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1
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The Electric Field
Concepts and Principles
Electric Charge, Electric Field and a Goofy Analogy
We all know that electrons and protons have electric charge. But what is electric charge and
what does it mean for a particle, like a neutron, to not have electric charge
1
? On one level, the
answer is that electric charge is the ability to create and interact with an electric field. Of
course, this begs the question, what is an electric field? To try to answer this question, let’s
look at mass and the gravitational field.
In Newton’s theory of gravitation, every object that has mass creates a gravitational field. The
object with mass is termed the source of the gravitational field. The source’s gravitational
field, which fills all of space, encodes information as to the location and mass of the source
into space itself. It’s almost as if an infinite number of little business cards have been printed
and distributed throughout space with detailed information concerning the source’s
characteristics. The gravitational field can be thought of as a huge number of business cards
embedded into the fabric of space. (No, I am not joking, it looks like this.)
1 kg source
over there
1 kg source
up there
1 kg source
down there
1 kg source
right here
1 kg source way
over there
1
Actually, neutrons are constructed from smaller particles called quarks that do have electric charge.
Neutrons are neutral because the sum of the quark charges inside of them is zero. The distinction
between an object having a net charge of zero and an object having no charge whatsoever is important
when considering polarization.
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2
Typically when we draw the gravitational field we translate the message on the business cards
into a mathematically equivalent message. Here’s a picture of the gravitational field near the
surface of the earth.
9.8 N/kg
9.8 N/kg
9.8 N/kg
9.8 N/kg
9.8 N/kg
9.8 N/kg
9.8 N/kg
9.8 N/kg
9.8 N/kg
The relationship that allows you to “translate the business cards” is Newton’s expression for
the gravitational field surrounding a mass,
r
r
Gm
g
ˆ
2

where
G is the gravitational constant, equal to 6.67 x 10
-11
N m
2
/kg
2
m is the source mass, the mass that creates the gravitational field.
r is the distance between the source mass and the location of the business card.
r
ˆ
is the unit vector that points from  the source mass to the business card. Notice that
the direction of the gravitational field, g, is opposite to this direction.
Every mass in the universe has a gravitational field described by this formula surrounding it.
other mass. This transfer of information from one mass to another is the gravitational force
that attracts masses together. (Once one mass reads another masses’ business card, the first
mass feels a strange urge to go visit the second mass. The more enticing the business card (the
larger the value of g) the stronger the urge.)
Let’s drop the business card analogy and return to electric charges and electric fields.
Basically, every object that has electric charge surrounds itself with an electric field given by
a formula incredibly similar to the one for the gravitational field. How incredibly similar?
Below is the formula for the electric field at a particular point in space, from a single source
charge:
r
r
kq
E
ˆ
2
where
k is the electrostatic constant, equal to 9.00 x 10
9
N m
2
/C
2
q is the source charge, the electric charge that creates the electric field. Its value can
be positive or negative, and is measured in coulombs (C).
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3
r is the distance between the source charge and the point of interest.
rˆ
ˆ
is the unit vector that points from  the source charge to the point of interest
Every charged object is surrounded by a field given by this relationship. Every other charged
object in the universe can “read” this field and will respond to its information by feeling an
electric force. Objects without electric charge neither create nor interact with electric fields
In this chapter you’ll learn how to calculate the electric field produced by charged objects. In
the next chapter, you’ll learn how the electric field can be “sensed” by other electric charges
resulting in the electric force.
Charge and Charge Density
Macroscopic objects are normally neutral (or very close to neutral) because they contain equal
numbers of protons and electrons. All charged objects are charged because of either an excess
or lack of electrons. (It’s much easier to add or remove electrons from an object than trying to
add or remove the protons tightly bound inside the nuclei of its atoms.) Thus, the electric
charge of any object is always an integer multiple of the electric charge on an electron.
Because of its fundamental importance, the magnitude of the charge on an electron is termed
the elementary charge and denoted by the symbol e. In a purely logical world, the charge on
any object would be reported as a multiple of e. However, since the charge on a macroscopic
system can be many multiples of e, a more user-friendly unit, the coulomb (C), is typically
used to quantify electric charge. In this system,
C
x
e
19
1.6 10
Thus, you can consider the charge on an electron as an incredibly small fraction of a coulomb,
or a coulomb of charge as an incredibly large number of electrons.
In many applications, in addition to knowing the total charge on an object you will need to
know how the charge is distributed. The distribution of charge on an object can be defined in
several different ways. For objects such as wires or other thin cylinders, a linear charge
density
, will often be defined. This is the amount of charge per unit length of the object. If
the charge is uniformly distributed, this is simply
L
Q
where Q is the total charge on the object
2
and L its total length. However, if the charge
density varies over the length of the object, its value at any point must be defined as the ratio
of the charge on a differential element at that location to the length of the element:
dL
dq
2
I will always use uppercase Q to designate the total charge distributed on a macroscopic object and
lowercase q to designate either an unknown charge or the charge on a point particle.
How to C#: Basic SDK Concept of XDoc.PDF for .NET
XDoc.PDF for .NET allows C# developers to edit hyperlink of PDF document, including editing PDF url links and quick navigation link in bookmark/outline.
VB.NET PDF: Basic SDK Concept of XDoc.PDF
XDoc.PDF for .NET allows VB.NET developers to edit hyperlink of PDF document, including editing PDF url links and quick navigation link in bookmark/outline.
4
For objects such as flat plates or the surfaces of cylinders and spheres, a surface charge
density
, can be defined. This is the amount of charge per unit area of the object. If the
charge is uniformly distributed, this is
Area
a
Q
or if the charge density varies over the surface:
dA
dq
Lastly, for objects that have charge distributed throughout their volume, a volume charge
density
, can be defined. This is the amount of charge per unit volume of the object. If the
charge is uniformly distributed, this is
V
Q
or if the charge density varies inside the object:
dV
dq
To add to the confusion, you must realize that the same object can be described as having two
different charge densities. For example, consider a plastic rod with charge distributed
throughout its volume. Obviously, the charge per unit volume,
, can be defined for this
object. However, you can also define the object as having a linear charge density,
, reporting
the amount of charge present per meter of length. These two parameters will have different
values but refer to exactly the same object.
C# Raster - Raster Conversion & Rendering in C#.NET
VB.NET Word: How to Process MS Word in VB.NET Library in .NET
Besides, here is the quick link for how to process Word document within We are dedicated to provide powerful & profession imaging controls, PDF document, image
5
Perfect Conductors and Perfect Insulators
Determining how electric charges in real materials respond to electric fields is incredibly
important but also incredibly complicated. In light of this, we will initially restrict ourselves
to two types of hypothetical materials.
In a perfect conductor, electric charges are free to move without any resistance to their
motion. Metals provide a reasonable approximation to perfect conductors, although, of course,
in a real metal a small amount of resistance to motion is present. When I refer to a material as
a metal, we will approximate the metal as a perfect conductor.
In a perfect insulator electric charges cannot move, regardless of the amount of force applied
to them. Many materials act as insulators, but all real materials experience electrical
breakdown if the forces acting on charges become so great that the charges begin to move.
When I refer to an insulating material, like plastic, for example, we will approximate the
material as a perfect insulator.
Since electric fields create forces on electric charges, there cannot be static electric fields
present inside perfect conductors. If a field was present inside a perfect conductor, the charges
inside the conductor would feel an electric force and hence move in response to that force.
They would continue to move until they redistributed themselves inside of the conductor in
such a way as to cancel the electric field. The system could not reach equilibrium as long as
an electric field was present. This re-arranging process would typically occur very quickly and
we will always assume our analysis takes place after it is completed.
VB.NET PDF: Create PDF Document Viewer in C#.NET for Document
reading PDF document in ASP.NET web, .NET Windows Forms and mobile developing applications respectively. For more information on them, just click the link and
VB.NET Word: VB Code to Create Word Mobile Viewer with .NET Doc
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6
.
The Electric Field
Analysis Tools
Point Charges
Find the electric field at the indicated point. The
charges are separated by a distance 4a.
+2q
-q
The electric field at this point will be the vector sum of the electric field from the left charge (
L
E
) and the electric field from the right charge (
R
E
).
Let’s examine the left charge first. Since the problem is expressed symbolically, the charge is
simply “2q”, and the distance, r, between the charge and the indicated point of interest should
be expressed in terms of “a”. Since each square in the diagram has width and height a, this
distance can be expressed as:
2
2
2
2
2
10
( )
(3 )
a
r
a
a
r
All that’s left to determine is the unit vector. The unit vector is simply a mathematical
description of how to get from the source charge to the point of interest. In English, to get
from the source charge to the point of interest you should move 3a in the x-direction and a in
the y-direction
3
. This can be written as:
ai aj
r
ˆ
ˆ
3
This is the vector that points from the source charge to the point of interest. However, this is
not a unit vector since its magnitude isn’t 1. (A unit vector should convey a direction in space
without altering the magnitude of the rest of the equation. It can accomplish this only if its
magnitude is equal to 1.)
3
For the sake of consistency, we will use a common coordinate system with the +x-direction pointing to
the right and the +y-direction pointing to the top of the page. For three dimensional systems, the +z-
direction will point directly out of the page. The coordinate axes will be indicated in the vast majority of
diagrams.
7
However, it’s simple to convert a regular vector into a unit vector, just divide the vector by its
10
ˆ ˆ
3
ˆ
10
ˆ ˆ
3
ˆ
10
ˆ ˆ
3
ˆ
(3 )
ˆ
ˆ
3
ˆ
2
2
2
i j
r
a
ai aj
r
a
ai aj
r
a
a
ai aj
r
Putting this all together yields:
2
2
2
2
2
)
ˆ
0.0632
ˆ
(0.190
)
ˆ ˆ
(3
0.063
)
ˆ ˆ
(3
10
10
2
)
10
ˆ ˆ
3
(
10
( 2 )
ˆ
a
kq
j
i
E
i j
a
kq
E
i j
a
kq
E
i j
a
q
k
E
r
r
kq
E
L
L
L
L
L
8
Repeating for the right charge gives:
2
2
3/2 3
2 3/2
2 3/2
2
2
2
2
2
2
)
ˆ
0.354
ˆ
(0.354
)
ˆ ˆ
(
0.354
)
ˆ ˆ
(
2
)
ˆ ˆ
(
(2 )
)
ˆ ˆ
(
)
(
)
( )
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
(
( ) ) ( ( )
( )
ˆ
a
kq
j
i
E
i j
a
kq
E
ai aj
a
kq
E
ai aj
a
kq
E
ai aj
a
a
kq
E
a
a
ai a a j
a
a
k q
E
r
r
kq
E
R
R
R
R
R
R
R
 

 
 
 
Adding these two contributions together yields
Thus, the electric field at the location indicated points to the right and slightly downward.
2
)
ˆ
0.291
ˆ
(0.544
a
kq
j
i
E
9
Continuous Charge Distribution
The plastic rod of length L at right has uniform
charge density
. Find the electric field at all
points on the x-axis to the right of the rod.
Electric charge is discrete, meaning it comes in integer multiples of electron and proton
charge. Therefore, the electric field can always be calculated by summing the electric field
from each of the electrons and protons that make up an object. However, macroscopic objects
contain a lot of electrons and protons, so this summation has many, many terms:
proton
and
electron
every
2
ˆ
r
r
kq
E
As described earlier, we will assume that the charge on macroscopic objects is continuous,
and distributed throughout the object. Mathematically, this means we will replace a
summation over a very large number of discrete charges with an integral over a hypothetically
continuous distribution of charge. This leads to a relationship for the electric field at a
particular point in space, from a continuous distribution of charge, of:
r
r
k dq
E
ˆ
( )
2
where dq is the charge on a infinitesimally small portion of the object, and the integral is over
the entire physical object.
Finding the electric field from a continuous distribution of charge involves several distinct
steps. Until you become very comfortable setting up and evaluating electric field integrals, I
would suggest you systematically walk through these steps.
1.  Carefully identify and label the location of the differential element on a diagram of the situation.
2.  Carefully identify and label the location of the point of interest on a diagram of the situation.
3.  Write an expression for dq, the charge on the differential element.
4.  Write an expression for r, the distance between the differential element and the point of interest.
5.  Write an expression for , the unit vector representing the direction from the element to the point
of interest.
6.  Insert your expressions into the integral for the electric field.
7.  Carefully choose the limits of integration.
8.  Evaluate the integral.
I’ll demonstrate below each of these steps for the scenario under investigation.
r
ˆ