how to display pdf file in asp net using c# : Delete text from pdf online software application project winforms windows html UWP Mathematics-Part1-Class-1222-part1881

APPLICATION OF DERIVATIVES
207
Note that the slope of the tangent to the curve y = f(x)
at the point (x
0
,  y
0
) is given by 
0
( , )
0 0
(
( ))
x y
dy
f x
dx
=
. So
the equation of the tangent  at (x
0
, y
0
 to the curve y = f (x)
is given by
y – y
0
= f ′(x
0
)(x –  x
0
)
Also, since the normal is perpendicular to the tangent,
the slope of the normal to the curve y = f (x) at  (x
0
, y
0
) is
0
1
( )
f x
,  if 
0
( ) 0
f x ≠
. Therefore,  the equation  of  the
normal to the curve y =  f(x)  at (x
0
, y
0
)  is given by
y – y
0
=
0
0
1
(
)
( )
x x
f x
i.e.
0
0
0
(
) ( ) (
)
y y f x
x x
+ −
=0
a
Note  If a tangent line to the curve y = f(x) makes an angle θ with x-axis in the
positive direction, then 
slope of the tangent tan
dy
dx
=
=
θ
.
Particular  cases
(i) If slope of the tangent line is zero, then tan θ = 0 and so θ = 0 which means the
tangent line is parallel to the x-axis. In this case, the equation of the tangent at
the point (x
0
, y
0
) is given by y = y
0
.
(ii) If 
2
π
θ→
, then tan θ → ∞, which means the tangent line is perpendicular to the
x-axis, i.e., parallel to the y-axis. In this case, the equation  of the tangent at
(x
0
, y
0
)  is given by x = x
0
(Why?).
Example 14 Find the slope of the tangent to the curve  y = x
3
– x at x = 2.
Solution The slope of the tangent at x = 2 is given by
x 2
dy
dx
=
=
2
2
3
1
11.
x
x
=
=
Fig 6.7
Delete text from pdf online - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
cut and paste pdf text; copy text from pdf to word
Delete text from pdf online - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
edit pdf replace text; copy pdf text to word document
MATHEMATICS
208
Example 15 Find the point at which the tangent to the curve 
4
3 1
y
x
=
− −
has its
slope 
2
3
.
Solution Slope of tangent to the given curve at (x, y) is
dy
dx
=
1
2
1
2
(4
3) 4
2
4
3
x
x
=
The slope is given to be 
2
3
.
So
2
4
x −3
=
2
3
or
4x – 3 = 9
or
x = 3
Now 
4
3 1
y
x
=
− −
. So when x = 3, 
4(3) 3 1 2
y=
=
− − =
.
Therefore, the required point is (3, 2).
Example 16 Find the equation of all lines having slope 2 and being tangent to the curve
2
0
3
y
x
+
=
.
Solution Slope of the tangent to the given curve at any point (x,y) is given by
dy
dx
=
2
2
(
3)
x−
But the slope is given to be 2. Therefore
2
2
(x −3)
=2
or
(x – 3)
2
= 1
or
x – 3 = ± 1
or
x = 2, 4
Now x = 2 gives y = 2 and x = 4 gives y = – 2. Thus, there are two tangents to the
given curve with slope 2 and passing through the points (2, 2) and (4, – 2). The equation
of tangent through (2, 2) is given by
y – 2 = 2(x – 2)
or
y – 2x + 2 = 0
and the equation of the tangent through (4, – 2) is given by
y – (– 2) = 2(x – 4)
or
y – 2x + 10 = 0
VB.NET PDF delete text library: delete, remove text from PDF file
Able to delete text characters at specified position from PDF. like add PDF text, add PDF text box and Online .NET framework freeware download and VB.NET class
extract formatted text from pdf; copy text from pdf in preview
VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.
Online source codes for quick evaluation in VB.NET class. If you are looking for a solution to conveniently delete one page from your PDF document, you can use
delete text from pdf preview; delete text from pdf with acrobat
APPLICATION OF DERIVATIVES
209
Example 17 Find points on the curve 
2
2
1
4
25
x
y
+
=
at which the tangents are (i) parallel
to x-axis (ii) parallel to y-axis.
Solution Differentiating 
2
2
1
4
25
x
y
+
=
with respect to x, we get
2
2 25
x
ydy
dx
+
=0
or
dy
dx
=
25
4
x
y
(i) Now, the tangent is parallel to the x-axis if the slope of the tangent is zero which
gives 
25
0
4
x
y
=
. This is possible if  x = 0. Then 
2
2
1
4
25
x
y
+
=
for  x = 0 gives
y
2
= 25, i.e., y = ± 5.
Thus, the points at which the tangents are parallel to the x-axis are (0, 5) and
(0, – 5).
(ii) The tangent line is parallel to y-axis if the slope of the normal is 0 which gives
4
0
25
y
x
=
, i.e., y = 0. Therefore, 
2
2
1
4
25
x
y
+
=
for y = 0 gives x = ± 2. Hence, the
points at which the tangents are parallel to the y-axis are (2, 0)  and  (–2, 0).
Example 18 Find the equation of the tangent to the curve 
7
(
2)(
3)
x
y
x
x
=
at the
point where it cuts the x-axis.
Solution Note that on x-axis, y = 0. So the equation of the curve, when y = 0, gives
x = 7. Thus, the curve cuts the x-axis at (7, 0). Now differentiating the equation of the
curve with respect to x, we obtain
dy
dx
=
1
(2
5)
( 2)(
3)
y x
x
x
(Why?)
or
(7,0)
dy
dx
=
1 0
1
(5)(4) 20
=
C# HTML5 PDF Viewer SDK to view PDF document online in C#.NET
files, C# view PDF online, C# convert PDF to tiff, C# read PDF, C# convert PDF to text, C# extract PDF pages, C# comment annotate PDF, C# delete PDF pages, C#
extract text from pdf java; cut text from pdf document
C# PDF Page Delete Library: remove PDF pages in C#.net, ASP.NET
Advanced component and library able to delete PDF page in both Visual C# .NET WinForms and ASP.NET WebForms project. Free online C# class source code for
extract text from pdf to excel; extract text from scanned pdf
MATHEMATICS
210
Therefore, the slope of the tangent at (7, 0) is 
1
20
. Hence, the equation of the
tangent at (7, 0) is
1
0
(
7)
20
y
x
− =
or
20
7 0
y−x + =
Example 19 Find the equations of the tangent and normal to the curve 
2
2
3
3
2
x
+y
+
=
at (1, 1).
Solution Differentiating 
2
2
3
3
2
x
+y
+
=
with respect to x, we get
1
1
3
3
2
2
3
3
dy
x
y
dx
+
=0
or
dy
dx
=
1
3
y
x
 
 
 
Therefore, the slope of the tangent at (1, 1) is 
(1,1)
1
dy
dx
=−
.
So the equation of the tangent at (1, 1) is
y – 1 = – 1 (x – 1)        or        y + x – 2 = 0
Also, the slope of the normal at (1, 1) is given by
1
slope of the tangent at (1,1)
= 1
Therefore, the equation of the normal at (1, 1) is
y – 1 = 1 (x – 1)        or        y – x = 0
Example 20 Find the equation of tangent to the curve given by
x = a sin
3
t ,
y = b cos
3
t
... (1)
at a point where 
2
t
π
=
.
Solution Differentiating (1) with respect to t, we get
2
3 sin cos
dx
a
t
t
dt
=
and
2
3 cos sin
dy
b
t t
dt
=−
VB.NET PDF- View PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
PDF Online. Annotate PDF Online. Create PDF Online. Convert PDF Online. WPF PDF PDF Write. Text: Insert Text to PDF. Text: Delete Text from PDF. Text: Replace
find and replace text in pdf; extracting text from pdf
C# PDF delete text Library: delete, remove text from PDF file in
C#.NET PDF SDK - Delete Text from PDF File in C#.NET. How to Use C# Programming Demo Code to Delete Text from PDF File with .NET PDF Component.
copy text from pdf without formatting; copy text from pdf with formatting
APPLICATION OF DERIVATIVES
211
or
dy
dy
dt
dx
dx
dt
=
=
2
2
3 cos sin
cos
sin
3 sin cos
b
t t
b
t
a
t
a
t
t
=
Therefore, slope of the tangent at 
2
t
π
=
is
2
t
dy
dx
π
=
=
cos
2
0
sin
2
b
a
π
=
π
Also, when 
2
t
π
=
, x = a and y = 0. Hence, the equation of tangent to the given
curve at 
2
t
π
=
, i.e., at (a, 0) is
y – 0 = 0(x – a), i.e., y = 0.
EXERCISE 6.3
1. Find the slope of the tangent to the curve y = 3x
4
– 4x at x = 4.
2. Find the slope of the tangent to the curve 
1
,
2
2
x
y
x
x
=
at x = 10.
3. Find the slope of the tangent to curve y = x
3
–  x +  1  at  the  point  whose
x-coordinate is 2.
4. Find the slope of the tangent to the curve y = x
3
–3x + 2 at the point whose
x-coordinate is 3.
5. Find the slope of the normal to the curve 
3
3
cos ,
sin
x a
y a
=
θ
=
θ
at 
.
4
π
θ=
6. Find the slope of the normal to the curve 
2
1
sin ,
cos
x
a
y b
= −
θ =
θ
at 
.
2
π
θ=
7. Find points at which the tangent to the curve  y = x
3
– 3x
2
– 9x + 7 is parallel to
the x-axis.
8. Find a point on the curve y = (x – 2)
at which the tangent is parallel to the chord
joining the points (2, 0) and (4, 4).
VB.NET PDF - Convert PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
files, C# view PDF online, C# convert PDF to tiff, C# read PDF, C# convert PDF to text, C# extract PDF pages, C# comment annotate PDF, C# delete PDF pages, C#
cut text pdf; get text from pdf image
VB.NET PDF - Annotate PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
VB.NET HTML5 PDF Viewer: Annotate PDF Online. This part will explain the usages of annotation tabs on RasterEdge VB.NET HTML5 PDF Viewer. Text Markup Tab. Item.
copy text from locked pdf; c# extract text from pdf
MATHEMATICS
212
9. Find the point on the curve y = x
3
– 11x + 5 at which the tangent is y = x – 11.
10. Find the equation of all lines having slope –1 that are tangents to the curve
1
1
y
x
=
, x ≠ 1.
11. Find the equation of  all lines having slope 2 which are tangents to the curve
1
3
y
x
=
, x ≠ 3.
12. Find the equations of all lines having slope 0 which are tangent to the curve
2
1
.
2
3
y
x
x
=
+
13. Find points on the curve 
2
2
1
9
16
x
y
+
=
at which the tangents are
(i) parallel to x-axis
(ii) parallel to y-axis.
14. Find the equations of the tangent and normal to the given curves at the indicated
points:
(i) y = x
4
– 6x
3
+ 13x
2
– 10x + 5 at (0, 5)
(ii) y = x
4
– 6x
3
+ 13x
2
– 10x + 5 at (1, 3)
(iii) y = x
3
at (1, 1)
(iv) y = x
2
at (0, 0)
(v) x = cos t, y = sin t at 
4
t
π
=
15. Find the equation of the tangent line to the curve y = x
2
– 2x +7 which is
(a) parallel to the line 2x – y + 9 = 0
(b) perpendicular to the line 5y – 15x = 13.
16. Show that the tangents to the curve y = 7x
3
+ 11 at the points where x = 2 and
x = – 2 are parallel.
17. Find the points on the curve y = x
3
at which the slope of the tangent is equal to
the y-coordinate of the point.
18. For the curve y = 4x
3
– 2x
5
,  find  all the  points at  which the  tangent  passes
through the origin.
19. Find the points on the curve x
2
+ y
2
– 2x – 3 = 0 at which the tangents are parallel
to the x-axis.
20. Find the equation of the normal at the point (am
2
,am
3
) for the curve ay
2
= x
3
.
APPLICATION OF DERIVATIVES
213
21. Find the equation of the normals to the curve y = x
3
+ 2x + 6 which are parallel
to the line x + 14y + 4 = 0.
22. Find the equations of the tangent and normal to the parabola y
2
= 4ax at the point
(at
2
,  2at).
23. Prove that the curves x = y
2
and xy =  k cut at right angles* if 8k
2
= 1.
24. Find the equations of the tangent and normal to the hyperbola 
2
2
2
2
1
x
y
a
b
=
at the
point (x
0
, y
0
).
25. Find the equation of the tangent to the curve 
3
2
y
x
=
which is parallel to the
line  4
2
5 0
x
− y
+ =
.
Choose the correct answer in Exercises 26 and 27.
26. The slope of the normal to the curve y = 2x
2
+ 3 sin x at x = 0 is
(A) 3
(B)
1
3
(C) –3
(D)
1
3
27. The line y = x + 1 is a tangent to the curve y
2
= 4x at the point
(A) (1, 2)
(B) (2, 1)
(C) (1, – 2)
(D) (– 1, 2)
6.5  Approximations
In this section, we will use differentials to approximate values of certain quantities.
Let f : D → R, D ⊂ R, be a given function
and  let  y  =  f(x).  Let ∆x  denote  a  small
increment in x. Recall that the increment in y
corresponding to the increment in x, denoted
by ∆y, is given by ∆y = f (x + ∆x) – f (x). We
define the following
(i) The differential of x, denoted by dx, is
defined by dx = ∆x.
(ii) The differential of y,  denoted  by dy,
is  defined  by  dy  =  f′( x)  dx  or
.
dy
dy
x
dx
=
Fig 6.8
*
Two curves intersect at right angle if the tangents to the curves at the point of intersection
are perpendicular to each other.
MATHEMATICS
214
In case dx = ∆x is relatively small when compared with x, dy is a good approximation
of ∆y and we denote it by dy ≈ ∆y.
For geometrical meaning of  ∆x, ∆y,  dx and  dy, one may refer to Fig 6.8.
a
Note In view of the above discussion and Fig 6.8, we may note that the
differential of the dependent variable is not equal to the increment of the variable
where as the differential of independent variable is equal to the increment of the
variable.
Example 21 Use differential to approximate 
36.6
.
Solution Take  
y
= x
. Let x = 36 and let ∆x = 0.6. Then
∆y =
36.6
36
36.6 6
x
x
x
+∆ −
=
=
or
36.6
=6 + ∆y
Now dy is approximately equal to ∆y and is given by
dy =
1
(0.6)
2
dy
x
dx
x
 
∆ =
 
 
1
2 36
(0.6) = 0.05
(as
)
y
= x
Thus, the approximate value of 
36.6
is 6 + 0.05 = 6.05.
Example 22 Use differential to approximate
1
3
(25)
.
Solution Let 
1
3
y=x
. Let x = 27 and let ∆x = – 2. Then
∆y =
1
1
3
3
(
)
x
x
x
+∆
1
1
1
3
3
3
(25) (27)
(25)
3
=
or
1
3
(25)
= 3 + ∆y
Now dy is approximately equal to ∆y and is given by
dy =
dy
x
dx
 
 
 
2
3
1
( 2)
3x
1
3
(as
)
y=x
=
1
2
3
1
2
( 2)
0.074
27
3((27) )
− =
=−
Thus, the approximate value of 
1
3
(25)
is given by
3 + (– 0. 074) = 2.926
APPLICATION OF DERIVATIVES
215
Example 23 Find the approximate value of  f(3.02), where f(x) = 3x
2
+ 5x + 3.
Solution Let x = 3 and ∆x = 0.02. Then
f(3. 02) = f (x + ∆x) = 3(x + ∆x)
2
+ 5(x + ∆x) + 3
Note that ∆y = f (x +  ∆x) – f (x). Therefore
f(x + ∆x) = f (x) + ∆y
≈f (x)  +  f ′(x) ∆x
(as dx =  ∆x)
or
f(3.02) ≈ (3x
2
+ 5x + 3) + (6x + 5) ∆x
= (3(3)
2
+ 5(3) + 3) + (6(3) + 5) (0.02)     (as x = 3, ∆x = 0.02)
= (27 + 15 + 3) + (18 + 5) (0.02)
= 45 + 0.46 = 45.46
Hence, approximate value of  f (3.02) is 45.46.
Example 24 Find the approximate change in the volume V of a cube of side x meters
caused by increasing the side by 2%.
Solution Note that
V = x
3
or
dV =
dV
x
dx
= (3x
2
) ∆x
=(3x
2
) (0.02x) = 0.06x
m
3
(as 2% of x is 0.02x)
Thus, the approximate change in volume is 0.06 x
m
3
.
Example 25 If the radius of a sphere is measured as 9 cm with an error of 0.03 cm,
then find the approximate error in calculating its volume.
Solution Let r be the radius of the sphere and ∆r be the error in measuring the radius.
Then r = 9 cm and ∆r = 0.03 cm. Now, the volume V of the sphere is given by
V =
3
4
3
πr
or
dV
dr
=4πr
2
Therefore
dV =
2
V
(4
)
d
r
r
r
dr
∆ = π
=4π(9)
2
(0.03) = 9.72πcm
3
Thus, the approximate error in calculating the volume is 9.72π cm
3
.
MATHEMATICS
216
EXERCISE 6.4
1. Using differentials, find the approximate value of each of the following up to 3
places of decimal.
(i)
25.3
(ii)
49.5
(iii)
0.6
(iv)
1
3
(0.009)
(v)
1
10
(0.999)
(vi)
1
4
(15)
(vii)
1
3
(26)
(viii)
1
4
(255)
(ix)
1
4
(82)
(x)
1
2
(401)
(xi)
1
2
(0.0037)
(xii)
1
3
(26.57)
(xiii)
1
4
(81.5)
(xiv)
3
2
(3.968)
(xv)
1
5
(32.15)
2. Find the approximate value of  f(2.01), where f(x) = 4x
2
+ 5x + 2.
3. Find the approximate value of  f(5.001), where f(x) = x
3
– 7x
2
+ 15.
4. Find the approximate change in the volume V of a cube of side x metres caused
by increasing the side by 1%.
5. Find the approximate change in the surface area of a cube of side x metres
caused by decreasing the side by 1%.
6. If the radius of a sphere is measured as 7 m with an error of 0.02 m, then find the
approximate error in calculating its volume.
7. If the radius of a sphere is measured as 9 m with an error of 0.03 m, then find the
approximate error in calculating its surface area.
8. If  f(x) = 3x
2
+ 15x + 5, then the approximate value of  f (3.02) is
(A) 47.66
(B) 57.66
(C) 67.66
(D) 77.66
9. The approximate change in the volume of a cube of side x metres caused by
increasing the side by 3% is
(A) 0.06 x
3  
m
3
(B) 0.6 x
m
3
(C) 0.09 x
m
3
(D) 0.9 x
m
3
6.6  Maxima and Minima
In this section, we will use the concept of derivatives to calculate the maximum or
minimum values of  various functions. In fact, we will find the ‘turning points’ of the
graph of a function and thus find points at which the graph reaches its highest (or
Documents you may be interested
Documents you may be interested