how to display pdf file in asp net using c# : C# extract pdf text software application cloud windows html wpf class Mathematics-Part1-Class-125-part1890

INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS     37
Thus cosec
–1
can be defined as a function whose domain is R – (–1, 1) and range could
be  any  of  the  intervals 
,
{0}
2 2
−π π
,
3
,
{ }
2
2
− π −π
− −π
3
,
{ }
2 2
π π
− π
etc.  The
function corresponding to the range 
,
{0}
2 2
−π π
is called the principal value branch
of cosec
–1
. We thus have principal branch as
cosec
–1 
: R – (–1, 1) → 
,
{0}
2 2
−π π
The graphs of y = cosec x and y = cosec
–1 
x are given in Fig 2.3 (i), (ii).
Also, since sec x = 
1
cos x
, the domain of y = sec x is the set R – {x : x = (2n + 1) 
2
π
,
n ∈  Z} and range is the set R – (–1, 1). It means that sec (secant function) assumes
all real values except –1 < y < 1 and is not defined for odd multiples of 
2
π
. If we
restrict the domain of  secant function to [0, π] – { 
2
π
}, then it is one-one and onto with
Fig 2.3 (i)
Fig 2.3 (ii)
C# extract pdf text - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
erase text from pdf; c# read text from pdf
C# extract pdf text - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
extract text from pdf; export text from pdf to excel
38
MATHEMATICS
its  range  as the  set R – (–1,  1). Actually, secant function   restricted  to any of the
intervals [–π, 0] – {
2
−π
}, 
[0, ] –
2
π
 
π
 
 
, [π, 2π] – {
3
2
π
} etc., is bijective and its range
is R – {–1, 1}. Thus sec
–1
can be defined as a function whose domain is R– (–1, 1) and
range could be any of the intervals [– π, 0] – {
2
−π
}, [0, π] – {
2
π
}, [π, 2π] – {
3
2
π
} etc.
Corresponding to each of these intervals, we get different branches of the function sec
–1
.
The  branch  with  range [0, π]  –  {
2
π
} is  called the principal  value  branch of the
function sec
–1
. We thus have
sec
–1
: R – (–1,1) → [0, π] – {
2
π
}
The graphs of the functions y = sec x and y = sec
-1
x are given in Fig 2.4 (i), (ii).
Finally, we now discuss tan
–1
and cot
–1
We  know  that  the  domain  of  the tan  function  (tangent function)  is  the  set
{x : x ∈ R and x ≠ (2n +1) 
2
π
, n ∈ Z} and the range is R. It means that tan function
is not defined for odd multiples of  
2
π
. If we restrict the domain of tangent function to
Fig 2.4 (i)
Fig 2.4 (ii)
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
XDoc.PDF ›› C# PDF: Extract PDF Image. How to C#: Extract Image from PDF Document. using RasterEdge.XDoc.PDF; C#: Extract All Images from PDF Document.
copy text from pdf with formatting; extract all text from pdf
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
PDF Pages in C#.NET. Easy to Use C# Code to Extract PDF Pages, Copy Pages from One PDF File and Paste into Others in C#.NET Program.
copying text from pdf into word; copy text from pdf
INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS     39
,
2 2
−π π
, then it is one-one and onto with its range as R. Actually, tangent function
restricted to any of the intervals 
3
,
2
2
− π −π
,
2 2
−π π
3
,
2 2
π
π
etc., is bijective
and its range is R. Thus tan
–1
can be defined as a function whose domain is R and
range could be any of the intervals 
3
,
2
2
− π −π
,
2 2
−π π
3
,
2 2
π π
and so on. These
intervals give different branches of the function  tan
–1
. The branch with range 
,
2 2
−π π
is called the principal value branch of the function tan
–1
.
We thus have
tan
–1
:  R 
,
2 2
−π π
The graphs of the function  y = tan x and y = tan
–1
x are given in Fig 2.5 (i), (ii).
Fig 2.5 (i)
Fig  2.5 (ii)
We  know  that  domain  of  the  cot function  (cotangent  function)  is  the  set
{x : x ∈ R and x ≠ nπ, n ∈ Z} and range is R. It means that cotangent function is not
defined for integral multiples of π. If we restrict the domain of cotangent function to
(0, π), then it is bijective with and its range as R. In fact, cotangent function restricted
to any of the intervals (–π, 0), (0, π), (π, 2π) etc., is bijective and its range is R. Thus
cot
–1
can be defined as a function whose domain is the R and range as any of the
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
|. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Insert Text to PDF. C#.NET PDF SDK - Insert Text to PDF Document in C#.NET. C#.NET Project DLLs: Insert Text Content to PDF.
can't copy text from pdf; extract text from image pdf file
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
Different from other C# .NET PDF to text conversion controls, RasterEdge C# PDF to text converter control toolkit can convert PDF document to text file with
c# extract text from pdf; extract text from pdf to word
40
MATHEMATICS
intervals (–π, 0), (0, π), (π, 2π) etc. These intervals give different branches of the
function cot
–1
. The function with range (0, π) is called the principal value branch of
the function cot
–1
. We thus have
cot
–1
: R → (0,  π)
The graphs of y = cot x and y = cot
–1
x are given in Fig 2.6 (i), (ii).
C# PDF Form Data Read Library: extract form data from PDF in C#.
This page is mainly designed to tell you how to read or retrieve field data from PDF and how to extract and get field data from PDF in C#.NET project.
extract text from pdf file; export highlighted text from pdf
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
Image: Extract Image from PDF. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Extract PDF Image. VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET.
copy text from pdf in preview; cut and paste text from pdf document
1
sin x
and
similarly for other trigonometric functions.
2. Whenever no branch of an inverse trigonometric functions is mentioned, we
mean the principal value branch of that function.
3. The value of an inverse trigonometric functions which lies in the range of
principal branch is called the principal value of that inverse trigonometric
functions.
We now consider some examples:
Example 1 Find the principal value of sin
–1
1
2
.
Solution Let sin
–1
1
2
= y. Then, sin y = 
1
2
.
We know that the range of the principal value branch of sin
–1
is 
,
2 2
−π π
and
sin
4
π
 
 
 
1
2
. Therefore, principal value of sin
–1
1
2
is 
4
π
Example 2 Find the principal value of cot
–1 
1
3
−
Solution Let cot
–1 
1
3
−
= y. Then,
1
cot
cot
3
3
y
π
 
=
=−
 
 
cot
3
π
π−
2
cot
3
 π
We  know  that  the  range  of  principal  value  branch  of  cot
–1
is  (0, π)  and
cot 
2
3
π
1
3
. Hence, principal value of cot
–1
1
3
−
is 
2
3
π
EXERCISE 2.1
Find the principal values of the following:
1. sin
–1
1
2
2. cos
–1
3
2
3. cosec
–1
(2)
4. tan
–1
(− 3)
5. cos
–1
1
2
6. tan
–1
(–1)
C# PDF Text Search Library: search text inside PDF file in C#.net
|. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Search PDF Text. C#.NET PDF SDK - Search and Find PDF Text in C#.NET. C#.NET PDF DLLs for Finding Text in PDF Document.
copy text from locked pdf; delete text from pdf with acrobat
C# WPF PDF Viewer SDK to view, annotate, convert and print PDF in
PDF in C#, C# convert PDF to HTML, C# convert PDF to Word, C# extract text from PDF, C# convert PDF to Jpeg, C# compress PDF, C# print PDF, C# merge PDF files
copy pdf text with formatting; extract text from pdf using c#
42
MATHEMATICS
7. sec
–1
2
3
8. cot
–1
( 3)
9. cos
–1
1
2
10. cosec
–1
(
− 2
)
Find the values of  the following:
11. tan
–1
(1) + cos
–1
1
2
+ sin
–1
1
2
12. cos
–1
1
2
 
 
 
+ 2 sin
–1
1
2
 
 
 
13. If sin
–1
x = y, then
(A) 0 ≤ y ≤ π
(B)
2
2
y
π
π
− ≤ ≤
(C) 0 <  y < π
(D)
2
2
y
π
π
− < <
14. tan
–1
(
)
1
3 sec
2
is equal to
(A) π
(B)
3
π
(C)
3
π
(D)
2
3
π
2.3  Properties of Inverse Trigonometric Functions
In  this section,  we shall prove  some important properties of inverse  trigonometric
functions. It may be mentioned here that these results are valid within the principal
value branches of the corresponding inverse trigonometric functions and wherever
they are defined. Some results may not be valid for all values of the domains of inverse
trigonometric functions. In fact, they will be valid only for some values of x for which
inverse trigonometric functions are defined. We will not go into the details of these
values of x in the domain as this discussion goes beyond the scope of this text book.
Let us recall that if y = sin
–1
x, then x = sin y and if x = sin y, then y = sin
–1
x. This is
equivalent to
sin (sin
–1
x) = x, x ∈ [– 1, 1] and sin
–1
(sin x) = x, x ∈ 
,
2 2
π π
Same is true for other five inverse trigonometric functions as well. We now prove
some properties of inverse trigonometric functions.
1. (i) sin
–1
1
x
= cosec
–1 
x, x 
≥≥
≥≥≥ 1 or x 
≤≤
≤≤≤ –  1
(ii) cos
–1
1
x
= sec
–1
x, x  ≥≥≥≥≥ 1  or x  ≤≤≤≤≤  – 1
INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS     43
(iii) tan
–1
1
x
= cot
–1
x, x > 0
To prove the first result, we put cosec
–1
x = y, i.e., x = cosec y
Therefore
1
x
= sin y
Hence
sin
–1
1
x
= y
or
sin
–1
1
x
= cosec
–1
x
Similarly, we can prove the other parts.
2. (i) sin
–1
(–x) =  – sin
–1
x,  x 
∈∈
∈∈∈ [–  1, 1]
(ii) tan
–1
(–x) = – tan
–1
x, x 
∈∈
∈∈∈ R
(iii) cosec
–1
(–x) = – cosec
–1
x,  |x | 
≥≥
≥≥≥  1
Let sin
–1 
(–x) = y, i.e., –x = sin y so that x = – sin y, i.e., x = sin (–y).
Hence
sin
–1
x = – y = – sin
–1
(–x)
Therefore
sin
–1
(–x) = – sin
–1
x
Similarly, we can prove the other parts.
3. (i) cos
–1 
(–x) =  ππ
ππ
π  –  cos
–1 
x,  x ∈∈
∈∈
∈ [–  1, 1]
(ii) sec
–1
(–x)  =  ππ
ππ
π – sec
–1 
x,  | x|  ≥≥
≥≥
≥  1
(iii) cot
–1
(–x) =  ππ
ππ
π  –  cot
–1 
x,  x  ∈∈
∈∈
∈  R
Let cos
–1
(–x) = y i.e., – x = cos y so that x = – cos y = cos (π – y)
Therefore
cos
–1
x = π – y  = π – cos
–1
(–x)
Hence
cos
–1
(–x) = π – cos
–1
x
Similarly, we can prove the other parts.
4. (i) sin
–1
x +  cos
–1
x = 
2
,  x  ∈∈∈∈∈  [– 1, 1]
(ii) tan
–1 
x + cot
–1 
x = 
2
, x  ∈∈∈∈∈  R
(iii) cosec
–1 
x  +  sec
–1 
x = 
2
π
,  |x | ≥≥
≥≥
≥  1
Let sin
–1
x = y. Then x = sin y = cos 
2
y
π
Therefore
cos
–1
x =  
2
y
π
 
–1
sin
2
x
π
44
MATHEMATICS
Hence
sin
–1
x + cos
–1
x = 
2
π
Similarly, we can prove the other parts.
5. (i) tan
–1
x + tan
–1
y = tan
–1
1
x+ y
–xy
, xy < 1
(ii) tan
–1
x – tan
–1
y = tan
–1
1
x– y
+xy
, xy > – 1
Let tan
–1
x = θ and tan
–1
y = φ. Then x = tan θ, y = tan φ
Now
tan
tan
tan(
)
1 tan tan
1
x y
xy
θ+
φ
+
θ+φ =
=
θ
φ
This gives
θ + φ = tan
–1
1
x y
xy
+
Hence
tan
–1
x + tan
–1
y = tan
–1
1
x y
xy
+
In the above result, if we replace y by – y, we get the second result and by replacing
y by x, we get the third result as given below.
6. (i) 2tan
–1
x = sin
–1
2
2
1+
x
x
, |x|  ≤≤≤≤≤ 1
(ii) 2tan
–1
x =  cos
–1
2
2
1–
1+
x
x
,  x ≥≥≥≥≥  0
(iii) 2 tan
–1
x = tan
–1 
2
2
1–
x
x
, – 1 < x < 1
Let tan
–1
x = y, then x = tan y. Now
sin
–1
2
2
1
x
+x
= sin
–1
2
2tan
1 tan
y
y
+
=sin
–1
(sin 2y) = 2y = 2tan
–1
x
INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS     45
Also cos
–1
2
2
1
1
x
x
+
= cos
–1
2
2
1 tan
1 tan
y
y
+
= cos
–1
(cos 2y) = 2y = 2tan
–1
x
(iii) Can be worked out similarly.
We now consider some examples.
Example 3 Show that
(i) sin
–1
(
)
2
2x 1
x
−x
= 2 sin
–1
x, 
1
1
2
2
x
≤ ≤
(ii) sin
–1
(
)
2
2x 1
x
−x
= 2 cos
–1
x, 
1
1
2
≤ x≤
Solution
(i) Let x = sin θ. Then sin
–1
x = θ. We have
sin
–1
(
)
2
2x 1
x
−x
=sin
–1
(
)
2
2sin
1 sin
θ
θ
=sin
–1 
(2sinθ cosθ) = sin
–1 
(sin2θ) = 2θ
=2 sin
–1 
x
(ii) Take x = cos θ, then proceeding as above, we get, sin
–1
(
)
2
2x 1
x
−x
= 2 cos
–1
x
Example 4 Show that t tan
–1
–1
–1
1
2
3
tan
tan
2
11
4
+
=
Solution By property 5 (i), we have
L.H.S. = 
–1
–1
1
2
tan
tan
2
11
+
–1
1
1 2
15
2 11
tan
tan
1 2
20
1
2 11
+
=
=
− ×
1
3
tan
4
= R.H.S.
Example 5 Express 
1
cos
tan
1 sin
x
x
3
2
2
π
π
<x<
in the simplest form.
Solution We write
2
2
1
–1
2
2
cos
sin
cos
2
2
tan
tan
1 sin
cos
sin
2sin cos
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
46
MATHEMATICS
=
–1
2
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
tan
cos
sin
2
2
x
x
x
x
x
x

+


=
–1
cos
sin
2
2
tan
cos
sin
2
2
x
x
x
x
+
–1
1 tan
2
tan
1 tan
2
x
x
+
=
=
–1
tan
tan
4 2
4 2
x
x
π
π
+
= +
Alternatively,
–1
–1
–1
2
sin
sin
cos
2
2
tan
tan
tan
2
1 sin
1 cos
1 cos
2
2
x
x
x
x
x
x
π
π−
=
=
π
π−
=
–1
2
2
2
2sin
cos
4
4
tan
2
2sin
4
x
x
x
π−
π−
π−
=
–1
2
tan
cot
4
x
π−
–1
2
tan
tan
2
4
x
π π −
=
=
–1
tan
tan
4 2
x
π
+
4 2
π x
= +
Example 6 Write 
–1
2
1
cot
1
x
,  x  > 1 in the simplest form.
Solution Let x = sec θ, then 
2
x −1
2
sec
1 tan
θ− =
θ
Documents you may be interested
Documents you may be interested