increasing, strictly increasing, decreasing or strictly decreasing at
x
0
if  there exists an open interval I containing x
0
such that  f  is increasing, strictly
increasing, decreasing or strictly decreasing, respectively, in I.
Let us clarify this definition for the case of increasing function.
A function f is said to be increasing at x
0
if there exists an interval I = (x
0
– h, x
0
+ h),
h > 0 such that for  x
1
, x
2
∈ I
x
1
< x
2
in I ⇒ f (x
1
) ≤   f (x
2
)
Similarly, the other cases can be clarified.
Example 7 Show that the function given by f(x) = 7x – 3 is strictly increasing on R.
Solution Let x
1
and x
2
be any two numbers in R. Then
x
1
< x
2
⇒ 7x
1
< 7x
⇒ 7x
1
– 3 < 7x
2
– 3 ⇒ f(x
1
) < f (x
2
)
C# PDF Convert to Jpeg SDK: Convert PDF to JPEG images in C#.net
Convert PDF to JPEG Using C#.NET. Add necessary references: RasterEdge.Imaging.Basic. dll. RasterEdge.Imaging.Basic.Codec.dll. RasterEdge.Imaging.Drawing.dll.
.net extract pdf text; copy and paste text from pdf to excel
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
Now you can convert source PDF document to text file using the C# demo code we have offered below. How to Use C#.NET Demo Code to Convert PDF to Text in C#.NET.
c# get text from pdf; copy text from protected pdf to word
The proof of this test requires the Mean Value Theorem studied in Chapter 5.
Theorem 1 Let  f  be continuous on [a, b] and differentiable on the open interval
(a,b).  Then
(a) f  is strictly increasing in [a,b] if f′(x) > 0 for each x ∈ (a, b)
(b) f  is strictly decreasing in [a,b] if f′(x) < 0 for each x ∈ (a, b)
(c) f  is a constant function in [a,b] if f ′(x) = 0 for each x ∈ (a, b)
Proof (a) Let x
1
,  x
2
∈ [a, b] be such that  x
Then, by Mean Value Theorem (Theorem 8 in Chapter 5), there exists a point c
1
2
1
2
1
2
( )
( ), for all ,
[ , ]
x
x
f x
f x
x x
ab
<
<
Hence, f  is an increasing function in [a,b].
The proofs of part (b) and (c) are similar. It is left as an exercise to the reader.
Remarks
(i) There is a more generalised theorem, which states that if f′(x) > 0 for  x in an
interval excluding the end points and f is continuous in the interval, then f is
strictly increasing. Similarly, if f′(x) < 0 for x in an interval excluding the end
points and f is continuous in the interval, then f is strictly decreasing.
(ii) If a function is strictly increasing or strictly decreasing in an interval I, then it is
necessarily increasing  or  decreasing  in I.  However, the converse need not
be true.
Example 8 Show that the function  f  given by
f(x)  = x
3
– 3x
2
+ 4x, x ∈  R
is strictly increasing on R.
Solution Note that
f′(x)  = 3x
2
– 6x + 4
C# PDF insert image Library: insert images into PDF in C#.net, ASP
C#.NET PDF SDK - Add Image to PDF Page in C#.NET. How to Insert & Add Image, Picture or Logo on PDF Page Using C#.NET. Add Image to PDF Page Using C#.NET.
extract highlighted text from pdf; copy highlighted text from pdf
C# PDF Page Insert Library: insert pages into PDF file in C#.net
doc2.InsertPage(page, pageIndex); // Output the new document. doc2.Save(outPutFilePath); Add and Insert Multiple PDF Pages to PDF Document Using C#.
c# read text from pdf; copy text from pdf to word with formatting
MATHEMATICS
202
=3(x
2
– 2x + 1) + 1
=3(x – 1)
2
+ 1 > 0, in every interval of R
Therefore, the function  f is strictly increasing on R.
Example 9 Prove that the function given by f(x) = cos x is
(a) strictly decreasing in (0, π)
(b) strictly increasing in (π, 2π), and
(c) neither increasing nor decreasing in (0, 2π).
Solution Note that f′(x) = – sin x
(a) Since  for each  x  ∈  (0,  π),  sin  x  >  0, we  have f ′(x) < 0 and so  f is  strictly
decreasing in (0, π).
(b) Since for each x ∈  (π, 2π), sin  x  < 0,  we have f ′(x) > 0 and  so f is  strictly
increasing in (π, 2π).
(c) Clearly by (a) and (b) above, f is neither increasing nor decreasing in (0, 2π).
Example 10 Find the intervals in which the function f given by f(x) = x
2
– 4x + 6 is
(a) strictly increasing
(b)  strictly decreasing
Solution We have
f(x) = x
2
– 4x + 6
or
f′(x) = 2x – 4
Therefore, f′(x) = 0 gives x = 2. Now
the point x = 2 divides the real line into two
disjoint intervals namely, (– ∞, 2) and (2,
∞) (Fig 6.3). In the interval (– ∞, 2), f′(x)
= 2x – 4 < 0.
Therefore, f is  strictly  decreasing  in  this interval. Also,  in the  interval  (2, ∞)
,
( ) 0
f′x >
and so the function  f  is strictly increasing in this interval.
Example 11 Find the intervals in which the function f given by f (x) = 4x
3
– 6x
2
– 72x + 30
is (a) strictly increasing (b) strictly decreasing.
Solution We have
f(x) = 4x
3
– 6x
2
– 72x + 30
Fig 6.3
APPLICATION OF DERIVATIVES
203
or
f′(x)  = 12x
2
– 12x – 72
=12(x
2
– x – 6)
=12(x – 3) (x + 2)
Therefore, f′(x) = 0 gives x = – 2, 3. The
points x = – 2 and  x = 3 divides the real line into
three disjoint intervals, namely, (– ∞, – 2), (– 2, 3)
and (3, ∞).
In the intervals (– ∞, – 2) and (3, ∞), f′(x) is positive while in the interval (– 2, 3),
f′(x) is negative. Consequently, the function f is strictly  increasing in  the  intervals
(– ∞, – 2) and (3, ∞) while the function is strictly decreasing in the interval (– 2, 3).
However, f is neither increasing nor decreasing in R.
Interval
Sign of  f′(x)
Nature of function f
(– ∞, – 2)
(–) (–) > 0
f is strictly increasing
(– 2, 3)
(–) (+) < 0
f is strictly decreasing
(3, ∞)
(+) (+) > 0
f is strictly increasing
Example 12 Find intervals in which the function given by f (x) = sin 3x, 
0,
2
x
π
is
(a) increasing (b) decreasing.
Solution We have
f(x)  = sin 3x
or
f′(x)  = 3cos 3x
Therefore, f ′(x) = 0 gives cos 3x = 0 which in turn gives 
3
3
,
2 2
x
π
π
=
(as 
0,
2
x
π
implies 
3
3
0,
2
x
π
). So 
6
x
π
=
and 
2
π
. The point 
6
x
π
=
divides the interval 
0,
2
π
into two disjoint intervals 
0,
6
π
and 
,
6 2
π π
.
Now,  ( ) 0
f′ x >
for all 
0,
6
x
π
as 
0
0 3
6
2
x
x
π
π
≤ < ⇒
<
and  ( ) 0
f′ x <
for
all 
,
6 2
x
π π
as 
3
3
6
2
2
2
x
x
π
π
π
π
< < ⇒
<
<
.
Fig 6.4
Fig 6.5
MATHEMATICS
204
Therefore, f is strictly increasing in 
0,
6
π
and strictly decreasing in 
,
6 2
π π
.
Also, the given function is continuous at x = 0 and 
6
x
π
=
. Therefore, by Theorem 1,
f is increasing on 
0,
6
π
and decreasing on 
,
6 2
π π
.
Example 13 Find the intervals in which the function f given by
f (x) = sin x + cos x, 0 ≤ x ≤ 2π
is strictly increasing or strictly decreasing.
Solution We have
f(x) = sin x + cos x,
or
f′(x) = cos x – sin x
Now  ( ) 0
f′x =
gives sin x = cos x which gives  that 
4
x
π
=
5
4
π
as 
0
≤ x≤ 2π
The points 
4
x
π
=
and 
5
4
x
π
=
divide the interval [0, 2π] into three disjoint intervals,
namely, 
0,
4
π
5
,
4 4
π π
and 
5
,2
4
π
π
.
Note that
5
( ) 0 if
0,
,2
4
4
f x
x
π
π
 
>
π
 
 
or
 is strictly increasing in the intervals 
0,
4
π
and 
5
,2
4
π
π
Also
5
( ) 0 if
,
4 4
f x
x
π π
<
or
f  is strictly decreasing in 
5
,
4 4
π π
Fig 6.6
APPLICATION OF DERIVATIVES
205
Interval
Sign of ( )
f′ x
Nature of function
0,
4
π
> 0
 is strictly increasing
5
,
4 4
π π
< 0
f  is strictly decreasing
5
,2
4
π
π
> 0
f  is strictly increasing
EXERCISE 6.2
1. Show that the function given by f (x) = 3x + 17 is strictly increasing on R.
2. Show that the function given by f (x) = e
2x
is strictly increasing on R.
3. Show that the function given by f (x) = sin x is
(a) strictly increasing in 
0,
2
π
(b) strictly decreasing in 
,
2
π
π
(c) neither increasing nor decreasing in (0, π)
4. Find the intervals in which the function f given by  f(x) = 2x
2
– 3x is
(a) strictly increasing
(b) strictly decreasing
5. Find the intervals in which the function f given by f(x) = 2x
3
– 3x
2
– 36x + 7 is
(a) strictly increasing
(b) strictly decreasing
6. Find the intervals in which the following functions are strictly increasing or
decreasing:
(a) x
2
+ 2x – 5
(b) 10 – 6x – 2x
2
(c) –2x
3
– 9x
2
– 12x + 1
(d) 6 – 9x –  x
2
(e) (x + 1)
3
(x – 3)
3
7. Show that 
2
log(1
)
2
x
y
x
x
=
+
+
,  x >  – 1,  is    an  increasing  function  of x
throughout its domain.
8. Find the values of x for which y = [x(x – 2)]
2
is an increasing function.
9. Prove that 
4sin
(2 cos )
y
θ
=
−θ
+
θ
is an increasing function of 
θ
in 
0,
2
π
.
MATHEMATICS
206
10. Prove that the logarithmic function is strictly increasing on (0, ∞).
11. Prove that the function f given by f(x) = x
2
– x + 1 is neither strictly increasing
nor strictly decreasing on (– 1, 1).
12. Which of the following functions are strictly decreasing on 
0,
2
π
?
(A) cos x
(B) cos 2x
(C) cos 3x
(D) tan x
13. On which of the following intervals is the function f given by f(x) = x
100
+ sin x –1
strictly decreasing ?
(A) (0,1)
(B)
,
2
π
π
(C)
0,
2
π
(D) None of these
14. Find the least value of a such that the function f given by f(x) = x
2
+ ax + 1 is
strictly increasing on (1, 2).
15. Let I be any interval disjoint from [–1, 1]. Prove that the function f  given by
1
f (x)
x
x
= +
is strictly increasing on I.
16. Prove that the function f given by f(x) = log sin x  is strictly increasing on 
0,
2
π
and strictly decreasing on 
,
2
π
π
.
17. Prove that the function f given by f(x) = log cos x is strictly decreasing on
0,
2
π
and strictly increasing on 
,
2
π
π
.
18. Prove that the function given by f(x) = x
3
– 3x
2
+ 3x – 100 is increasing in R.
19. The interval in which y = x
2
e
–x
is increasing is
(A) (– ∞,  ∞)
(B) (– 2, 0)
(C) (2, ∞)
(D) (0, 2)
6.4  Tangents and Normals
In this section, we shall use differentiation to find the equation of the tangent line and
the normal line to a curve at a given point.
Recall that the equation of a straight line passing through a given point (x
0
, y
0
)
having finite slope m is given by
y – y
0
= m (x – x
0
)
Documents you may be interested
Documents you may be interested