how to display pdf file in asp net using c# : Extract text from pdf to word software Library dll winforms asp.net html web forms Mathematics-Part1-Class-128-part1893

MATRICES         67
Previously quantities (in standard units) produced by factory A  were
Revised quantities produced by factory A are as given below:
Boys Girls
2 80 2 60
1
2 2 75 2 65
3 2 90 2 85
×
×
×
×
×
×
This can be represented in the matrix form as 
160
120
150
130
180
170
. We observe that
the new matrix is obtained by multiplying each element of the previous matrix by 2.
In general, we may define multiplication of a matrix by a scalar as follows: if
A = [a
ij
]
m × n
is a matrix and k is a scalar, then kA is another matrix which is obtained
by multiplying each element of A by the scalar k.
In other words, kA = k[a
ij
]
m × n
= [k(a
ij
)]
× n
, that is, (ij)
th
element of kA is ka
ij
for all possible values of i and j.
For example, if
A =
3
1 1.5
5 7
3
2
0
5
, then
3A =
3
1 1.5
9
3 4.5
3
5 7
3
3 5 21
9
2
0 5
6
0 15
⎤ ⎡
⎥ ⎢
− =
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Negative of a matrix The negative of a matrix is denoted by –A. We define
–A = (–1) A.
© NCERT
not to be republished
Extract text from pdf to word - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
export highlighted text from pdf; extract highlighted text from pdf
Extract text from pdf to word - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
.net extract text from pdf; copy and paste text from pdf to word
68
MATHEMATICS
For example, let
A =
3 1
x
, then – A is given by
– A = (– 1)
3 1
3
1
A ( 1)
5
5
x
x
⎤ ⎡
= −
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Difference of matrices  If A = [a
ij
], B = [b
ij
] are two matrices of the same order,
say m × n, then difference A – B is defined as a matrix D = [d
ij
], where d
ij
a
ij
– b
ij
,
for all value of and j. In other words, D = A – B = A + (–1) B, that is sum of the matrix
A and the matrix – B.
Example 7 If 
1 2 3
3 1 3
A
and B
2 3 1
1 0 2
=
=
, then find 2A – B.
Solution We have
2A – B =
1 2 3
3
1 3
2
2 3 1
1 0 2
=
2 4 6
3 1
3
4 6 2
1 0
2
⎤ ⎡
+
⎥ ⎢
⎦ ⎣
=
2 3 4 1 6 3
1 5 3
4 1 6 0 2 2
5 6 0
+
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
+
+
⎦ ⎣
3.4.3  Properties of matrix addition
The addition of matrices satisfy the following properties:
(i) Commutative Law  If A = [a
ij
], B = [b
ij
] are matrices of the same order, say
m × n, then A + B = B + A.
Now
A + B = [a
ij
] + [b
ij
] = [a
ij
b
ij
]
=[b
ij
a
ij
] (addition of numbers is commutative)
=([b
ij
] + [a
ij
]) = B + A
(ii) Associative Law  For any three matrices A = [a
ij
], B = [b
ij
], C = [c
ij
] of the
same order, say m × n, (A + B) + C = A + (B + C).
Now
(A + B) + C = ([a
ij
] + [b
ij
]) + [c
ij
]
=[a
ij
b
ij
] + [c
ij
] = [(a
ij
b
ij
) + c
ij
]
=[a
ij
+ (b
ij
c
ij
)]
(Why?)
=[a
ij
] + [(b
ij
c
ij
)] = [a
ij
] + ([b
ij
] + [c
ij
]) = A + (B + C)
© NCERT
not to be republished
VB.NET Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in
PDF in C#, C# convert PDF to HTML, C# convert PDF to Word, C# extract text from PDF, C# convert PDF to Jpeg, C# compress PDF, C# print PDF, C# merge PDF files
extract formatted text from pdf; get text from pdf c#
VB.NET PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in vb.
VB.NET Tutorial for How to Convert PDF to Word (.docx) Document in VB.NET. using RasterEdge.XDoc.PDF; Convert PDF to Word Document in VB.NET Demo Code.
extract text from pdf file using java; copy pdf text to word document
MATRICES         69
(iii) Existence of additive identity Let A  = [a
ij
] be an m  × n  matrix  and
O be an m × n zero matrix, then A + O = O
+ A = A. In other words, O is the
additive identity for matrix addition.
(iv) The existence of additive inverse Let A = [a
ij
]
m × n
be any matrix, then we
have another matrix as – A = [– a
ij
]
m × n
such that A + (– A) = (– A) + A= O. So
– A is the additive inverse of A or negative of A.
3.4.4  Properties of scalar multiplication of a matrix
If A = [a
ij
] and B = [b
ij
] be two matrices of the same order, say m × n, and k and l are
scalars, then
(i) k(A +B) = k A + kB, (ii) (k + l)A = A + A
(ii) k (A + B) = ([a
ij
] + [b
ij
])
[a
ij
b
ij
] = [(a
ij
b
ij
)] = [(k a
ij
) + (k b
ij
)]
= [k a
ij
] + [k b
ij
] = [a
ij
] + [b
ij
] = kA + kB
(iii) (+ l) A = (k + l) [a
ij
]
= [(k + l) a
ij
] + [k a
ij
] + [l a
ij
] = [a
ij
] + [a
ij
] = k A + A
Example 8 If 
8 0
2
2
A
4 2 and B
4 2
3 6
5 1
=
=
, then find the matrix X, such that
2A + 3X = 5B.
Solution We have 2A + 3X = 5B
or
2A + 3X – 2A = 5B – 2A
or
2A – 2A + 3X = 5B – 2A
(Matrix addition is commutative)
or
O + 3X = 5B – 2A
(– 2A is the additive inverse of 2A)
or
3X = 5B – 2A
(O is the additive identity)
or
X = 
1
3
(5B – 2A)
or
2
2
8 0
1
X
5 4 2
2 4 2
3
5 1
3 6
=
10
10
16 0
1
20 10
8
4
3
25 5
6
12
⎤ ⎡
⎥ ⎢
+ −
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
© NCERT
not to be republished
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
Image: Extract Image from PDF. |. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Extract PDF Image. How to C#: Extract Image from PDF Document.
extract pdf text to excel; a pdf text extractor
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
Image: Extract Image from PDF. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Extract PDF Image. VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET.
export text from pdf to excel; copy pdf text to word with formatting
70
MATHEMATICS
10 16 10 0
1
20 8 10 4
3
25 6 5 12
− +
+
− −
6 10
1
12 14
3
31 7
10
2
3
14
4
3
31
7
3
3
Example 9 Find  X and Y, if 
5 2
X Y
0 9
+ =
and 
3 6
X Y
0
1
− =
.
Solution We have
(
) (
)
5 2
3 6
X Y
X Y
0 9
0
1
⎤ ⎡
+
+
=
+
⎥ ⎢
⎦ ⎣
.
or
(X + X) + (Y – Y) =
8 8
0 8
8 8
2X
0 8
=
or
X =
8 8
4 4
1
0 8
0 4
2
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Also
(X + Y) – (X – Y) =
5 2
3
6
0 9
0
1
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣
or
(X – X) + (Y + Y) =
5 3 2 6
0
9 1
+
2
4
2Y
0 10
=
or
Y =
2
4
1
2
1
0 10
0
5
2
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Example 10 Find the values of x and y from the following equation:
5
3
4
2
7
3
1
2
x
y
⎤ ⎡
+
⎥ ⎢
⎦ ⎣
7
6
15 14
Solution We have
5
3
4
2
7
3
1 2
x
y
⎤ ⎡
+
⎥ ⎢
⎦ ⎣
7
6
15 14
2
10
3
4
7
6
14 2
6
1
2
15 14
x
y
⎤ ⎡
⎤ ⎡
+
=
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎦ ⎣
© NCERT
not to be republished
C# Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in C#.
A convenient C#.NET control able to turn all Word text and image content into high quality PDF without losing formatting. Convert
cut text from pdf document; get text from pdf online
C# PDF Convert to Word SDK: Convert PDF to Word library in C#.net
key. Quick to remove watermark and save PDF text, image, table, hyperlink and bookmark to Word without losing format. Powerful components
extract pdf text to word; how to copy and paste pdf text
MATRICES         71
or
2
3
10 4
14 1 2
6 2
x
y
+
+
− +
=
7
6
15 14
2
3
6
7
6
15
2
4
15 14
x
y
+
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
or
2x + 3 = 7
and
2y – 4 = 14
(Why?)
or
2x = 7 – 3
and
2y = 18
or
x
4
2
and
y
18
2
i.e.
x= 2
and
y= 9.
Example 11 Two farmers Ramkishan and Gurcharan Singh cultivates only three
varieties of rice namely Basmati, Permal and Naura. The sale (in Rupees) of these
varieties of rice by both the farmers in the month of September and October are given
by the following matrices A and B.
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Able to extract single or multiple pages from adobe The portable document format, known as PDF document, is a they are using different types of word processors
copy and paste text from pdf; extract text from pdf open source
C# PDF insert text Library: insert text into PDF content in C#.net
Text to PDF. C#.NET PDF SDK - Insert Text to PDF Document in C#.NET. Providing C# Demo Code for Adding and Inserting Text to PDF File Page with .NET PDF Library.
copy text from pdf online; extract text from pdf image
72
MATHEMATICS
(ii) Change in sales from September to October is given by
MATRICES         73
Again, the above information can be represented as follows:
Requirements
Prices per piece (in Rupees) Money needed (in Rupees)
2 5
8 10
4
40
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4 2 40 5
208
8 4 10 4 0
432
× +
×
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
× +
×
⎦ ⎣
Now, the information in both the cases can be combined and expressed in terms of
matrices as follows:
Requirements Prices per piece (in Rupees) Money needed (in Rupees)
2 5
8 10
5
4
50 40
5 2 5 50
4 2 40 5
8 5 10 5 0 8 4 10 4 0
× + ×
× +
×
× + ×
× +
×
260 208
540 432
The above is an example of multiplication of matrices. We observe that, for
multiplication of two matrices A and B, the number of columns in A should be equal to
the number of rows in B. Furthermore for getting the elements of the product matrix,
we take rows of A and columns of B, multiply them element-wise and take the sum.
Formally, we define multiplication of matrices as follows:
The product of two matrices A and B is defined if the number of columns of A is
equal to the number of rows of B. Let A = [a
ij
] be an m × n matrix and B = [b
jk
] be an
n × p matrix. Then the product of the matrices A and B is the matrix C of order m × p.
To get the (ik)
th
element c
ik
of the matrix C, we take the i
th
row of A and k
th
column
of B, multiply them elementwise and take the sum of all these products. In other words,
if A = [a
ij
]
m ×  n
, B = [b
jk
]
n ×  p
, then the i
th
row of A is [a
i1
a
i2
... a
in
] and the k
th
column of
B is 
1
2
.
.
.
k
k
nk
b
b
b
, then c
ik
 a
i1 
b
1
a
i
b
2
a
i
b
3
+ ... + a
in 
b
nk 
1
n
ij jk
j
a b
=
.
The matrix C = [c
ik
]
m ×  p
is the product of A and B.
For example, if 
1
1 2
C
0
3 4
=
and 
2 7
1
D
1
5 4
= −
, then the product CD is defined
© NCERT
not to be republished
74
MATHEMATICS
and is given by 
2
7
1
1 2
CD
1
1
0 3 4
5
4
=
− ⎥
. This is a 2 × 2  matrix in which each
entry is the sum of the products across some row of C with the corresponding entries
down some column of D. These four computations are
Thus 
13
2
CD
17
13
=
Example 12 Find AB, if 
6 9
2 6 0
A
and B
2 3
7 9 8
=
=
.
Solution The matrix A has 2 columns which is equal to the number of rows of B.
Hence AB is defined. Now
6(2) 9(7) 6(6) 9(9) 6(0) 9(8)
AB
2(2) 3(7) 2(6) 3(9) 2(0) 3(8)
+
+
+
=
+
+
+
=
12 63 36 81 0 72
4 21 12 27 0 24
+
+
+
+
+
+
75 117 72
25 39 24
© NCERT
not to be republished
MATRICES         75
Remark  If AB is defined, then BA need not be defined. In the above example, AB is
defined but BA is not defined because B has 3 column while A has only 2 (and not 3)
rows. If A, B are, respectively m × nk × l matrices, then both AB and BA are defined
if and only if n = k and l = m. In particular, if both A and B are square matrices of the
same order, then both AB and BA are defined.
Non-commutativity of multiplication of matrices
Now, we shall see by an example that even if AB and BA are both defined, it is not
necessary that AB = BA.
Example 13 If 
2 3
1
2 3
A
and B
4 5
4 2 5
2 1
=
=
, then find AB, BA. Show that
AB 
BA.
Solution Since A is a 2 × 3 matrix and B is 3 × 2 matrix. Hence AB and BA are both
defined and are matrices of order 2 × 2 and 3 × 3, respectively. Note that
2 3
1 2 3
AB
4 5
4 2 5
2 1
=
=  
2 8 6
3 10 3
0
4
8 8 10
12 10 5
10
3
− +
+
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
− + +
− +
+
⎦ ⎣
and
2 3
2 12
4 6
6 15
1 2 3
BA
4 5
4 20
8 10 12 25
4 2 5
2 1
2 4
4 2
6 5
− +
+
=
=
− +
+
− +
+
10
2 21
16
2 37
2
2 11
= −
Clearly AB 
BA
In the above example both AB and BA are of different order and so AB 
BA. But
one may think that perhaps AB and BA could be the same if they were of the same
order. But it is not so, here we give an example to show that even if AB and BA are of
same order they may not be same.
Example 14 If 
1
0
A
0
1
=
and 
0 1
B
1 0
=
, then 
0 1
AB
1 0
=
.
and
0
1
BA
1
0
=
. Clearly AB 
BA.
Thus matrix multiplication is not commutative.
© NCERT
not to be republished
76
MATHEMATICS
$
Note  This does not mean that AB 
BA for every pair of matrices A, B for
which AB and BA, are defined. For instance,
If  
1 0
3 0
A
, B
0 2
0 4
=
=
, then AB = BA = 
3 0
0 8
Observe that multiplication of diagonal matrices of same order will be commutative.
Zero matrix as the product of two non zero matrices
We know that, for real numbers ab if ab = 0, then either a = 0 or b = 0. This need
not be true for matrices, we will observe this through an example.
Example 15 Find AB, if 
0
1
A
0
2
=
and 
3 5
B
0 0
=
.
Solution We have 
0
1 3 5
0 0
AB
0
2 0 0
0 0
⎤⎡
⎤ ⎡
=
=
⎥⎢
⎥ ⎢
⎦⎣
⎦ ⎣
.
Thus, if the product of two matrices is a zero matrix, it is not necessary that one of
the matrices is a zero matrix.
3.4.6  Properties of multiplication of matrices
The multiplication of matrices possesses the following properties, which we state without
proof.
1. The associative law For any three matrices A, B and C. We have
(AB) C = A (BC), whenever both sides of the equality are defined.
2. The distributive law For three matrices A, B and C.
(i) A (B+C) = AB + AC
(ii) (A+B) C = AC + BC, whenever both sides of equality are defined.
3. The existence of multiplicative identity For every square matrix A, there
exist an identity matrix of same order such that IA = AI = A.
Now, we shall verify these properties by examples.
Example  16 If 
1 1
1
1 3
1 2 3
4
A
2 0
3 , B
0 2 and C
2 0
2 1
3
1
2
1 4
=
=
=
 find
A(BC), (AB)C and show that (AB)C = A(BC).
© NCERT
not to be republished
Documents you may be interested
Documents you may be interested