APPLICATION OF DERIVATIVES
227
CQ on AB. Let AP = x cm. Note that ∆APD ~ ∆BQC. Therefore, QB = x cm. Also, by
Pythagoras theorem, DP = QC = 
2
100 −x
. Let A be the area of the trapezium. Then
A ≡ A(x) =
1
2
(sum of parallel sides) (height)
=
(
)
2
1
(2
10 10) 100
2
x
x
+
+
=
(
)
2
( 10) 100
x
x
+
or
A′(x)  =
(
)
2
2
( 2 )
( 10)
100
2 100
x
x
x
x
+
+
=
2
2
2
10
100
100
x
x
x
+
Now
A′(x)  = 0 gives 2x
2
+ 10x – 100 = 0, i.e., x  = 5 and x = –10.
Since x represents distance, it can not be negative.
So,
x = 5. Now
A″(x) =
2
2
2
2
( 2 )
100
( 4
10) ( 2
10
100)
2 100
100
x
x
x
x
x
x
x
− −
+
=
3
3
2
2
2
300
1000
(100
)
x
x
x
(on simplification)
or
A″(5) =
3
3
2
2
2(5) 300(5) 1000
2250
30
0
75 75
75
(100 (5) )
=
=
<
Thus, area of trapezium is maximum at x = 5  and the area is given by
A(5) =
2
2
(5 10) 100 (5)
15 75 75 3 cm
+
=
=
Example 38 Prove that the radius of the right circular cylinder of greatest curved
surface area which can be inscribed in a given cone is half of that of the cone.
Solution Let OC = r be the radius of the cone and OA = h be its height. Let a cylinder
with radius OE = x inscribed in the given cone (Fig 6.20). The height QE of the cylinder
is given by
Pdf text replace tool - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
copy text pdf; copy formatted text from pdf
Pdf text replace tool - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
find and replace text in pdf file; get text from pdf c#
MATHEMATICS
228
QE
OA
=
EC
OC
(since ∆QEC ~ ∆AOC)
or
QE
h
=
r x
r
or
QE =
(
)
hr x
r
Let S be the curved surface area of the given
cylinder. Then
 ≡ S(x) = 
2
(
)
xh r x
r
π
2
2
(
)
h
rx x
r
π
or
2
S( )
(
2 )
4
S( )
h
x
r
x
r
h
x
r
π
=
− π
′′ =
Now S′(x) = 0 gives 
2
r
x=
. Since S″(x) < 0 for all x, 
S
0
2
r
 
′′
<
 
 
. So 
2
r
x=
is a
point of maxima of S. Hence, the radius of the cylinder of greatest curved surface area
which can be inscribed in a given cone is half of that of the cone.
6.6.1  Maximum and Minimum Values of a Function in a Closed Interval
Let us consider a function  f  given by
f(x) = x + 2, x ∈ (0, 1)
Observe that the function is continuous on (0, 1) and neither has a maximum value
nor has a minimum value. Further, we may note that the function even has neither a
local maximum value nor a local minimum value.
However, if we extend the domain of  f  to the closed interval [0, 1], then f still may
not have a local maximum (minimum) values but it certainly does have maximum value
3 = f (1) and minimum value 2 =  f (0). The maximum value 3 of f at x = 1 is called
absolute maximum value  (global  maximum or greatest  value) of  f on the interval
[0, 1]. Similarly, the minimum value 2 of f  at x  = 0 is called the absolute minimum
value (global minimum or least value) of f  on [0, 1].
Consider the graph given in Fig 6.21 of a continuous function defined on a closed
interval [a,  d]. Observe that  the function f  has  a  local  minima at x = b  and  local
Fig 6.20
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
provides a user-friendly interface, which is helpful to VB programmers to install and use the PDF page(s) extraction tool. VB.NET: Copy and Replace PDF Pages.
acrobat remove text from pdf; extract text from pdf acrobat
C# WPF PDF Viewer SDK to view, annotate, convert and print PDF in
Text: Replace Text in PDF. Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Users can add various annotations to PDF, such as text, text box, note
extract text from pdf c#; get text from pdf online
APPLICATION OF DERIVATIVES
229
minimum value is f (b). The function also has a local maxima at x = c and local maximum
value is f  (c).
Also from the graph, it is evident that f  has  absolute maximum value f (a) and
absolute minimum value f (d). Further note that the absolute maximum (minimum)
value of f is different from local maximum (minimum) value of f .
We will now state two results (without proof) regarding absolute maximum and
absolute minimum values of a function on a closed interval I.
Theorem 5 Let f  be a continuous function on an interval I = [a, b]. Then f has the
absolute maximum value and f attains it at least once in I. Also, f has the absolute
minimum value and attains it at least once in I.
Theorem 6 Let f be a differentiable function on a closed interval I and let c be any
interior point of I. Then
(i) f ′(c) = 0 if  f attains its absolute maximum value at c.
(ii) f ′(c) = 0 if  f attains its absolute minimum value at c.
In view of the above results, we have the following working rule for finding absolute
maximum and/or absolute minimum values of a function in a given closed interval
[a,  b].
Working  Rule
Step 1:Find all critical points of  f  in the interval, i.e., find points x where either
( ) 0
f x =
or f  is not differentiable.
Step 2:Take the end points of the interval.
Step 3:At all these points (listed in Step 1 and 2), calculate the values of  f .
Step 4:Identify the maximum and minimum values of  f  out of the values calculated in
Step 3. This maximum value will be the absolute maximum (greatest) value of
 and the minimum value will be the absolute minimum (least) value of  f .
Fig 6.21
C# HTML5 PDF Viewer SDK to view PDF document online in C#.NET
Text: Replace Text in PDF. Image: Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Page. 1. Select tool. Select text and image on PDF document. 2. Hand tool.
extract pdf text to excel; extract text from pdf
VB.NET PDF- View PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
PDF Write. Text: Insert Text to PDF. Text: Delete Text from PDF. Text: Replace Text in PDF. 1. Select tool. Select text and image on PDF document. 2. Hand tool.
copy paste text pdf file; export text from pdf to word
MATHEMATICS
230
Example 39 Find the absolute maximum and minimum values of a function f given by
f(x) = 2x
3
– 15x
2
+ 36x +1 on the interval [1, 5].
Solution We have
f(x) = 2x
3
– 15x
2
+ 36x + 1
or
f′(x) = 6x
2
– 30x + 36 = 6(x – 3) (x – 2)
Note that f ′(x) = 0 gives  x = 2 and x = 3.
We shall now evaluate the value of f at these points and at the end points of the
interval [1, 5], i.e., at x = 1, x = 2, x = 3 and at x = 5. So
f(1) = 2 (1
3
) – 15(1
2
) + 36(1) + 1 = 24
f(2) = 2 (2
3
) – 15(2
2
) + 36(2) + 1 = 29
f(3) = 2 (3
3
) – 15(3
2
) + 36(3) + 1 = 28
f(5) = 2 (5
3
) – 15(5
2
) + 36(5) + 1 = 56
Thus, we conclude that absolute maximum value of f on [1, 5] is 56, occurring at
x =5, and absolute  minimum value of f on [1, 5] is 24 which occurs at x = 1.
Example 40 Find absolute maximum and minimum values of a function f given by
4
1
3
3
( ) 12
6 ,
[ 1, 1]
f x
x
x x
=
∈−
Solution We have
f(x) =
4
1
3
3
12
6
x
− x
or
f′(x) =
1
3
2
2
3
3
2
2(8
1)
16
x
x
x
x
=
Thus, f ′(x) = 0 gives 
1
8
x=
. Further note that f ′(x) is not defined at x = 0. So the
critical points are  x = 0 and 
1
8
x=
. Now evaluating the value of f at critical points
x = 0, 
1
8
and at end points of the interval x = –1 and x = 1, we have
f(–1) =
4
1
3
3
12 ( 1)
6( 1)
18
=
f(0) = 12 (0) – 6(0) = 0
C# WPF PDF Viewer SDK to annotate PDF document in C#.NET
An advanced PDF annotating tool, which is compatible with all Windows systems and supports .NET Framework Support to replace PDF text with a note annotation.
extract text from pdf java; copy text from pdf
VB.NET PDF - Annotate PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
An advanced PDF annotating tool, which is compatible with all Windows systems and supports .NET Framework Support to insert note annotation to replace PDF text.
a pdf text extractor; extract text from pdf image
APPLICATION OF DERIVATIVES
231
1
8
f
 
 
 
=
4
1
3
3
1
1
9
12
6
8
8
4
 
 
=
 
 
 
 
f(1) =
4
1
3
3
12(1) 6 (1)
6
=
Hence, we conclude that absolute maximum value of  f  is 18 that occurs at x = –1
and absolute minimum value of f is 
9
4
that occurs at 
1
8
x=
.
Example 41 An Apache helicopter of enemy is flying along the curve given by
y = x
2
+ 7. A soldier, placed at (3, 7), wants to shoot down the helicopter when it is
nearest to him. Find the nearest distance.
Solution For each value of x, the helicopter’s position is at point (x, x
2
+ 7).
Therefore, the distance between the helicopter and the soldier placed at (3,7) is
2
2
2
(
3)
(
7 7)
x
x
+
+ −
, i.e., 
2
4
(
3)
x
x
+
.
Let
f(x)  = (x – 3)
2
+  x
4
or
f′(x)  = 2(x – 3) + 4x
3
= 2(x – 1) (2x
2
+ 2x + 3)
Thus, f ′(x) = 0 gives x = 1 or 2x
2
+ 2x + 3 = 0 for which there are  no real roots.
Also, there are no end points of the interval to be added to the set for which f ′ is zero,
i.e., there is only one point, namely, x = 1.  The value of f at this point is given by
f (1) = (1 – 3)
2
+ (1)
4
= 5. Thus, the distance between the solider and the helicopter is
(1)
5
f
=
.
Note that 
5
is either a maximum value or a minimum value. Since
f(0)
=
2
4
(0 3) (0)
3
5
+
= >
,
it follows that 
5
is the minimum value of  
f (x)
. Hence, 
5
is the minimum
distance between the soldier and the helicopter.
EXERCISE 6.5
1. Find the maximum and minimum values, if any, of the following functions
given by
(i) f (x) = (2x – 1)
2
+ 3
(ii) f (x) = 9x
2
+ 12x + 2
(iii) f (x) = – (x – 1)
2
+ 10
(iv) g(x) = x
3
+ 1
C# HTML5 PDF Viewer SDK to annotate PDF document online in C#.NET
An advanced PDF annotating tool, which is compatible with all Windows systems and supports .NET Framework Support to insert note annotation to replace PDF text.
copy and paste text from pdf; get text from pdf c#
VB.NET PDF - Annotate PDF with WPF PDF Viewer for VB.NET
An advanced PDF annotating tool, which is compatible with all Windows systems and supports .NET Framework Support to replace PDF text with a note annotation.
copy and paste pdf text; delete text from pdf with acrobat
MATHEMATICS
232
2. Find the maximum and minimum values, if any, of the following functions
given by
(i) f (x) = |x + 2 | – 1
(ii) g (x) = – | x + 1| + 3
(iii) h (x) = sin(2x) + 5
(iv) f (x) = | sin 4x + 3|
(v) h (x) = x + 1, x ∈ (– 1, 1)
3. Find the local maxima and local minima, if any, of the following functions. Find
also the local maximum and the local minimum values, as the case may be:
(i) f (x) = x
2
(ii) g (x) = x
3
– 3x
(iii) h (x) = sin x + cos x,
0
2
x
π
< <
(iv) f (x) = sin x – cos x, 0
x 2< <π
(v) f (x) = x
3
– 6x
2
+ 9x + 15
(vi)
2
( )
,
0
2
x
g x
x
x
= +
>
(vii)
2
1
( )
2
g x
x
=
+
(viii)
( )
1
, 0
1
=
< <
f x
x
x
x
4. Prove that the following  functions do not have maxima or minima:
(i) f (x) = e
x
(ii) g (x) = log x
(iii) h (x) = x
3
+ x
2
+ x +1
5. Find the absolute maximum value and the absolute minimum value of the following
functions in the given intervals:
(i) f (x) = x
3
, x ∈ [– 2, 2]
(ii) f (x) = sin x + cos x , x ∈ [0, π]
(iii) f (x) =
2
1
9
4
,
2,
2
2
x
x x
∈ −
(iv)
2
( ) ( 1)
3,
[ 3,1]
f x
x
x
=
+
∈−
6. Find the maximum profit that a company can make, if the profit function is
given by
p(x) = 41 – 72x – 18x
2
7. Find both the maximum value and the minimum value of
3x
4
– 8x
3
+ 12x
2
– 48x + 25 on the interval [0, 3].
8. At what points in the interval [0, 2π], does the function sin 2x attain its maximum
value?
9. What is the maximum value of the function sin x + cos x?
10. Find the maximum value of 2x
3
– 24x + 107 in the interval  [1,  3].  Find  the
maximum value of the same function in [–3, –1].
C# PDF Markup Drawing Library: add, delete, edit PDF markups in C#
A web based markup tool able to annotate PDF annotations, trikethrough text, underline text, insert and replace text. Since RasterEdge XDoc.PDF SDK is based on
copy text from pdf in preview; acrobat remove text from pdf
VB.NET PDF - WPF PDF Viewer for VB.NET Program
PDF. Text: Delete Text from PDF. Text: Replace Text in PDF. for VB.NET is a PDF utility annotation Annotations such as text, text box, note, underline, rectangle
export highlighted text from pdf; extracting text from pdf
APPLICATION OF DERIVATIVES
233
11. It is given that at x = 1, the function x
4
– 62x
2
+ ax + 9 attains its maximum value,
on the interval [0, 2]. Find the value of a.
12. Find the maximum and minimum values of  x + sin 2x on [0, 2π].
13. Find two numbers whose sum is 24 and whose product is as large as possible.
14. Find two positive numbers x and y such that x + y = 60 and xy
3
is maximum.
15. Find two positive numbers x and y such that their sum is 35 and the product x
y
5
is a maximum.
16. Find two positive numbers whose sum is 16 and the sum of whose cubes is
minimum.
17. A square piece of tin of side 18 cm is to be made into a box without top, by
cutting a square from each corner and folding up the flaps to form the box. What
should be the side of the square to be cut off so that the volume of the box is the
maximum possible.
18. A rectangular sheet of tin 45 cm by 24 cm is to be made into a box without top,
by cutting off square from each corner and folding up the flaps. What should be
the side of the square to be cut off so that the volume of the box is maximum ?
19. Show that of all the rectangles inscribed  in a given fixed circle, the square has
the maximum area.
20. Show that the right circular cylinder of given surface and maximum volume is
such that its height is equal to the diameter of the base.
21. Of all the closed cylindrical cans (right circular), of a given volume of 100 cubic
centimetres,  find the dimensions  of the can  which  has the minimum surface
area?
22. A wire of length 28 m is to be cut into two pieces. One of the pieces is to be
made into a square and the other into a circle. What should be the length of the
two pieces so that the combined area of the square and the circle is minimum?
23. Prove that the volume of the largest cone that can be inscribed in a sphere of
radius R is 
8
27
of the volume of the sphere.
24. Show that the right circular cone of least curved surface and given volume has
an altitude equal to 
2
time the radius of the base.
25. Show that the semi-vertical angle of the cone of the maximum volume and of
given slant height is 
1
tan
2
.
26. Show that semi-vertical angle of right circular cone of given surface area and
maximum volume is 
1
1
sin
3
 
 
 
.
MATHEMATICS
234
Choose the correct answer in the Exercises 27 and 29.
27. The point on the curve x
2
= 2y which is nearest to the point (0, 5) is
(A)
(2 2,4)
(B)
(2 2,0)
(C) (0, 0)
(D) (2, 2)
28. For all real values of x, the minimum value of 
2
2
1
1
x x
x x
− +
+ +
is
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D)
1
3
29. The maximum value of 
1
3
[ ( 1) 1]
xx − +
0
≤ x≤1
is
(A)
1
3
1
3
 
 
 
(B)
1
2
(C) 1
(D) 0
Miscellaneous Examples
Example 42 A car starts from a point P at time t = 0 seconds and stops at point Q. The
distance x, in metres, covered by it, in t seconds is given by
2
2
3
t
x t
=
Find the time taken by it to reach Q and also find distance between P and Q.
Solution Let v be the velocity of the car at t seconds.
Now
x =
2
2
3
t
t
Therefore
v =
dx
dt
= 4t – t
2
= t(4 – t)
Thus, v = 0 gives t = 0 and/or t = 4.
Now v = 0 at P as well as at Q and at P, t = 0. So, at Q, t = 4. Thus, the car will
reach the point Q after 4 seconds. Also the distance travelled in 4 seconds is given by
x]
t = 4
=
2
4
2
32
4 2
16
m
3
3
3
 
=
=
 
 
APPLICATION OF DERIVATIVES
235
Example 43 A water tank has the shape of an inverted right circular cone with its axis
vertical and vertex lowermost. Its semi-vertical angle is tan
–1
(0.5). Water is poured
into it at a constant rate of 5 cubic metre per hour. Find the rate at which the level of
the water is rising at the instant when the depth of water in the tank is 4 m.
Solution Let r, h and α be as in Fig 6.22. Then 
.
tan
r
h
α=
So
α =
1
tan
r
h
 
 
 
.
But
α = tan
–1
(0.5)     (given)
or
r
h
=0.5
or
r =
2
h
Let V be the  volume of the cone. Then
V =
2
3
2
1
1
3
3
2
12
h
h
r h
h
π
 
π
= π
=
 
 
Therefore
dV
dt
=
3
12
d
h
dh
dh
dt
π
(by Chain Rule)
=
2
4
dh
h
dt
π
Now rate of change of volume, i.e., 
V
5
d
dt
=
m
3
/h and h = 4 m.
Therefore
5 =
2
(4)
4
dh
dt
π
or
dh
dt
=
5
35
22
m/h
4
88
7
=
π=
π
Thus, the rate of change of water level is 
35
m/h
88
.
Example 44 A man of height 2 metres walks at a uniform speed of 5 km/h away from
a lamp post which is 6 metres high. Find the rate at which the length of his shadow
increases.
Fig 6.22
MATHEMATICS
236
Solution In Fig 6.23, Let AB be the lamp-post, the
lamp being at the position B and let MN be the man
at a particular time t and let AM = l metres. Then,
MS is the shadow of the man. Let MS = s metres.
Note that
∆MSN ~ ∆ASB
or
MS
AS
=
MN
AB
or
AS = 3s (as MN = 2 and AB = 6 (given))
Thus
AM = 3s – s = 2s. But AM = l
So
l = 2s
Therefore
dl
dt
=
2
ds
dt
Since 
5
dl
dt
=
km/h. Hence, the length of the shadow increases at the rate 
5
2
km/h.
Example 45 Find the equation of the normal to the curve x
2
= 4y which passes through
the point (1, 2).
Solution Differentiating x
2
= 4y with respect to x, we get
dy
dx
=
2
x
Let  (h, k) be the coordinates of the point of contact of the normal to the curve
x
2
= 4y. Now, slope of the tangent at (h, k) is given by
(h,  k)
dy
dx
=
2
h
Hence, slope of the normal at (h, k) = 
2
h
Therefore, the equation of normal at (h, k) is
y – k =
2
(
)
x h
h
... (1)
Since it passes through the point (1, 2), we have
2
2
(1
)
k
h
h
− =
or   
2
2
(1
)
k
h
h
= +
... (2)
Fig 6.23
Documents you may be interested
Documents you may be interested