how to display pdf file in asp net using c# : Delete text from pdf file SDK control service wpf web page asp.net dnn Mathematics-Part1-Class-1223-part1882

APPLICATION OF DERIVATIVES
217
lowest) locally. The knowledge of such points is very useful in sketching the graph of
a given function. Further, we will also find the absolute maximum and absolute minimum
of a function that are necessary for the solution of many applied problems.
Let us consider the following problems that arise in day to day life.
(i) The profit from a grove of orange trees is given by P(x) = ax + bx
2
, where a,b
are constants and x is the number of orange trees per acre. How many trees per
acre will maximise the profit?
(ii) A ball, thrown into the air from a building 60 metres high, travels along a path
given by 
2
( ) 60
60
x
hx
x
=
+ −
, where x is the horizontal distance from the building
and h(x) is the height of the ball . What is the maximum height the ball will
reach?
(iii) An  Apache  helicopter  of enemy is flying along the  path given by the  curve
f (x) = x
+ 7. A soldier, placed at the point (1, 2), wants to shoot the helicopter
when it is nearest to him. What is the nearest distance?
In each of the above problem, there is something common, i.e., we wish to find out
the maximum or minimum values of the given functions. In order to tackle such problems,
we first formally define maximum or minimum values of a function, points of local
maxima and minima and test for determining such points.
Definition 3 Let f be a function defined on an interval I. Then
(a)  f is said to have a maximum value in I, if there exists a point c in I such that
( )
( )
>
f c
f x
, for all x ∈ I.
The number f (c) is called the maximum value of f in I and the point c is called a
point of maximum value of f in I.
(b)  f  is said to have a minimum value in I, if there exists a point c in I such that
f(c) < f (x), for all x ∈ I.
The number f (c), in this case, is called the minimum value of f in I and the point
c, in this case, is called a point of minimum value of  f  in I.
(c) f is said to have an extreme value in I if there exists a point c in I such that
f (c) is either a maximum value or a minimum value of f  in I.
The number  f (c), in this case, is called an extreme value of  f  in I and the point c
is called an extreme point.
Remark In Fig 6.9(a), (b) and (c), we have exhibited that graphs of certain particular
functions  help us to find maximum value and minimum value at a point. Infact, through
graphs, we can even find maximum/minimum value of a function at a point at which it
is not even differentiable (Example 27).
Delete text from pdf file - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
delete text from pdf online; get text from pdf into excel
Delete text from pdf file - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
extract text from pdf to word; how to copy and paste pdf text
MATHEMATICS
218
Fig 6.9
Example 26 Find the maximum and the minimum values,
if any, of the function f  given by
f(x) = x
2
, x ∈ R.
Solution From the graph of the given function (Fig 6.10),
we have  f(x) = 0 if x = 0. Also
f(x) ≥ 0, for all x ∈ R.
Therefore, the minimum value of  f  is 0 and the point
of minimum value of f is x = 0. Further, it may be observed
from the graph of the function  that f  has  no maximum
value and hence no point of maximum value of  f  in R.
a
Note  If we restrict the domain of  f to [– 2, 1] only,
then f will have maximum value(– 2)
2
= 4 at x = – 2.
Example 27 Find the maximum and minimum values
of  f , if any, of the function given by f(x) = | x|, x ∈ R.
Solution From the graph of the given function
(Fig 6.11) , note that
f(x) ≥ 0, for all x ∈ R and  f (x) = 0  if  x = 0.
Therefore, the function f  has a minimum value 0
and the point of minimum value of f is x = 0. Also, the
graph clearly shows that f  has no maximum value in
R and hence no point of maximum value in R.
a
Note
(i) If we restrict the domain of f to [– 2, 1] only, then f will have maximum value
|– 2| = 2.
Fig 6.10
Fig 6.11
VB.NET PDF delete text library: delete, remove text from PDF file
VB.NET PDF - How to Delete Text from PDF File in VB.NET. VB.NET Programming Guide to Delete Text from PDF File Using XDoc.PDF SDK for VB.NET.
extract pdf text to word; extract text from pdf using c#
C# PDF delete text Library: delete, remove text from PDF file in
C#.NET PDF SDK - Delete Text from PDF File in C#.NET. How to Use C# Programming Demo Code to Delete Text from PDF File with .NET PDF Component.
extract text from pdf file; export text from pdf
APPLICATION OF DERIVATIVES
219
(ii) One  may  note  that the  function f  in  Example 27 is  not  differentiable at
x = 0.
Example 28 Find the maximum and the minimum values, if any, of the function
given by
f(x)  = x, x ∈ (0, 1).
Solution The given function is an increasing (strictly) function in the given interval
(0, 1). From the graph (Fig 6.12) of the function f , it
seems that, it should have the minimum value at a
point closest to 0 on its right and the maximum value
at a  point closest to 1  on  its left. Are such points
available? Of course, not. It is not possible to locate
such points. Infact, if a point x
0
is closest to 0, then
we find 
0
0
2
x
x<
for  all 
0
(0,1)
x ∈
.  Also, if x
1
is
closest to 1, then 
1
1
1
2
x
x
+
>
for all 
1
(0,1)
x ∈
.
Therefore, the given function has neither the maximum value nor the minimum
value in the interval (0,1).
Remark The reader may observe that in Example 28, if we include the points 0 and 1
in the domain of  f , i.e., if we extend the domain of  f  to [0,1], then the function  f  has
minimum value 0 at x = 0 and maximum value 1 at x = 1. Infact, we have the following
results (The proof of these results are beyond the scope of the present text)
Every  monotonic function  assumes  its  maximum/minimum value  at  the end
points of  the  domain of  definition  of the function.
A more general result is
Every continuous function on a closed interval has a maximum and a minimum
value.
a
Note  By a monotonic function f  in an interval I, we mean that f  is either
increasing in I or decreasing in I.
Maximum and minimum values of a function defined on a closed interval will be
discussed later in this section.
Let us now examine the graph of a function as shown in Fig 6.13. Observe that at
points A, B, C and D on the graph, the function changes its nature from decreasing to
increasing  or  vice-versa.  These  points  may  be called  turning  points  of the given
function. Further, observe that at turning points, the graph has either a little hill or a little
valley. Roughly speaking, the function has minimum value in some neighbourhood
(interval) of each of the points A and C which are at the bottom of their respective
Fig 6.12
C# PDF File & Page Process Library SDK for C#.net, ASP.NET, MVC
C# File: Merge PDF; C# File: Split PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages; C# Read: PDF Text Extract; C# Read: PDF
copy pdf text to word with formatting; extract text from pdf online
VB.NET PDF Page Delete Library: remove PDF pages in vb.net, ASP.
using RasterEdge.XDoc.PDF; How to VB.NET: Delete a Single PDF Page from PDF File. This is a VB .NET example for how to delete a single page from a PDF document.
delete text from pdf file; copy text from encrypted pdf
MATHEMATICS
220
valleys. Similarly, the function has maximum value in some neighbourhood of points B
and D which are at the top of their respective hills. For this reason, the points A and C
may be regarded as points of local minimum value (or relative minimum value) and
points B and D may be regarded as points of local maximum value (or relative maximum
value) for the function. The local maximum value and local minimum value of the
function are referred to as local maxima and local minima, respectively, of the function.
We now formally give the following definition
Definition 4 Let  f  be a real valued function and let c be an interior point in the domain
of f. Then
(a) c is called a point of local maxima if there is an h > 0 such that
f(c) > f (x), for all x in (c – h, c + h)
The value f (c) is called the local maximum value of f.
(b) c is called a point of local minima if there is an h > 0 such that
f(c) < f (x), for all  x in ( c – h, c + h)
The value f (c) is called the local minimum value of f .
Geometrically, the above definition states that if  x = c is a point of local maxima of  f,
then the graph of f around c will be as shown in Fig 6.14(a). Note that the function f  is
increasing (i.e., f′(x) > 0) in the interval (c – h, c) and decreasing (i.e., f ′(x) < 0) in the
interval (c, c + h).
This suggests that f′(c) must be zero.
Fig 6.13
C# PDF Page Delete Library: remove PDF pages in C#.net, ASP.NET
Demo Code: How to Delete a Single PDF Page from PDF File in C#.NET. Description: Delete specified page from the input PDF file. Parameters:
extract text from pdf open source; .net extract text from pdf
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively will also take up too much space, glyph file unreferenced can Delete unimportant contents
copy pdf text with formatting; cut and paste text from pdf
c is a point of local minima of f , then the graph of f around c will be as
14(b). Here f  is decreasing (i.e., f ′(x) < 0) in the interval (c – h, c) and
f′(x) > 0) in the interval (c, c + h). This again suggest that f ′(c) must
iscussion lead us to the following theorem (without proof).
 be a function defined on an open interval I. Suppose c ∈ I be  any
ocal maxima or a local minima at x = c, then either f ′(c) = 0 or f  is not
c.
Fig 6.15
C# PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple files
Application. Best and professional adobe PDF file splitting SDK for Visual Studio .NET. outputOps); Divide PDF File into Two Using C#.
copying text from pdf to excel; copy and paste text from pdf to word
C# PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in C#.net
size, images size reducing can help to reduce PDF file size effectively will also take up too much space, glyph file unreferenced can Delete unimportant contents
copy text from pdf reader; extract text from pdf with formatting
MATHEMATICS
222
a
Note  If c is a point of local maxima of f , then f(c) is a local maximum value of
f. Similarly, if c is a point of local minima of f , then  f(c) is a local minimum value of f.
Figures 6.15 and 6.16, geometrically explain Theorem 3.
Fig 6.16
Example  29 Find all points of local maxima and local minima of the function f
given by
f(x) = x
3
– 3x + 3.
Solution We have
f(x) = x
3
– 3x + 3
or
f′(x) = 3x
2
– 3 = 3(x – 1) (x + 1)
or
f′(x) = 0 at x = 1 and x = – 1
Thus, x = ± 1 are the only critical points which could possibly be the points of local
maxima and/or local minima of f . Let us first examine the point x = 1.
Note that for values close to 1 and to the right of 1, f ′(x) > 0 and  for values close
to 1 and to the left of 1, f ′(x) < 0. Therefore, by first derivative test, x  = 1 is a point
of local minima and local minimum value is f (1) = 1. In the case of x = –1, note that
f′(x) > 0, for values close to and to the left of –1 and f ′(x) < 0, for values close to and
to the right of – 1. Therefore, by first derivative test, x = – 1 is a point of local maxima
and local maximum value is  f (–1) = 5.
Values of  x
Sign of f
′′
′′′(x) = 3(x – 1) (x + 1)
Close to 1     
to the right (say 1.1 etc.)
>0
to the left (say 0.9 etc.)
<0
Close to –1  
to the right (say  0.9 etc.)
0
to the left (say  1.1 etc.)
0
<
>
( ) 0
f′c =
and f ″(c) > 0
In this case, f (c) is local minimum value of  f .
(iii) The test fails if f′(c) = 0 and f ″(c) = 0.
In this case, we go back to the first derivative test and find whether c is a point of
local maxima, local minima or a point of inflexion.
a
Note  As f is twice differentiable at c, we mean
second order derivative of f exists at c.
Example 31 Find local minimum value of the function f
given by  f (x) = 3 + | x|, x ∈ R.
Solution Note that the given function is not differentiable
at x  = 0. So, second derivative test fails. Let us try first
derivative test. Note that 0 is a critical point of f . Now
to the left of 0, f(x) = 3 – x and so f ′(x) = – 1 < 0. Also
Fig 6.17
MATHEMATICS
224
to the right of 0, f (x) = 3 + x and so  f′(x) = 1 > 0. Therefore, by first derivative test,
x = 0 is a point of  local minima of  f  and local minimum value of  f  is f (0) = 3.
Example 32 Find local maximum and local minimum values of the function  f  given by
f (x) = 3x
4
+ 4x
3
– 12x
2
+ 12
Solution We have
f (x) = 3x
4
+ 4x
3
– 12x
2
+ 12
or
f′(x) = 12x
3
+ 12x
2
– 24x = 12x (x – 1) (x + 2)
or
f′(x) = 0 at x = 0, x = 1 and x = – 2.
Now
f″(x) = 36x
2
+ 24x – 24 = 12(3x
2
+ 2x – 1)
or
(0)
12 0
(1)
48 0
( 2) 84 0
f
f
f
=− <
′′
=
>
′′
=
>
′′
Therefore, by second derivative test, x  = 0 is a point of local maxima and local
maximum value of f at x = 0 is f (0) = 12 while x = 1 and x = – 2 are the points of local
minima and local minimum values of f at x = – 1 and – 2 are f (1) = 7 and f (–2) = –20,
respectively.
Example 33 Find all the points of local maxima and local minima of the function f
given by
f(x) = 2x
3
– 6x
2
+ 6x +5.
Solution We have
f(x) = 2x
3
– 6x
2
+ 6x +5
or
2
2
( ) 6
12
6 6( 1)
( ) 12( 1)
f x
x
x
x
f x
x
 ′
=
+ =
′′ =
Now f′(x) = 0 gives  x =1. Also  f ″(1) = 0. Therefore, the second derivative test
fails in this case. So, we shall go back to the first derivative test.
We have already seen (Example 30) that, using first derivative test, x =1 is neither
a point of local maxima nor a point of local minima and so it is a point of inflexion.
Example  34 Find two positive numbers whose sum is 15 and the sum of whose
squares is minimum.
Solution Let one of the numbers be x. Then the other number is (15 – x). Let S(x)
denote the sum of the squares of these numbers. Then
APPLICATION OF DERIVATIVES
225
S(x) =  x
2
+ (15 – x)
2
= 2x
2
– 30x + 225
or
S( ) 4
30
S ( ) 4
x
x
x
=
′′
=
Now S′(x) = 0 gives 
15
2
x=
. Also 
15
S
4 0
2
 
′′
= >
 
 
. Therefore, by second derivative
test, 
15
2
x=
is the point of local minima of S. Hence the sum of squares of numbers is
minimum when the numbers are 
15
2
and 
15 15
15
2
2
=
.
Remark Proceeding as in Example 34 one may prove that the two positive numbers,
whose sum is k and the sum of whose squares is minimum, are 
and
2
2
k
k
.
Example 35 Find the shortest distance of the point (0, c) from the parabola y = x
2
,
where 0 ≤ c ≤ 5.
Solution Let (h, k) be any point on the parabola y = x
2
. Let D be the required distance
between (h, k) and (0, c). Then
2
2
2
2
D
(
0) (
)
(
)
h
k c
h
k c
=
+
=
+
... (1)
Since (h, k) lies on the parabola y =  x
2
, we have k = h
2
. So (1) gives
D ≡ D(k) = 
2
(
)
k
k c
+
or
D′(k)  =
2
1 2(
)
2
(
)
k c
k
k c
+
+
Now
D′(k)  = 0 gives 
2
1
2
c
k
=
Observe that when 
2
1
2
c
k
<
, then  2(
) 1 0
k−c + <
, i.e.,  D ( ) 0
′ k k <
. Also when
2
1
2
c
k
>
, then D ( ) 0
′ k k >
. So, by first derivative test, D (k) is minimum at 
2
1
2
c
k
=
.
Hence, the required shortest distance is given by
MATHEMATICS
226
2
2 1
2
1
2
1
4
1
D
2
2
2
2
c
c
c
c
c
=
+
=
a
Note  The reader may note that in Example 35, we have used first derivative
test instead of the second derivative test as the former is easy and short.
Example 36 Let AP and BQ be two vertical poles at
points A and B, respectively. If AP = 16 m, BQ = 22 m
and AB = 20 m, then find the distance of a point R on
AB from the point A such that RP
2
+ RQ
2
is minimum.
Solution Let R be a point on AB such that AR = x m.
Then RB = (20 – x) m (as AB = 20 m). From Fig 6.18,
we have
RP
2
= AR
2
+ AP
2
and
RQ
2
= RB
2
+ BQ
2
Therefore
RP
2
+ RQ
2
= AR
2
+ AP
2
+ RB
2
+ BQ
2
=x
2
+ (16)
2
+ (20 –  x)
2
+ (22)
2
=2x
2
– 40x + 1140
Let
S ≡ S(x) = RP
2
+ RQ
2
= 2x
2
– 40x + 1140.
Therefore
S′(x) = 4x – 40.
Now  S′(x) =  0  gives x  = 10. Also S″(x) =  4 > 0, for all x and  so S″(10)  > 0.
Therefore, by second derivative test, x = 10 is the point of local minima of S. Thus, the
distance of R from A on AB is AR = x =10 m.
Example 37 If length of three sides of a trapezium other than base are equal to 10cm,
then find the area of the trapezium when it is maximum.
Solution The required trapezium is as given in Fig 6.19. Draw perpendiculars DP and
Fig 6.18
Fig 6.19
Documents you may be interested
Documents you may be interested