how to display pdf file in asp net using c# : Copy pdf text to word with formatting software Library dll winforms asp.net azure web forms Mathematics-Part1-Class-1225-part1884

APPLICATION OF DERIVATIVES
237
Since (h, k) lies on the curve x
2
= 4y, we have
h
2
= 4k
... (3)
From (2) and (3), we have h = 2 and k = 1. Substituting the values of h and k in (1),
we get the required equation of normal as
2
1
(
2)
2
y
x
− =
or   x  + y  = 3
Example 46 Find the equation of tangents to the curve
y = cos (x + y), – 2π ≤ x ≤ 2π
that are parallel to the line x + 2y = 0.
Solution Differentiating y = cos(x + y) with respect to x, we have
dy
dx
=
sin(
)
1 sin (
)
x y
x y
+
+
+
or
slope of tangent at (x, y) =
sin(
)
1 sin (
)
x y
x y
+
+
+
Since the tangents to the given curve are parallel to the line x + 2y = 0, whose slope
is 
1
2
, we have
sin(
)
1 sin(
)
x y
x y
+
+
+
=
1
2
or
sin(x + y) = 1
or
x + y = nπ + (– 1)
,
2
π
n ∈ Z
Then
y = cos(x +  y) = 
,
cos
( 1)
2
n
n
π
π+ −
n ∈ Z
=0, for all n ∈ Z
Also, since  2
x 2
− π ≤ ≤ π
,  we  get 
3
2
x
− π
=
and 
2
x
π
=
.  Thus,  tangents  to  the
given curve are parallel to the line x + 2y = 0 only at points 
3
,0
2
− π
and 
,0
2
π
.
Therefore, the required equation of tangents are
Copy pdf text to word with formatting - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
c# extract pdf text; copy paste pdf text
Copy pdf text to word with formatting - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
get text from pdf file c#; get text from pdf into excel
MATHEMATICS
238
y – 0 =
1
3
2
2
x
π
+
or    2
4
3
0
x
+ y
+
+ π =
and
y – 0 =
1
2
2
x
π
or     2
4
0
x
+ y
+
−π =
Example 47 Find intervals in which the function given by
f(x) =
4
3
2
3
4
36
3
11
10
5
5
x
x
x
x
+
+
is (a) strictly increasing (b) strictly decreasing.
Solution We have
f(x) =
4
3
2
3
4
36
3
11
10
5
5
x
x
x
x
+
+
Therefore
f′(x) =
3
2
3
4
36
(4 )
(3 ) 3(2 )
10
5
5
x
x
x
+
=
6
( 1) (
2) ( 3)
5
x
x
x
+
(on simplification)
Now f ′(x) = 0 gives x = 1, x = – 2, or x = 3. The
points x = 1, – 2, and 3 divide the real line into four
disjoint intervals namely, (– ∞, – 2), (– 2, 1), (1, 3)
and (3, ∞) (Fig 6.24).
Consider the interval (– ∞, – 2), i.e., when – ∞ < x < – 2.
In this case, we have x – 1 < 0, x + 2 < 0 and x – 3 < 0.
(In particular, observe that for  x = –3, f ′(x) = (x – 1) ( x + 2) (x – 3) = (– 4) (– 1)
(– 6) < 0)
Therefore,
f′(x) < 0 when – ∞ < x < – 2.
Thus, the function f is strictly decreasing in (– ∞, – 2).
Consider the interval (– 2, 1), i.e., when  – 2 < x < 1.
In this case, we have x – 1 < 0, x + 2 > 0 and x – 3 < 0
(In particular, observe that for x = 0, f ′(x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) = (–1) (2) (–3)
= 6 > 0)
So
f′(x) > 0 when – 2 < x < 1.
Thus,
f is strictly increasing in (– 2, 1).
Fig 6.24
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
file formats using Visual C# code, such as, PDF to HTML converter assembly, PDF to Word converter assembly C#.NET DLLs: Use PDF to Text Converter Control in
cut text pdf; delete text from pdf acrobat
VB.NET PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in vb.
application. In addition, texts, pictures and font formatting of source PDF file are accurately retained in converted Word document file.
copy text from encrypted pdf; cut and paste text from pdf
APPLICATION OF DERIVATIVES
239
Now consider the interval (1, 3),  i.e., when  1  <  x  <  3.  In this  case, we have
x – 1 > 0, x  + 2 > 0 and x – 3 < 0.
So,
f′(x) < 0 when 1 < x < 3.
Thus,
f is strictly decreasing in (1, 3).
Finally, consider the interval (3, ∞), i.e., when  x > 3. In this case, we have x – 1 > 0,
x + 2 > 0 and  x – 3 > 0. So f ′(x) > 0 when  x > 3.
Thus,  f  is strictly increasing in the interval (3, ∞).
Example 48 Show that the function f given by
f(x)  = tan
–1
(sin x + cos x), x > 0
is always an strictly increasing function in 
0,
4
π
.
Solution We have
f(x)  = tan
–1
(sin x + cos x), x > 0
Therefore
f′(x)  =
2
1
(cos
sin )
1 (sin
cos )
x
x
x
x
+
+
=
cos
sin
2 sin 2
x
x
x
+
(on simplification)
Note that 2 + sin 2x > 0 for all x in 
0,
4
π
.
Therefore
f′(x) > 0  if cos x – sin x > 0
or
f′(x) > 0  if cos x > sin x  or cot x > 1
Now
cot x > 1 if tan x < 1, i.e., if 
0
4
x
π
< <
Thus
f′(x) > 0  in 
0,
4
π
Hence f is strictly increasing function in 
0,
4
π
.
Example 49 A circular disc of radius 3 cm is being heated. Due to expansion, its
radius increases at the rate of 0.05 cm/s. Find the rate at which its area is increasing
when radius is 3.2 cm.
C# Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in C#.
A convenient C#.NET control able to turn all Word text and image content into high quality PDF without losing formatting. Convert
export highlighted text from pdf to word; copy text from pdf to word with formatting
VB.NET Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in
Insert Image to PDF. Image: Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut Export all Word text and image content into high quality PDF without losing
copy text from pdf with formatting; extract formatted text from pdf
MATHEMATICS
240
Solution Let r be the radius of the given disc and A be its area. Then
A = πr
2
or
dA
dt
=
2
dr
r
dt
π
(by Chain Rule)
Now approximate rate of increase of radius = dr = 
0.05
dr
t
dt
∆ =
cm/s.
Therefore, the approximate rate of increase in area is given by
dA =
A
( )
d
t
dt
2
dr
r
t
dt
π
=2π (3.2) (0.05) = 0.320π cm
2
/s (r = 3.2 cm)
Example 50 An open topped box is to be constructed by removing equal squares from
each corner of a 3 metre by 8 metre rectangular sheet of aluminium and folding up the
sides. Find the volume of the largest such box.
Solution Let x metre be the length of a side of the removed squares. Then, the height
of the box is x, length is 8 – 2x and breadth is 3 – 2x (Fig 6.25). If V(x) is the volume
of the box, then
Fig 6.25
V(x) = x(3 – 2x) (8 – 2x)
=4x
3
– 22x
2
+ 24x
Therefore
2
V( ) 12
44
24 4( 3)(3
2)
V( ) 24
44
x
x
x
x
x
x
x
 ′
=
+
=
′′ =
Now
V′(x) = 0 gives 
2
3,
3
x=
. But x ≠ 3 (Why?)
Thus, we have
2
3
x=
. Now 
2
2
V
24
44
28 0
3
3
 
 
′′
=
=−
<
 
 
 
 
.
VB.NET Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF
pages edit, C#.NET PDF pages extract, copy, paste, C# NET rotate PDF pages, C#.NET search text in PDF all Excel spreadsheet into high quality PDF without losing
erase text from pdf; c# extract text from pdf
C# PDF Convert to HTML SDK: Convert PDF to html files in C#.net
file. Besides, the converted HTML webpage will have original formatting and interrelation of text and graphical elements of the PDF.
can't copy and paste text from pdf; how to copy and paste pdf text
APPLICATION OF DERIVATIVES
241
Therefore, 
2
3
x=
is the point of maxima, i.e., if we remove a square of side 
2
3
metre from each corner of the sheet and make a box from the remaining sheet, then
the volume of the box such obtained will be the largest and it is given by
2
V
3
 
 
 
=
3
2
2
2
2
4
22
24
3
3
3
 
 
 
+
 
 
 
 
 
 
=
3
200
m
27
Example 51 Manufacturer can sell x items at a price of rupees 
5
100
x
each. The
cost price of x items is Rs 
500
5
x
+
. Find the number of items he should sell to earn
maximum profit.
Solution Let S(x) be the selling price of x items and let C(x) be the cost price of x
items. Then, we have
S(x) =
2
5
5
100
100
x
x
x
x
=
and
C(x) =
500
5
x
+
Thus, the profit function P(x) is given by
P(x)  =
2
S( ) C ( ) 5
500
100 5
x
x
x
x
x
=
− −
i.e.
P(x)  =
2
24
500
5
100
x
x−
or
P′(x)  =
24
5
50
x
Now P′(x) = 0 gives x = 240. Also 
1
P( )
50
x
′′
=
. So 
1
P(240)
0
50
′′
=
<
Thus, x = 240 is a point of maxima. Hence, the manufacturer can earn maximum
profit, if he sells 240 items.
C# Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF in C#
C#.NET PDF SDK- Create PDF from Word in Visual C#. Turn all Excel spreadsheet into high quality PDF without losing formatting.
pdf text replace tool; copy and paste text from pdf to excel
C# Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to PDF
Excellent .NET control for turning all PowerPoint presentation into high quality PDF without losing formatting in C#.NET Class. Convert
erase text from pdf file; extract text from pdf online
MATHEMATICS
242
Miscellaneous Exercise on Chapter 6
1. Using differentials, find the approximate value of each of the following:
(a)
1
4
17
81
 
 
 
(b)
(
)
1
5
33
2. Show that the function given by 
log
( )
x
f x
x
=
has maximum at x = e.
3. The two equal sides of an isosceles triangle with fixed base b are decreasing at
the rate of 3 cm per second. How fast is the area decreasing when the two equal
sides are equal to the base ?
4. Find the equation of the normal to curve x
2
= 4y which passes through the point
(1, 2).
5. Show that the normal at any point 
θ
to the curve
x = a cosθ + a θ sin θ, y = a sinθ – aθ cosθ
is at a constant distance from the origin.
6. Find the intervals in which the function f given by
4sin
2
cos
( )
2 cos
x
x x
x
f x
x
=
+
is (i) increasing (ii) decreasing.
7. Find the intervals in which the function f given by
3
3
1
( )
,
0
f x
x
x
x
=
+
is
(i) increasing
(ii) decreasing.
8. Find the maximum area of an isosceles triangle inscribed in the ellipse 
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
with its vertex at one end of the major axis.
9. A tank with rectangular base and rectangular sides, open at the top is to be
constructed so that its depth is 2 m and volume is 8 m
3
. If building of tank costs
Rs 70 per sq metres for the base and Rs 45 per square metre for sides. What is
the cost of least expensive tank?
10. The sum of the perimeter of a circle and square is k, where k is some constant.
Prove that the sum of their areas is least when the side of square is double the
radius of the circle.
VB.NET Create PDF from PowerPoint Library to convert pptx, ppt to
Remove Image from PDF Page. Image: Copy, Paste, Cut PDF, VB.NET convert PDF to text, VB.NET all PowerPoint presentation into high quality PDF without losing
extract text from pdf to excel; copy and paste text from pdf to word
VB.NET Word: Extract Text from Microsoft Word Document in VB.NET
time and effort compared with traditional copy and paste VB.NET. Apart from extracting text from Word powerful & profession imaging controls, PDF document, tiff
copy text from scanned pdf; extract text from scanned pdf
APPLICATION OF DERIVATIVES
243
11. A window is in the form of a rectangle surmounted by a semicircular opening.
The total perimeter of the window is 10 m. Find the dimensions of the window to
admit maximum light through the whole opening.
12. A point on the hypotenuse of a triangle is at distance a and b from the sides of
the triangle.
Show that the maximum length of the hypotenuse is 
2
2 3
3
3 2
(
)
a
+b
.
13. Find the points at which the function  f given by  f (x) = (x – 2)
4
(x + 1)
3
has
(i) local maxima
(ii) local minima
(iii) point of inflexion
14. Find the absolute maximum and minimum values of the function f given by
f(x) = cos
2
x + sin x, x ∈ [0, π]
15. Show that the altitude of the right circular cone of maximum volume that can be
inscribed in a sphere of radius r is 
4
3
r
.
16. Let f be a function defined on [a, b] such that f′(x) > 0, for all x ∈ (a, b). Then
prove that f  is an increasing function on (a, b).
17. Show that the height of the cylinder of maximum volume that can be inscribed in
a sphere of radius R is 
2R
3
. Also find the maximum volume.
18. Show that height of the cylinder of greatest volume which can be inscribed in a
right circular cone of height h and semi vertical angle α is one-third that of the
cone and the greatest volume of cylinder is 
3
2
4
tan
27
πh
π
α
.
Choose the correct answer in the Exercises from 19 to 24.
19. A cylindrical tank of radius 10 m is being filled with wheat at the rate of 314
cubic metre per hour. Then the depth of the wheat is increasing at the rate of
(A) 1 m
3
/h
(B) 0.1 m
3
/h
(C)  1.1 m
3
/h
(D) 0.5 m
3
/h
20. The slope of the tangent to the curve x = t
2
+ 3t – 8, y = 2t
2
– 2t – 5 at the point
(2,– 1) is
(A)
22
7
(B)
6
7
(C)
7
6
(D)
6
7
MATHEMATICS
244
21. The line y = mx + 1 is a tangent to the curve y
2
= 4x if the value of m is
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D)
1
2
22. The normal at the point (1,1) on the  curve 2y + x
2
= 3 is
(A) x + y = 0
(B) x – y = 0
(C) x + y +1 = 0
(D) x – y = 1
23. The normal to the curve x
2
= 4y passing  (1,2) is
(A) x + y = 3
(B) x – y = 3
(C) x + y = 1
(D) x – y = 1
24. The points on the curve 9y
2
= x
3
, where the normal to the curve makes equal
intercepts with the axes are
(A)
8
4,
3
±
(B)
8
4,
3
(C)
3
4,
8
±
(D)
3
4,
8
±
Summary
Î
If a quantity y varies with another quantity x, satisfying some rule 
( )
y f x
=
,
then 
dy
dx
(or  ( )
f′ x
) represents the rate of change of y with respect to x and
0
x x
dy
dx
=
(or 
0
( )
f′x
) represents the  rate of change of y with respect to x at
0
x=x
.
Î
If two variables x and y are varying with respect to another variable t, i.e., if
()
x f t
=
and 
()
y g t
=
, then by Chain Rule
dy dy dx
dt dt
dx
=
,  if  
0
dx
dt
.
Î
A function  f  is said to be
(a) increasing on an interval (a, b) if
x
< x
in (a, b) ⇒ f (x
1
) ≤ f(x
2
) for all x
1
, x
2
∈ (a, b).
APPLICATION OF DERIVATIVES
245
Alternatively, if f ′(x) ≥ 0 for each x in (a, b)
(b) decreasing on (a,b) if
x
< x
in (a, b) ⇒ f (x
1
) ≥ f (x
2
) for all x
1
, x
2
∈ (a, b).
Alternatively, if f ′(x) ≤ 0 for each x in (a, b)
Î
The equation of the tangent  at (x
0
, y
0
 to the curve y = f (x) is given by
0
0
0
0
( , )
(
)
x y
dy
y y
x x
dx
=
Î
If 
dy
dx
does not exist at the point 
0
0
( , )
x y
, then the tangent at this point is
parallel to the y-axis and its equation is x = x
0
.
Î
If tangent to a curve y = f (x) at x = x
0
is parallel to x-axis, then 
0
0
x x
dy
dx
=
=
.
Î
Equation of the normal to the curve y = f (x) at a point 
0
0
( , )
x y
is given by
0
0
0
0
( , )
1
(
)
x y
y y
x x
dy
dx
=
Î
If 
dy
dx
at the point 
0
0
( , )
x y
is zero, then equation of the normal is x = x
0
.
Î
If 
dy
dx
at the point 
0
0
( , )
x y
does not exist, then the normal is parallel to x-axis
and its equation is y = y
0
.
Î
Let y =  f(x), ∆x  be  a small increment in  x  and ∆y  be  the increment  in y
corresponding to the increment in x,  i.e., ∆y = f (x + ∆x)  – f (x). Then dy
given by
( )
dy f x dx
= ′
or 
dy
dy
x
dx
 
=
 
 
.
is a good approximation of ∆y when 
dx
= ∆x
is relatively small and we denote
it by dy ≈
∆y.
Î
A point c in the domain of a function f at which either f ′(c) = 0 or f is not
differentiable is called a critical point of f.
MATHEMATICS
246
Î
First Derivative Test Let f  be a function defined on an open interval I. Let
  be continuous at a critical point c in I. Then
(i) If f′(x) changes sign from positive to negative as x increases through c,
i.e., if f ′(x) > 0 at every point sufficiently close to and to the left of c,
and f ′(x) < 0 at every point sufficiently close to and to the right of c,
then c is a point of local maxima.
(ii) If f′(x) changes sign from negative to positive as x increases through c,
i.e., if f ′(x) < 0 at every point sufficiently close to and to the left of c,
and f ′(x) > 0 at every point sufficiently close to and to the right of c,
then c is a point of local minima.
(iii) If f ′(x) does not change sign as x increases through c, then c is neither
a point of local maxima nor a point of local minima. Infact, such a point
is  called point of  inflexion.
Î
Second Derivative Test Let f  be a function defined  on an  interval I  and
c ∈ I. Let f   be twice differentiable at c. Then
(i) x = c is a point of local maxima if f ′(c) = 0 and f ″(c) < 0
The values f (c) is local maximum value of  f .
(ii) x = c is a point of local minima if f ′(c) = 0 and f ″(c) > 0
In this case, f (c) is local minimum value of  f .
(iii) The test fails if f ′(c) = 0 and f ″(c) = 0.
In this case, we go back to the first derivative test and find whether c is
a point of maxima, minima or a point of inflexion.
Î
Working rule for finding absolute maxima and/or absolute minima
Step 1: Find all critical points of f in the interval, i.e., find points x where
either f ′(x) = 0 or f is not differentiable.
Step 2:Take the end points of the interval.
Step 3: At all these points (listed in Step 1 and 2), calculate the values of  f .
Step 4: Identify the maximum and minimum values of f out of the values
calculated in Step 3. This maximum value will be the absolute maximum
value of  f  and the minimum value will be the absolute minimum value of  f .


Documents you may be interested
Documents you may be interested