how to display pdf file in asp net using c# : Extract text from pdf to excel Library software component .net winforms wpf mvc Mathematics-Part1-Class-127-part1892

MATRICES         57
of notebooks and pens by Radha and her two friends Fauzia and Simran which
is as follows:
Radha
has
15
notebooks
and
6 pens,
Fauzia
has
10
notebooks
and
2 pens,
Simran
has
13
notebooks
and
5 pens.
Now this could be arranged in the tabular form as follows:
Notebooks
Pens
Radha
15
6
Fauzia
10
2
Simran
13
5
and this can be expressed as
or
Radha
Fauzia
Simran
Notebooks
15
10
13
Pens
6
2
5
which can be expressed as:
In the first arrangement the entries in the first column represent the number of
note books possessed by Radha, Fauzia and Simran, respectively and the entries in the
second column represent the number of pens possessed by Radha, Fauzia and Simran,
© NCERT
not to be republished
Extract text from pdf to excel - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
delete text from pdf; copy paste text pdf
Extract text from pdf to excel - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
copy paste text pdf file; cut and paste text from pdf
58
MATHEMATICS
respectively. Similarly, in the second arrangement, the entries in the first row represent
the number of notebooks possessed by Radha, Fauzia and Simran, respectively. The
entries in the second row represent the number of pens possessed by Radha, Fauzia
and Simran, respectively. An arrangement or display of the above kind is called a
matrix. Formally, we define matrix as:
Definition 1  A matrix is an ordered rectangular array of numbers or functions. The
numbers or functions are called the elements or the entries of the matrix.
We denote matrices by capital letters. The following are some examples of matrices:
5
–2
A
0
5
3 6
=
1
2
3
2
B
3.5 –1
2
5
3
5
7
i
+
=
,  
3
1
3
C
cos
tan
sin
2
x
x
x
x
x
+
=
+
In the above examples, the horizontal lines of elements are said to constitute, rows
of the matrix and the vertical lines of elements are said to constitute, columns of the
matrix. Thus A has 3 rows and 2 columns, B has 3 rows and 3 columns while C has 2
rows and 3 columns.
3.2.1  Order of a matrix
A matrix having m rows and n columns is called a matrix of order m × n or simply m × n
matrix (read as an m by n matrix). So referring to the above examples of matrices, we
have A as 3 × 2 matrix, B as 3 × 3 matrix and C as 2 × 3 matrix. We observe that A has
3 × 2 = 6 elements, B and C have 9 and 6 elements, respectively.
In general, an m × n matrix has the following rectangular array:
or A = [a
ij
]
m × n
, 1
i 
m, 1
j 
n   i, j 
N
Thus the i
th
row consists of the elements a
i1
, a
i2
a
i3
,..., a
in
, while the j
th
column
consists of the elements a
1j
a
2j
a
3j
,..., a
mj
,
In general a
ij
, is an element lying in the i
th
row and j
th
column. We can also call
it as the (i, j)
th
element of A. The number of elements in an m × n matrix will be
equal to mn.
© NCERT
not to be republished
VB.NET Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF
Editor; C#: WPF PDF Viewer; C#: Create PDF from Word; C#: Create PDF from Excel; PDF; C# Page: Insert PDF pages; C# Page: Delete PDF pages; C# Read: PDF Text Extract
delete text from pdf file; export text from pdf to word
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
Image: Extract Image from PDF. |. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Extract PDF Image. How to C#: Extract Image from PDF Document.
copy text from protected pdf to word; c# get text from pdf
MATRICES         59
$
Note  In this chapter
1. We shall follow the notation, namely A = [a
ij
]
m × n
to indicate that A is a matrix
of order m × n.
2. We shall consider only those matrices whose elements are real numbers or
functions taking real values.
We can also represent any point (x, y ) in a plane by a matrix (column or row) as
x
y
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(or [x, y]). For example point P(0, 1) as a matrix representation may be given as
0
P
1
⎡ ⎤
=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
or [0 1].
Observe that in this way we can also express the vertices of a closed rectilinear
figure in the form of a matrix. For example, consider a quadrilateral ABCD with vertices
A (1, 0), B (3, 2), C (1, 3), D (–1, 2).
Now, quadrilateral ABCD in the matrix form, can be represented as
2 4
A B C D
1 3 1 1
X
0 2 3 2
×
=
or
4 2
A 1 0
B 3 2
Y
C 1 3
D 1 2
×
=
Thus, matrices can be used as representation of vertices of geometrical figures in
a plane.
Now, let us consider some examples.
Example 1 Consider the following information regarding the number of men and women
workers in three factories I, II and III
Men workers
Women workers
I
30
25
II
25
31
III
27
26
Represent the above information in the form of a 3 × 2 matrix. What does the entry
in the third row and second column represent?
© NCERT
not to be republished
C# Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF in C#
Create PDF from Excel. |. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Create PDF from Excel. Export PDF from Excel with cell border or no border.
copy text from pdf; export text from pdf
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
Image: Extract Image from PDF. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Extract PDF Image. VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET.
copy text from pdf in preview; copy text from pdf to word with formatting
60
MATHEMATICS
Solution The information is represented in the form of a 3 × 2 matrix as follows:
30 25
A
25 31
27 26
=
The entry in the third row and second column represents the number of women
workers in factory III.
Example 2 If a matrix has 8 elements, what are the possible orders it can have?
Solution We know that if a matrix is of order m × n, it has mn elements. Thus, to find
all possible orders of a matrix with 8 elements, we will find all ordered pairs of natural
numbers, whose product is 8.
Thus, all possible ordered pairs are (1, 8), (8, 1), (4, 2), (2, 4)
Hence, possible orders are 1 × 8, 8 ×1, 4 × 2, 2 × 4
Example 3 Construct a 3 × 2 matrix whose elements are given by 
1
| 3 |
2
ij
a
i
j
=
.
Solution In general a 3 × 2 matrix is given by 
11
12
21
22
31
32
A
a a
a a
a a
=
.
Now
1
| 3 |
2
ij
a
i
j
=
, i = 1, 2, 3 and  j = 1, 2.
Therefore
11
1
|1 3 1| 1
2
a
=
− × =
12
1
5
|1 3 2|
2
2
a
=
− ×
=
21
1
1
|2 3 1|
2
2
a
=
− × =
22
1
|2 3 2| 2
2
a
=
− × =
31
1
|3 3 1| 0
2
a
=
− × =
32
1
3
|3 3 2|
2
2
a
=
− ×
=
Hence the required matrix is given by 
5
1
2
1
A
2
2
3
0
2
=
.
© NCERT
not to be republished
C# HTML5 Viewer: Load, View, Convert, Annotate and Edit Excel
freely implement conversion from Excel document to PDF, Tiff and HTML file. Users can add annotations to Excel when viewing it online and use text search and
extract text from scanned pdf; get text from pdf file c#
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
Text to PDF. C#.NET PDF SDK - Insert Text to PDF Document in C#.NET. Providing C# Demo Code for Adding and Inserting Text to PDF File Page with .NET PDF Library.
cut and paste pdf text; copy text from encrypted pdf
MATRICES         61
3.3  Types of Matrices
In this section, we shall discuss different types of matrices.
(i) Column matrix
A matrix is said to be a column matrix if it has only one column.
For example,  
0
3
A
1
1/2
= −
is a column matrix of order 4 × 1.
In general, A = [a
ij
]
m × 1
is a column matrix of order m × 1.
(ii) Row matrix
A matrix is said to be a row matrix if it has only one row.
For example, 
1 4
1
B
5 2 3
2
×
= −
is a row matrix.
In general, B = [b
ij
]
1 × n
is a row matrix of order 1 × n.
(iii) Square matrix
A matrix in which the number of rows are equal to the number of columns, is
said to be a square matrix. Thus an × n matrix is said to be a square matrix if
m = n and is known as a square matrix of order ‘n’.
For example 
3
1
0
3
A
3 2 1
2
4
3
1
=
is a square matrix of order 3.
In general, A = [a
ij
]
× m
is a square matrix of order m.
$
Note  If A = [a
ij
] is a square matrix of order n, then elements (entries) a
11
a
22
, ..., a
nn
are said to constitute the diagonal, of the matrix A. Thus, if 
1
3 1
A
2 4
1
3 5
6
=
.
Then the elements of the diagonal of A are 1, 4, 6.
© NCERT
not to be republished
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Page: Extract, Copy and Paste PDF Pages. Easy to Use C# Code to Extract PDF Pages, Copy Pages from One PDF File and Paste into Others in C#.NET Program.
copy text from scanned pdf; copy text from pdf to word
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
Integrate following RasterEdge C#.NET text to PDF converter SDK dlls into your C#.NET project assemblies; RasterEdge.XDoc.Excel.dll.
copy text from pdf without formatting; copy text from pdf reader
62
MATHEMATICS
(iv) Diagonal matrix
A square matrix B = [b
ij
]
× m
is said to be a diagonal matrix if all its non
diagonal elements are zero, that is a matrix B = [b
ij
]
× m
is said to be a diagonal
matrix if b
ij
= 0, when i 
j.
For example,  A = [4], 
1 0
B
0 2
=
1.1 0 0
C
0
2 0
0
0 3
=
, are diagonal matrices
of order 1, 2, 3, respectively.
(v) Scalar matrix
A diagonal matrix is said to be a scalar matrix if its diagonal elements are equal,
that is, a square matrix B = [b
ij
]
× n
is said to be a scalar matrix if
b
ij
= 0,    when  
j
b
ij
k   when  = j, for some constant k.
For example
A = [3],     
1 0
B
0
1
=
,      
3
0
0
C
0
3
0
0
0
3
=⎢
are scalar matrices of order 1, 2 and 3, respectively.
(vi) Identity matrix
A square matrix in which elements in the diagonal are all 1 and rest are all zero
is called an identity matrix . In other words, the square matrix A = [a
ij
]
n × n
is an
identity matrix, if 
1 if
0 if
ij
i j
a
i j
=
=
.
We denote the identity matrix of order n by I
n
. When order is clear from the
context, we simply write it as I.
For example [1], 
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
are identity matrices of order 1, 2 and 3,
respectively.
Observe that a scalar matrix is an identity matrix when k = 1. But every identity
matrix is clearly a scalar matrix.
© NCERT
not to be republished
MATRICES         63
(vii) Zero matrix
A matrix is said to be zero matrix or null matrix if all its elements are zero.
For example, [0], 
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
, [0, 0] are all zero matrices. We denote
zero matrix by O. Its order will be clear from the context.
3.3.1  Equality of matrices
Definition 2 Two matrices A = [a
ij
] and B = [b
ij
] are said to be equal if
(i) they are of the same order
(ii) each element of A is equal to the corresponding element of B, that is a
ij
b
ij
for
all i and j.
For example, 
2 3
2 3
and
0 1
0 1
are equal matrices but 
3 2
2 3
and
0 1
0 1
are
not equal matrices. Symbolically, if two matrices A and B are equal, we write A = B.
If 
1.5
0
2
6
3
2
x y
z a
b c
=
, then x = – 1.5, y = 0, z = 2, a = 
6
b = 3, c = 2
Example 4 If  
3
4 2
7
0
6 3
2
6
1
0
6
3 2
2
3
21
0
2
4
21
0
x
z
y
y
a
c
b
b
+
+
⎤ ⎡
⎥ ⎢
= −
+
⎥ ⎢
⎥ ⎢
+
⎦ ⎣
Find the values of a, b, cxy and z.
Solution As the given matrices are equal, therefore, their corresponding elements
must be equal. Comparing the corresponding elements, we get
x + 3= 0,
z + 4 =6,
2y – 7 = 3y – 2
a – 1= – 3,
0 = 2c + 2
b – 3= 2 b + 4,
Simplifying, we get
a = – 2, b = – 7, c = – 1, = – 3, y = –5, z = 2
Example 5 Find the values of abc, and from the following equation:
2
2
4
3
5
4
3
11 24
a b a
b
c d
c
d
+
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
+
⎦ ⎣
© NCERT
not to be republished
64
MATHEMATICS
Solution By equality of two matrices, equating the corresponding elements, we get
2a + b = 4
5c – d = 11
a – 2 b =– 3
4c + 3d = 24
Solving these equations, we get
a = 1, b =2, c = 3 and d = 4
EXERCISE 3.1
1. In the matrix 
2
5 19
7
5
A
35
2
12
2
17
3 1
5
− 
=
, write:
(i) The order of the matrix,
(ii) The number of elements,
(iii) Write the elements a
13
a
21
a
33
a
24
a
23
.
2. If a matrix has 24 elements, what are the possible orders it can have? What, if it
has 13 elements?
3. If a matrix has 18 elements, what are the possible orders it can have? What, if it
has 5 elements?
4. Construct a 2 × 2 matrix, A = [a
ij
], whose elements are given by:
(i)
2
(
)
2
ij
i j
a
+
=
(ii)
ij
i
a
j
=
(iii)
2
( 2 )
2
ij
i
j
a
+
=
5. Construct a 3 × 4 matrix, whose elements are given by:
(i)
1
| 3
|
2
ij
a
i j
=
− +
(ii)
2
ij
a
i j
=
6. Find the values of xy and z from the following equations:
(i)
4 3
5
1 5
y z
x
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
(ii)
2
6 2
5
5 8
x y
z xy
+
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
+
⎦ ⎣
(iii)
9
5
7
x y z
x z
y z
+ +
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥
+
=
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
+
⎦ ⎣ ⎦
7. Find the value of abc and d from the equation:
2
1 5
2
3
0 13
a b
a c
a b
c d
+
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
+
⎦ ⎣
© NCERT
not to be republished
MATRICES         65
8. A = [a
ij
]
m × n\
is a square matrix, if
(A) < n
(B) > n
(C) = n
(D) None of these
9. Which of the given values of x and y make the following pair of matrices equal
3
7
5
1 2 3
x
y
x
+
+
0
2
8
4
y
(A)
1
,
7
3
x
y
=
=
(B) Not possible to find
(C) y = 7,   
2
3
x
=
(D)
1
2
,
3
3
x
y
10. The number of all possible matrices of order 3 × 3 with each entry 0 or 1 is:
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
3.4  Operations on Matrices
In this section, we shall introduce certain operations on matrices, namely, addition of
matrices, multiplication of a matrix by a scalar, difference and multiplication of matrices.
3.4.1  Addition of matrices
Suppose Fatima has two factories at places A and B. Each factory produces sport
shoes for boys and girls in three different price categories labelled 1, 2 and 3. The
quantities produced by each factory are represented as matrices given below:
66
MATHEMATICS
This new matrix is the sum  of the above two matrices. We observe that the sum of
two matrices is a matrix obtained by adding the corresponding elements of the given
matrices. Furthermore, the two matrices have to be of the same order.
Thus, if  
11
12
13
21
22
23
A
a
a
a
a
a
a
=
is a 2 × 3 matrix and 
11
12
13
21
22
23
B
b
b
b
b
b
b
=
is another
2×3 matrix. Then, we define 
11
11
12
12
13
13
21
21
22
22
23
23
A+B
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
=
+
+
+
.
In general, if A = [a
ij
] and B = [b
ij
] are two matrices of the same order, say m × n.
Then, the sum of the two matrices A and B is defined as a matrix C = [c
ij
]
m × n
, where
c
ij
a
ij
b
ij
, for all possible values of i and j.
Example 6  Given 
3 1
1
A
2 3 0
=
and 
2
5 1
B
1
2 3
2
=
, find A + B
Since A, B are of the same order 2 × 3. Therefore, addition of A and B is defined
and is given by
2
3 1
5 1 1
2
3 1
5 0
A+B
1
1
2 2
3 3
0
0
6
2
2
⎤ ⎡
+
+
+
+
⎥ ⎢
=
=
⎥ ⎢
+
+
⎥ ⎢
⎦ ⎣
$
Note
1. We emphasise that if A and B are not of the same order, then A + B is not
defined. For example if 
2 3
A
1 0
=
1 2 3
B
,
1 0 1
=
then A + B is not defined.
2. We may observe that addition of matrices is an example of binary operation
on the set of matrices of the same order.
3.4.2  Multiplication of a matrix by a scalar
Now suppose that Fatima has doubled the production at a factory A in all categories
(refer to 3.4.1).
© NCERT
not to be republished
Documents you may be interested
Documents you may be interested