how to display pdf file in asp net using c# : Copy paste text pdf file SDK application project winforms windows azure UWP Mathematics-Part1-Class-123-part1888

RELATIONS AND FUNCTIONS
17
Solution Note that by definition, f and g are bijective functions. Let
–1
: {abc} 
(1, 2, 3} and g
–1 
: {apple, ball, cat} 
{ab, c} be defined as
–1
{a} = 1, 
–1
{b} = 2,  
–1
{c} = 3,  g
–1
{apple} = a,  g
–1
{ball} = b and  g
–1
{cat} = c.
It is easy to verify that 
–1
of  = I
{1, 2, 3}
f o f 
–1
I
{abc}
g
–1
og = I
{abc}
and  go g
–1
I
D
,
where, D = {apple, ball, cat}. Now, gof : {1, 2, 3} 
{apple, ball, cat} is given by
gof(1) = apple, gof(2) = ball, gof(3) = cat. We can define
(gof)
–1
: {apple, ball, cat} 
{1, 2, 3} by (gof)
–1
(apple) = 1,
(gof)
–1
(ball) = 2 and
(gof)
–1
(cat) = 3. It is easy to see that (gof)
–1
o (gof) = I
{1, 2, 3}
and
(gof) o (gof)
–1
= I
D
. Thus, we have seen that fg and gof are invertible.
Now,    f
–1
og
–1 
(apple)= 
–1
(g
–1
(apple)) = 
–1
(a) = 1 = (gof)
–1
(apple)
f
–1
og
–1 
(ball) = 
–1
(g
–1
(ball)) = 
–1
(b) = 2 = (gof)
–1
(ball) and
f
–1
og
–1 
(cat) = 
–1
(g
–1
(cat)) = 
–1
(c) = 3 = (gof)
–1
(cat).
Hence                   (gof)
–1
=
–1
og
–1
.
The above result is true in general situation also.
Theorem 2 Let f : X 
Y and g : Y 
Z be two invertible functions. Then go is also
invertible with (gof)
–1
f
–1
og
–1
.
Proof To show that gof is invertible with (gof)
–1
f
–1
og
–1
, it is enough to show that
(f
–1
og
–1
)o(gof) = I
X
and (gof)o(f
–1
og
–1
) = I
Z
.
Now,
(f
–1
og
–1
)o(gof) = ((f
–1
og
–1
) og) of, by Theorem 1
= (f
–1
o(g
–1
og)) of, by Theorem 1
= (f
–1 
oI
Y
) of, by definition of g
–1
= I
X
.
Similarly, it can be shown that (gof)o(
–1
o
–1
) = I
Z
.
Example 28  Let S = {1, 2, 3}. Determine whether the functions f : S 
S defined as
below have inverses. Find f
–1
, if it exists.
(a) f = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
(b) f = {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}
(c) f = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}
Solution
(a) It is easy to see that f  is one-one and onto, so that f  is invertible with the inverse
f
–1 
of f given by f
–1
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} = f.
(b) Since f (2) = f (3) = 1, f is not one-one, so that f  is not invertible.
(c) It is easy to see that  is one-one and onto, so that f  is invertible with
f
–1
= {(3, 1), (2, 3), (1, 2)}.
© NCERT
not to be republished
Copy paste text pdf file - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
.net extract pdf text; delete text from pdf
Copy paste text pdf file - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
copy and paste text from pdf to word; get text from pdf c#
MATHEMATICS
18
EXERCISE 1.3
1. Let f : {1, 3, 4} 
{1, 2, 5} and g : {1, 2, 5} 
{1, 3} be given by
f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1)} and g = {(1, 3), (2, 3), (5, 1)}. Write down gof.
2. Let fg and h be functions from R to R. Show that
(g)oh = foh + goh
(g)oh = (foh) . (goh)
3. Find gof and fog, if
(i) f(x) = | x | and g(x) = | 5x – 2 |
(ii) f(x) = 8x
3
and g(x) = 
1
3
x
.
4. If f(x) = 
(4
3)
(6
4)
x
x
+
2
3
x
, show that fof(x) = x, for all 
2
3
x
. What is the
inverse of f ?
5. State with reason whether following functions have inverse
(i) f : {1, 2, 3, 4} 
{10} with
f  = {(1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10)}
(ii) g : {5, 6, 7, 8} 
{1, 2, 3, 4} with
g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
(iii) h : {2, 3, 4, 5} 
{7, 9, 11, 13} with
h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}
6. Show that f : [–1, 1] 
R, given by f (x) = 
(
2)
x
x
+
is one-one. Find the inverse
of the function f : [–1, 1] 
Range f.
(Hint: For y 
Range fy = f (x) = 
2
x
x
+
, for some x in [–1, 1], i.e., x = 
2
(1
)
y
y
)
7. Consider f : R 
R given by f(x) = 4x + 3. Show that f is invertible. Find the
inverse of f.
8. Consider f : R
+
[4, 
) given by f(x) = x
2
+ 4. Show that f is invertible with the
inverse f
–1 
of f given by f
–1
(y)  = 
4
, where R
+
is the set of all non-negative
real numbers.
© NCERT
not to be republished
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
PDF file in .NET framework. Ability to copy selected PDF pages and paste into another PDF file. The portable document format, known
extract text from pdf java open source; copy paste text pdf file
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
Help to extract single or multiple pages from adobe PDF file and save into a new PDF file. Ability to copy PDF pages and paste into another PDF file.
delete text from pdf preview; get text from pdf image
RELATIONS AND FUNCTIONS
19
9. Consider f : R
+
[– 5, 
) given by f (x) = 9x
2
+ 6x – 5. Show that f is invertible
with f
–1
(y)
(
)
6
1
3
y
+
.
10. Let f : X 
Y be an invertible function. Show that f has unique inverse.
(Hint: suppose g
1
and g
2
are two inverses of f. Then for all y 
Y,
fog
1
(y) = 1
Y
(y) = fog
2
(y). Use one-one ness of f).
11. Consider f : {1, 2, 3} 
{abc} given by f (1) = af(2) = b and f (3) = c. Find
f
–1
and show that (f
–1
)
–1 
f.
12. Let f: X 
Y be an invertible function. Show that the inverse of 
–1
is f, i.e.,
(f
–1
)
–1
f.
13. If fR 
R be given by f(x) = 
1
3
3
(3
)
, then fof (x) is
(A)
1
3
x
(B) x
3
(C) x
(D) (3 – x
3
).
14. Let f : R – 
4
3
R be a function defined as f(x) = 
4
3
4
x
x
+
. The inverse of
f is the map g : Range f 
R – 
4
3
given by
(A)
3
( )
3 4
y
g y
y
=
(B)
4
( )
4 3
y
g y
y
=
(C)
4
( )
3 4
y
g y
y
=
(D)
3
( )
4 3
y
g y
y
=
1.5  Binary Operations
Right from the school days, you must have come across four fundamental operations
namely addition, subtraction, multiplication and division. The main feature of these
operations is that given any two numbers a and b, we associate another number a + b
or a – b or ab or 
a
b
b 
0. It is to be noted that only two numbers can be added or
multiplied at a time. When we need to add three numbers, we first add two numbers
and the result is then added to the third number. Thus, addition, multiplication, subtraction
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF copy, paste image library: copy, paste, cut PDF images
PDF document images. Allow to copy an image from existing PDF file and paste it into another one. Guarantee high performance image
extract text from pdf acrobat; edit pdf replace text
C# PDF copy, paste image Library: copy, paste, cut PDF images in
Allow to copy an image from existing PDF file and paste it into another one. Easy to zoom and crop image for adjusting image size.
copy text from pdf online; extract text from pdf java
MATHEMATICS
20
and division are examples of binary operation, as ‘binary’ means two. If we want to
have a general definition which can cover all these four operations, then the set of
numbers is to be replaced by an arbitrary set X and then general binary operation is
nothing but association of any pair of elements ab from X to another element of X.
This gives rise to a general definition as follows:
Definition 10 A binary operation 
on a set A is a function 
∗ 
: A × A 
A. We denote
∗ 
(a, b ) by a 
b.
Example 29 Show that addition, subtraction and multiplication are binary operations
on R, but division is not a binary operation on R. Further, show that division is a binary
operation on the set R
∗∗∗∗∗
of nonzero real numbers.
Solution
+: R × R 
R is given by
(ab
a + b
–: R × R 
R is given by
(ab
a – b
×: R × R 
R is given by
(ab) 
ab
Since ‘+’, ‘–’ and ‘×’ are functions, they are binary operations on R.
But 
÷
R × R 
R, given by  (ab) 
a
b
, is not a function and hence not a binary
operation, as for b = 0, 
a
b
is not defined.
However, 
÷
R
× R
R
, given by (ab) 
a
b
is a function and hence a
binary operation on R
.
Example 30  Show that subtraction and division are not binary operations on N.
Solution  – : N × N 
N, given by (ab) 
a – b, is not binary operation, as the image
of (3, 5) under ‘–’ is 3 – 5 = – 2 
N. Similarly, 
÷
N × N 
N, given by (ab
a 
÷
b
is not a binary operation, as the image of (3, 5) under 
÷
is 3 
÷
5 = 
3
5
N.
Example 31 Show that 
∗ 
R × R 
R given by (ab) 
a + 4b
2
is a binary
operation.
Solution Since 
carries each pair (ab) to a unique element a + 4b
2
in R, 
∗ 
is a binary
operation on R.
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
VB.NET Project. A Visual Studio .NET PDF SDK library, able to perform image extraction from multiple page adobe PDF file in VB.NET.
a pdf text extractor; can't copy and paste text from pdf
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
Page, a Region on a Page, and PDF Document. C#.NET extract image from multiple page adobe PDF file library for Visual Studio .NET.
copy text from encrypted pdf; copy text from protected pdf
RELATIONS AND FUNCTIONS
21
Example 32 Let P be the set of all subsets of a given set X. Show that 
: P × P 
P
given by (A, B) 
B and 
: P × P 
P given by (A, B) 
B are binary
operations on the set P.
Solution Since union operation 
carries each pair (A, B) in P × P to a unique element
∪ 
 in P, 
∪ 
is binary operation on P. Similarly, the intersection operation 
carries
each pair (A, B) in P × P to a unique element A 
B in P, 
is a binary operation on P.
Example 33 Show that the  
R × R 
R given by (a, b
max {ab} and the
R × R 
R given by (a, b
min {ab} are binary operations.
Solution Since 
carries each pair (a, b) in R × R to a unique element namely
maximum of a and b lying in R, 
is a binary operation. Using the similar argument,
one can say that 
is also a binary operation.
Remark 
(4, 7) = 7, 
(4, – 7) = 4, 
(4, 7) = 4 and 
(4, – 7) = – 7.
When number of elements in a set A is small, we can express a binary operation 
on
the set A through a table called the operation table for the operation 
. For example
consider A = {1, 2, 3}. Then, the operation 
on  A defined in Example 33 can be expressed
by the following operation table (Table 1.1) . Here, 
(1, 3) = 3, 
(2, 3) = 3, 
(1, 2) = 2.
Table 1.1
Here, we are having 3 rows and 3 columns in the operation table with (ij) the
entry of the table being maximum of i
th
and j
th
elements of the set A. This can be
generalised for  general operation 
: A × A 
A. If A = {a
1
a
2
, ..., a
n
}. Then the
operation table will be having n rows and n columns with (ij)
th
entry being a
i
a
j
.
Conversely, given any operation table having n rows and n columns with each entry
being an element of A = {a
1
a
2
, ..., a
n
}, we can define a binary operation 
: A × A 
A
given by a
i
a
j
= the entry in the i
th
row and j
th
column of the operation table.
One may note that 3 and 4 can be added in any order and the result is same, i.e.,
3 + 4 = 4 + 3, but subtraction of 3 and 4 in different order give different results, i.e.,
3 – 4 
4 – 3. Similarly, in case of multiplication of 3 and 4, order is immaterial, but
division of 3 and 4 in different order give different results. Thus, addition and
multiplication of 3 and 4 are meaningful, but subtraction and division of 3 and 4 are
meaningless. For subtraction and division we have to write ‘subtract 3 from 4’, ‘subtract
4 from 3’, ‘divide 3 by 4’ or ‘divide 4 by 3’.
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF File Compress Library: Compress reduce PDF size in vb.
Also able to uncompress PDF file in VB.NET programs. Offer flexible and royalty-free developing library license for VB.NET programmers to compress PDF file.
copy pdf text to word; get text from pdf file c#
VB.NET PDF File Merge Library: Merge, append PDF files in vb.net
Professional VB.NET PDF file merging SDK support Visual Studio .NET. Merge PDF without size limitation. Append one PDF file to the end of another one in VB.NET.
copy text from pdf to word; erase text from pdf file
MATHEMATICS
22
This leads to the following definition:
Definition 11 A binary operation 
on the set X is called commutative, if 
b = 
a,
for every ab 
X.
Example 34 Show that + : R × R 
R and × : R × R 
R are commutative binary
operations, but – : R × R 
R and 
÷
R
× R
R
are not commutative.
Solution Since a + b = b + a and a × b = b × a
ab 
R, ‘+’ and ‘×’ are
commutative binary operation. However, ‘–’ is not commutative, since 3 – 4 
4 – 3.
Similarly, 3 
÷
÷
3 shows that ‘
÷
’ is not commutative.
Example 35 Show that 
R × R 
R defined by 
b = a + 2b is not commutative.
Solution Since 3 
4 = 3 + 8 = 11 and 4 
3 = 4 + 6 = 10, showing that the operation 
is not commutative.
If we want to associate three elements of a set X through a binary operation on X,
we encounter a natural problem. The expression 
b 
c may be interpreted as
(a 
b
c or a 
∗ 
(
c) and these two expressions need not be same. For example,
(8 – 5) – 2 
8 – (5 – 2). Therefore, association of three numbers 8, 5 and 3 through
the binary operation ‘subtraction’ is meaningless, unless bracket is used. But in case
of addition, 8 + 5 + 2 has the same value whether we look at it as ( 8 + 5) + 2 or as
8 + (5 + 2). Thus, association of 3 or even more than 3 numbers through addition is
meaningful without using bracket. This leads to the following:
Definition 12 A binary operation 
: A × A 
A is said to be associative if
(
b
a 
∗ 
(
c), 
abc
A.
Example 36 Show that addition and multiplication are associative binary operation on
R. But subtraction is not associative on R. Division is not associative on R
.
Solution Addition and multiplication are associative, since (a + b) + c = a + (c) and
(a × b) × c = a × (× c
abc 
R. However, subtraction and division are not
associative, as (8 – 5) – 3 
8 – (5 – 3) and (8 
÷
5) 
÷
÷ 
(5 
÷
3).
Example 37 Show that 
R × R 
R given by 
a + 2b is not associative.
Solution The operation 
is not associative, since
(8 
5) 
3 = (8 + 10) 
3 = (8 + 10) + 6 = 24,
while
∗ 
(5 
3) = 8 
(5 + 6) = 8 
11 = 8 + 22 = 30.
Remark Associative property of a binary operation is very important in the sense that
with this property of a binary operation, we can write a
1
a
... 
a
n
which is not
ambiguous. But in absence of this property, the expression a
1
a
... 
a
n
is ambiguous
unless brackets are used. Recall that in the earlier classes brackets were used whenever
subtraction or division operations or more than one operation occurred.
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF File Split Library: Split, seperate PDF into multiple
Professional VB.NET PDF file splitting SDK for Visual Studio and .NET framework 2.0. Split PDF file into two or multiple files in ASP.NET webpage online.
extract formatted text from pdf; pdf text replace tool
RELATIONS AND FUNCTIONS
23
For the binary operation ‘+’ on R, the interesting feature of the number zero is that
a + 0 = a = 0 + a, i.e., any number remains unaltered by adding zero. But in case of
multiplication, the number 1 plays this role, as a × 1 = a = 1 × a, 
a in R. This leads
to the following definition:
Definition 13 Given a binary operation 
: A × A 
A, an element e 
A, if it exists,
is called identity for the operation 
, if a 
a = e 
a
a 
A.
Example 38 Show that zero is the identity for addition on R and 1 is the identity for
multiplication on R. But there is no identity element for the operations
– : R  × R 
R and 
÷
R
× R
R
.
Solution a + 0 = 0 + a = a and a × 1 = = 1 × a
a 
R implies that 0 and 1 are
identity elements for the operations ‘+’ and ‘×’ respectively. Further, there is no element
e in R with a – e – a
a. Similarly, we can not find any element e in R
such that
÷
e = e 
÷
a
a in R
. Hence, ‘–’ and ‘
÷
’ do not have identity element.
Remark Zero is identity for the addition operation on R but it is not identity for the
addition operation on N, as 0 
N. In fact the addition operation on N does not have
any identity.
One further notices that for the addition operation + : R × R 
R, given any
R, there exists – a in R such that a + (– a) = 0 (identity for ‘+’) = (– a) + a.
Similarly, for the multiplication operation on R, given any a 
0 in R, we can choose 
1
a
in R such that a × 
1
a
= 1(identity for ‘×’) = 
1
a
× a. This leads to the following definition:
Definition 14 Given a binary operation 
: A × A 
A with the identity element e in A,
an element a 
A is said to be invertible with respect to the operation 
, if there exists
an element b in A such that a 
b = e = b 
a and b is called the inverse of a  and is
denoted by a
–1
.
Example 39 Show that – a is the inverse of a for the addition operation ‘+’ on R and
1
a
is the inverse of a 
0 for the multiplication operation ‘×’ on R.
Solution As a + (– a) = a – a = 0 and (– a) + a = 0, – a is the inverse of a for addition.
Similarly, for a 
0, a ×
1
a
= 1 = 
1
a
× a implies that 
1
a
is the inverse of a for multiplication.
© NCERT
not to be republished
MATHEMATICS
24
Example 40 Show that – a is not the inverse of a 
N for the addition operation + on
N and 
1
a
is not the inverse of a 
N for multiplication operation × on N, for a 
1.
Solution Since – a 
N,  – a can not be inverse of a for addition operation on N,
although – a  satisfies a + (– a) = 0 = (– a) + a.
Similarly, for a 
1 in N, 
1
a
N,  which implies that other than 1 no element of N
has inverse for multiplication operation on N.
Examples 34, 36, 38 and 39 show that addition on R is a commutative and associative
binary operation with 0 as the identity element and – a as the inverse of a in R 
a.
EXERCISE 1.4
1. Determine whether or not each of the definition of 
given below gives a binary
operation. In the event that 
is  not a binary operation, give justification for this.
(i) On Z
+
, define 
∗ 
by a 
b = a – b
(ii) On Z
+
, define 
∗ 
by a 
b = ab
(iii) On R, define 
∗ 
by a 
b = ab
2
(iv) On Z
+
, define 
∗ 
by a 
b = |a – b|
(v) On Z
+
, define 
∗ 
by a 
b = a
2. For each operation 
defined below, determine whether 
is binary, commutative
or associative.
(i) On Z, define a 
b = a – b
(ii) On Q, define a 
b = ab + 1
(iii) On Q, define a 
b = 
2
ab
(iv) On Z
+
, define a 
b = 2
ab
(v) On Z
+
, define a 
b = a
b
(vi) On R – {– 1}, define a 
1
a
b
+
3. Consider the binary operation 
on the set {1, 2, 3, 4, 5} defined by
a 
b = min { ab}. Write the operation table of the operation 
.
© NCERT
not to be republished
RELATIONS AND FUNCTIONS
25
4. Consider a binary operation 
on the set {1, 2, 3, 4, 5} given by the following
multiplication table (Table 1.2).
(i) Compute (2 
3) 
4 and 2 
∗ 
(3 
4)
(ii) Is 
commutative?
(iii) Compute (2 
3) 
(4 
5).
(Hint: use the following table)
Table 1.2
5. Let 
∗′ 
be the  binary  operation on the  set {1, 2,  3, 4, 5} defined  by
a 
∗′
b = H.C.F. of a and b. Is the operation 
∗′
same as the operation 
defined
in Exercise 4 above? Justify your answer.
6. Let 
be the binary operation on N given by 
b = L.C.M. of a and b. Find
(i) 5 
7,   20 
16
(ii) Is 
commutative?
(iii) Is 
associative?
(iv) Find the identity of 
∗ 
in N
(v) Which elements of N are invertible for the operation 
?
7. Is 
defined on the set {1, 2, 3, 4, 5} by 
b = L.C.M. of a and b a binary
operation? Justify your answer.
8. Let 
be the binary operation on N defined by 
b = H.C.F. of a and b.
Is 
commutative? Is 
associative? Does there exist identity for this binary
operation on N?
9. Let 
be a binary operation on the set Q of rational numbers as follows:
(i) a 
b =  b
(ii) a 
b = a
2
+ b
2
(iii) a 
b = + ab
(iv) a 
b = ( b)
2
(v) a 
b = 
4
ab
(vi) a 
b = ab
2
Find which of the binary operations are commutative and which are associative.
10. Find which of the operations given above has identity.
11. Let A = N × N and 
be the binary operation on A defined by
(ab
(c, d ) = (a + c, b + d)
© NCERT
not to be republished
MATHEMATICS
26
Show that 
is commutative and associative. Find the identity element for 
on
A, if any.
12. State whether the following statements are true or false. Justify.
(i) For an arbitrary binary operation 
on a set N
a 
a 
N.
(ii) If 
is a commutative binary operation on N, then a 
(b 
c) = (c 
b) 
a
13. Consider a binary operation 
on N defined as 
b = a
3
b
3
.  Choose the
correct answer.
(A) Is 
both associative and commutative?
(B) Is 
commutative but not associative?
(C) Is 
associative but not commutative?
(D) Is 
neither commutative nor associative?
Miscellaneous Examples
Example 41 If R
1
and R
2
are equivalence relations in a set A, show that R
1
R
2
is
also an equivalence relation.
Solution Since R
1
and R
2
are equivalence relations, (a, a
R
1
, and (a, a
R
2
A.
This implies that (aa) 
R
R
2
a, showing R
R
2
is reflexive. Further,
(ab) 
R
R
2
(ab) 
R
1
and (ab) 
R
2
(ba
R
1
and (ba) 
R
2
(ba) 
R
1
R
2
, hence, R
R
2
is symmetric. Similarly, (ab) 
R
1
R
2
and
(bc) 
R
R
2
(ac) 
∈ 
R
1
and (ac) 
∈ 
R
2
(ac) 
R
R
2
. This shows that
R
R
2
is transitive. Thus, R
R
2
is an equivalence relation.
Example 42 Let R be a relation on the set A of ordered pairs of positive integers
defined by (xy) R (uv) if  and only if xv = yu. Show that R is an equivalence relation.
Solution Clearly, (xy) R (xy), 
(xy) 
A, since xy = yx. This shows that R is
reflexive. Further, (xy) R (uv
xv yu 
uy = vx and hence (uv) R (xy). This
shows that R is symmetric. Similarly, (x, y) R (u, v) and (u, v) R (a, b) 
xv = yu and
ub = va 
a
a
xv
v
yu
u
u
=
⇒ 
b
a
xv
v
yu
v
u
=
xb = ya and hence (x, y) R (ab). Thus, R
is transitive. Thus, R is an equivalence relation.
Example 43 Let X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Let R
1
be a relation in X given
by R
1
= {(xy) : – y is divisible by 3} and R
2
be another relation on X given by
R
2
= {(x, y): {xy} 
{1, 4, 7}} or {x, y
⊂ 
{2, 5, 8} or {x, y} 
⊂ 
{3, 6, 9}}. Show that
R
1
= R
2
.
© NCERT
not to be republished
Documents you may be interested
Documents you may be interested