how to display pdf file in asp net using c# : .Net extract text from pdf SDK application service wpf windows web page dnn Mathematics-Part1-Class-129-part1894

MATRICES         77
Solution We have 
1 1
1
1 3
1 0 1 3 2 4
2 1
AB
2 0
3
0 2
2 0 3 6 0 12
1 18
3
1
2
1 4
3 0 2 9 2 8
1 15
+ +
+ −
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
=
=
+ −
+ +
= −
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
+ −
− +
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
(AB) (C)
2 2
4 0
6 2
8 1
2 1
1 2 3
4
1 18
1 36
2 0
3 36
4 18
2 0 2
1
1 15
1 30
2 0
3 30
4 15
+
+
− +
=−
= − +
− +
− −
+
+
+
− +
=
4
4
4
7
35
2
39 22
31
2
27 11
Now
BC =
1 6
2 0
3 6 4 3
1 3
1 2 3 4
0 2
0 4
0 0
0 4 0 2
2 0 2 1
14
1 8
2 0
3 8 4 4
+
+
− − +
=
+
+
+
− +
+
− +
− −
+
=
7 2
3
1
4 0
4
2
7 2
11 8
Therefore
A(BC) =
7 2
3
1
1 1
1
2 0
3
4 0
4
2
3 1
2
7 2
11 8
⎦ ⎣
=
7 4 7 2 0 2
3 4 11
1 2 8
14 0 21 4 0 6
6 0 33
2 0 24
21 4 14 6 0 4
9 4 22
3 2 16
+ −
+ +
− − +
− + −
+ +
+ −
− + −
− + +
− +
+ −
− + −
− − +
=
4
4
4
7
35
2
39 22
31
2
27 11
. Clearly, (AB) C = A  (BC)
© NCERT
not to be republished
.Net extract text from pdf - extract text content from PDF file in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File
extract text from pdf to word; erase text from pdf
.Net extract text from pdf - VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application
copy pdf text to word; find and replace text in pdf
78
MATHEMATICS
Example 17 If 
0 6 7
0 1 1
2
A
6 0 8 , B
1 0 2 , C
2
7
8 0
1 2 0
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= −
=
=−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Calculate AC, BC and (A + B)C. Also, verify that (A + B)C = AC + BC
Solution Now, 
0
7
8
A+B
5
0 10
8
6 0
= −
So
(A + B) C =
0
7
8
2
0 14 24
10
5
0 10
2
10 0 30
20
8
6
0
3
16 12 0
28
+
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=−
+ +
=
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
+
+
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
Further
AC =
0
6 7
2
0 12 21
9
6 0 8
2
12 0 24
12
7
8 0
3
14 16 0
30
+
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=− + +
=
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
+
+
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
and
BC =
0 1 1
2
0 2 3
1
1 0 2
2
2 0 6
8
1 2 0
3
2 4 0
2
− +
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
=
+ +
=
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
− +
⎦ ⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
So
AC + BC =
9
1
10
12
8
20
30
2
28
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
+
=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Clearly,
(A + B) C = AC + BC
Example 18 If 
1
2 3
A
3 2 1
4 2 1
=
, then show that A
3
– 23A – 40 I = O
Solution We have 
2
1 2 3 1 2 3
19 4
8
A
A.A
3 2 1 3 2 1
1
12 8
4 2 1 4 2 1
14 6 15
⎤⎡
⎤ ⎡
⎥⎢
⎥ ⎢
=
=
=
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎦⎣
⎦ ⎣
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Extract PDF Image. VB.NET PDF - Extract Image from PDF Document in VB.NET. VB.NET: Extract All Images from PDF Document.
copy and paste text from pdf to excel; copy and paste pdf text
VB.NET PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in vb.
VB.NET: Extract PDF Pages and Save into a New PDF File. You VB.NET: Extract PDF Pages and Overwrite the Original PDF File. Instead
copy text from locked pdf; get text from pdf image
MATRICES         79
So
A
3
= A A
2
1 2 3 19 4
8
63 46 69
3 2 1 1
12 8
69
6 23
4 2 1 14 6 15
92 46 63
⎤⎡
⎤ ⎡
⎥⎢
⎥ ⎢
=
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎦⎣
⎦ ⎣
Now
A
3
– 23A – 40I = 
63 46 69
1
2 3
1 0 0
69
6 23 – 23 3
2 1 – 40 0 1 0
92 46 63
4
2 1
0 0 1
=
63 46 69
23
46
69
40
0
0
69
6 23
69 46
23
0
40
0
92 46 63
92
46
23
0
0
40
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
+ −
+
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎦ ⎣
=
63 23 40 46 46 0
69 69 0
69 69 0
6 46 40 23 23 0
92 92 0
46 46 0 63 23 40
+
+
+
− +
+
+
+
=
0 0 0
0 0 0
O
0 0 0
=
Example 19 In a legislative assembly election, a political group hired a public relations
firm to promote its candidate in three ways: telephone, house calls, and letters. The
cost per contact (in paise) is given in matrix A as
A = 
40
Telephone
100
Housecall
50
Letter
Cost per contact
The number of contacts of each type made in two cities X and Y is given by
Telephone Housecall Letter
1000
500
5000
X
B
Y
3000
1000 10,000
=
. Find the total amount spent by the group in the two
cities X and Y.
© NCERT
not to be republished
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
Page, a Region on a Page, and PDF Document. C#.NET extract image from multiple page adobe PDF file library for Visual Studio .NET.
extract text from pdf using c#; delete text from pdf preview
VB.NET PDF Form Data Read library: extract form data from PDF in
PDF software, it should have functions for processing text, image as field data from PDF and how to extract and get field data from PDF in VB.NET project.
cut text pdf; copying text from pdf to excel
80
MATHEMATICS
Solution We have
BA =
40,000 50,000 250,000
X
Y
120,000 +100,000 +500,000
+
+
=
340,000
X
Y
720,000
So the total amount spent by the group in the two cities is 340,000 paise and
720,000 paise, i.e., Rs 3400 and Rs 7200, respectively.
EXERCISE 3.2
1. Let 
2 4
1 3
2 5
A
,B
,C
3 2
2 5
3 4
=
=
=
Find each of the following:
(i) A + B
(ii) A – B
(iii) 3A – C
(iv) AB
(v) BA
2. Compute the following:
(i)
a b
a b
b a
b a
⎤ ⎡
+
⎥ ⎢
⎦ ⎣
(ii)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
b
c
ab
bc
ac
ab
a
c
a
b
+
+
+
+
+
(iii)
1 4
6
12 7 6
8 5 16
8 0 5
2 8
5
3 2 4
⎤ ⎡
⎥ ⎢
+
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
(iv)
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sin
sin
cos
sin
cos
cos
sin
x
x
x
x
x
x
x
x
⎤ ⎡
+
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
3. Compute the indicated products.
(i)
a b a
b
b a b
a
⎤⎡
⎥⎢
⎦⎣
(ii)
1
2
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
[2   3   4]
(iii)
1 2
1 2 3
2 3
2 3 1
⎤⎡
⎥⎢
⎦⎣
(iv)
2 3 4
1 3 5
3 4 5
0 2 4
4 5 6
3 0 5
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
(v)
2 1
1 0 1
3 2
1 2 1
11
(vi)
2
3
3 1 3
1
0
1 0 2
3
1
© NCERT
not to be republished
C# PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in C#.net
C#.NET PDF SDK - Convert PDF to Text in C#.NET. Integrate following RasterEdge C#.NET text to PDF converter SDK dlls into your C#.NET project assemblies;
copying text from pdf into word; find and replace text in pdf file
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
Able to extract PDF pages and save changes to original PDF file in C#.NET. C#.NET Sample Code: Extract PDF Pages and Save into a New PDF File in C#.NET.
extract text from pdf with formatting; extract text from pdf online
MATRICES         81
4. If 
1
2
3
3 1 2
4 1 2
A
5
0
2 , B
4 2 5 and C
0 3 2
1
1
1
2 0 3
1
2 3
=
=
=
 then  compute
(A+B) and (B – C). Also, verify that A + (B – C) = (A + B) – C.
5. If 
2
5
2 3
1
1
3
3
5 5
1 2 4
1 2 4
A
and B
3 3 3
5 5 5
7
2
7 6 2
2
3
3
5 5 5
=
=
, then compute 3A – 5B.
6. Simplify 
cos
sin
sin
cos
cos
+sin
sin
cos
cos
sin
θ
θ
θ −
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
7. Find X and Y, if
(i)
7 0
3 0
X+ Y
and X – Y
2 5
0 3
=
=
(ii)
2 3
2
2
2X + 3Y
and 3X 2Y
4 0
1
5
=
+
=
8. Find X, if Y = 
3 2
1 4
and 2X + Y = 
1 0
3 2
9. Find x and y, if 
1 3
0
5 6
2
0
1 2
1 8
y
x
⎤ ⎡
⎤ ⎡
+
=
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
⎦ ⎣
10. Solve the equation for xyz and t, if 
1
1
3 5
2
3
3
0
2
4 6
x z
y t
+
=
11. If 
2
1
10
3
1
5
x
y
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
, find the values of x and y.
12. Given 
6
4
3
1 2
3
x y
y
x
x y
z w
w
z w
+
⎤ ⎡
⎤ ⎡
=
+
⎥ ⎢
⎥ ⎢
+
⎦ ⎣
⎦ ⎣
, find the values of xyz and w.
© NCERT
not to be republished
VB.NET PDF Convert to Text SDK: Convert PDF to txt files in vb.net
Using this VB.NET PDF text conversion API, users will be able to convert a PDF file or a certain page to text and easily save it as new txt file.
copy text pdf; extract all text from pdf
C# PDF Text Search Library: search text inside PDF file in C#.net
C#.NET PDF DLLs for Finding Text in PDF Document. Add necessary references: C#.NET PDF Demo Code: Search Text From PDF File in C#.NET.
cut and paste text from pdf document; acrobat remove text from pdf
82
MATHEMATICS
13. If 
cos
sin
0
F( )
sin
cos
0
0
0
1
x
x
x
x
x
=
, show that F(x) F(y) = F(x + y).
14. Show that
(i)
5
1 2 1
2 1 5
1
6
7 3 4
3 4 6
7
⎤⎡
⎤ ⎡
⎤⎡
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎦⎣
⎦ ⎣
⎦⎣
(ii)
1 2 3
1
1 0
1 1 0 1 2 3
0 1 0
0
1 1
0 1 1 0 1 0
1 1 0
2
3 4
2 3 4 1 1 0
⎤⎡
⎤ ⎡
⎤⎡
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥ ⎢
⎥⎢
⎦⎣
⎦ ⎣
⎦⎣
15. Find A
2
– 5A + 6I, if 
2 0 1
A
2 1 3
1 1 0
=
16. If 
1 0 2
A
0 2 1
2 0 3
=
, prove that A
3
– 6A
2
+ 7A + 2I = 0
17. If 
3
2
1 0
A
and I=
4
2
0 1
=
, find k so that A
2
kA – 2I
18. If 
0
tan
2
A
tan
0
2
α
=
α
and I is the identity matrix of order 2, show that
I + A = (I – A) 
cos
sin
sin
cos
α −
α
α
α
19. A trust fund has Rs 30,000 that must be invested in two different types of bonds.
The first bond pays 5% interest per year, and the second bond pays 7% interest
per year. Using matrix multiplication, determine how to divide Rs 30,000 among
the two types of bonds. If the trust fund must obtain an annual total interest of:
(a) Rs 1800
(b) Rs 2000
© NCERT
not to be republished
MATRICES         83
20. The bookshop of a particular school has 10 dozen chemistry books, 8 dozen
physics books, 10 dozen economics books. Their selling prices are Rs 80, Rs 60
and Rs 40 each respectively. Find the total amount the bookshop will receive
from selling all the books using matrix algebra.
Assume X, Y, Z, W and P are matrices of order 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 and p × k,
respectively. Choose the correct answer in Exercises 21 and 22.
21. The restriction on nk and p so that PY + WY will be defined are:
(A) k = 3, p = n
(B) k is arbitrary, p = 2
(C) p is arbitrary, k = 3
(D) k = 2, p = 3
22. If n = p, then the order of the matrix 7X – 5Z is:
(A) p × 2
(B) 2 × n
(C) n × 3
(D) p × n
3.5.  Transpose of a Matrix
In this section, we shall learn about transpose of a matrix and special types of matrices
such as symmetric and skew symmetric matrices.
Definition 3  If A = [a
ij
] be an m × n matrix, then the matrix obtained by interchanging
the rows and columns of A is called the transpose of A. Transpose of the matrix A is
denoted by A
or (A
T
). In other words, if A = [a
ij
]
m × n
, then A
= [a
ji
]
n × m
. For example,
if 
2 3
3 2
3
5
3
3 0
A
3 1
, then A
1
5 1
0
1
5
5
×
×
=
′=
3.5.1  Properties of transpose of the matrices
We now state the following properties of transpose of matrices without proof. These
may be verified by taking suitable examples.
For any matrices A and B of suitable orders, we have
(i) (A
)
= A,
(ii) (kA)
kA
(where k is any constant)
(iii) (A + B)
= A
+ B
(iv) (A B)
= B
A
Example 20 If 
2
1 2
3
3 2
A
and B
1
2 4
4 2
0
=
=
, verify that
(i) (A
)
= A,
(ii) (A + B)
= A
+ B
,
(iii) (kB)
kB
, where k is any constant.
© NCERT
not to be republished
84
MATHEMATICS
Solution
(i) We have
A =
( )
3
4
3
3 2
3
3 2
A
3 2
A
A
4 2
0
4 2
0
2 0
=
=
=
Thus
(A
)
= A
(ii) We have
A = 
3
3 2
,
4 2
0
B =
2
1 2
5
3 1 4
A B
1
2 4
5
4
4
+ =
Therefore
(A + B)
′ 
=
5
5
3 1 4
4
4
Now
A
′ 
=
3
4
2 1
3 2 , B
1 2 ,
2 0
2 4
=−
So
A
+ B
=
5
5
3 1 4
4
4
Thus
(A + B)
= A
+ B
(iii) We have
kB = k
2
1 2
2
2
1
2 4
2
4
k
k
k
k
k
k
⎤ ⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Then
(kB)
=
2
2 1
2
1 2
B
2 4
2 4
k k
k k
k
k
k k
= −
=
Thus
(kB)
=kB
© NCERT
not to be republished
MATRICES         85
Example 21 If 
[
]
2
A
4 , B
1 3
6
5
⎡ ⎤
⎢ ⎥
=
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
, verify that (AB)
= B
A
.
Solution We have
A =
[
]
2
4 ,B
1 3
6
5
⎡ ⎤
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
then
AB =
[
]
2
4 1 3
6
5
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
6
12
4 12
24
5 15
30
Now
A
= [–2 4 5] , 
1
B
3
6
⎡ ⎤
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
B
A
=
[
]
1
2
4
5
3
2 4 5
6 12
15
(AB)
6
12
24
30
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= −
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Clearly
(AB)
= B
A
3.6  Symmetric and Skew Symmetric Matrices
Definition 4 A square matrix A = [a
ij
]
is said to be symmetric if A
= A, that is,
[a
ij
] = [a
ji
] for all possible values of i and j.
For example 
3
2
3
A
2
1.5 1
3
1
1
=
is a symmetric matrix as A
= A
Definition 5 A square matrix A = [a
ij
]
is said to be skew symmetric matrix if
A
= – A, that is a
ji
= – a
ij
for all possible values of  and j. Now, if we put i = j, we
have a
ii
= – a
ii
. Therefore 2a
ii
= 0 or a
ii
= 0 for all i’s.
This means that all the diagonal elements of a skew symmetric matrix are zero.
© NCERT
not to be republished
86
MATHEMATICS
For example, the matrix 
0
B
0
0
e
f
e
g
f
g
= −
is a skew symmetric matrix as B
= –B
Now, we are going to prove some results of symmetric and skew-symmetric
matrices.
Theorem 1 For any square matrix A with real number entries, A + A
is a symmetric
matrix and A – A
is a skew symmetric matrix.
Proof Let B = A + A
, then
B
= (A + A
)
= A
+ (A
)
′ 
(as (A + B)
= A
+ B
)
= A
+ A
(as (A
)
= A)
= A + A
′ 
(as A + B = B + A)
= B
Therefore
B = A + A
is a symmetric matrix
Now let
C = A – A
C
= (A – A
)
= A
– (A
)
(Why?)
= A
– A    (Why?)
= – (A – A
) = – C
Therefore
C = A – A
is a skew symmetric matrix.
Theorem 2 Any square matrix can be expressed as the sum of a symmetric and a
skew symmetric matrix.
Proof Let A be a square matrix, then we can write
1
1
A
(A A )
(A A )
2
2
=
+
+
From the Theorem 1, we know that (A + A
) is a symmetric matrix and (A – A
) is
a skew symmetric matrix. Since for any matrix A, (kA)
kA
, it follows that 
1
(A A )
2
+ ′
is symmetric matrix and 
1
(A A )
2
is skew symmetric matrix. Thus, any square
matrix can be expressed as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix.
© NCERT
not to be republished
Documents you may be interested
Documents you may be interested