﻿
11
5.   Write an expression for , the unit vector representing the direction from the element to the point of
interest.
The vector going from  the element to the point of interest heads “down” a distance s and then
to the right a distance x. This leads to a unit vector:
2
2
2
2
ˆ ˆ
ˆ
( )
ˆ ˆ
ˆ
s
x
xi sj
r
s
x
xi sj
r
 
6.   Insert your expressions into the integral for the electric field.
)
ˆ ˆ
(
ˆ
( )
2
2
2
2
2
s
x
xi sj
s
x
k ds
E
r
r
k dq
E
7.   Carefully choose the limits of integration.
The limits of integration are determined by the range over which the differential element must be
“moved” to cover the entire object. The location of the element must vary between the bottom of
the rod (-L/2) and the top of the rod (+L/2) in order to include every part of the rod. The two ends
of the rod form the two limits of integration.
/2
/2
2
2
2
2
)
ˆ ˆ
(
L
L
s
x
xi sj
s
x
k ds
E
8.   Evaluate the integral.
/2
/2
/2
/2
2 3/2
2
2 3/2
2
/2
/2
2 3/2
2
/2
/2
2
2
2
2
)
(
ˆ
)
(
ˆ
)
ˆ ˆ
(
)
(
)
ˆ ˆ
(
L
L
L
L
L
L
L
L
s
x
sds
j
s
x
ds
E k k xi
xi sj
s
x
ds
E k
s
x
xi sj
s
x
k ds
E
It’s typically easier to think of a vector integral as two, separate scalar integrals, one “in the x-
direction” and one “in the y-direction”, as above.
rˆ
ˆ
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Help to Insert a Hyperlink to Specified PDF Document Page
12
Examining the x-integral (and using an integral table):
i
L
x x
k L
E
L
x x
L
E k k xi
s
x x
s
E k k xi
s
x
ds
E k k xi
L
L
L
L
ˆ
4
1
( /2)
ˆ
ˆ
)
(
ˆ
2
2
2
2
2
/2
/2
2
2
2
/2
/2
2 3/2
2
I’ll leave it to you to evaluate the y-integral, but you should find that it equals zero. (Without
doing any calculation whatsoever, you should know that the y-component of the electric field
along the x-axis must be zero because of the symmetry of the situation. If it’s not clear why
the y-component of the field must be zero, talk to your instructor!)
Thus, the electric field along the x-axis is given by:
i
L
x x
k L
E
ˆ
4
1
2
2
Does this function make sense? Two ways to check whether this field is reasonable are to
determine how the function behaves for very small and very large values of x.
As x gets very small, you are getting closer and closer to the charged rod. This should lead to
an electric field that grows larger and larger (without bound). Notice that the limit of the
function as x approaches zero does “go to infinity”, so the function does have the proper
behavior for small x.
As x gets very large, you are getting farther and farther to the charged rod. Not only should
the field decrease, but as you get very far from the rod the rod should begin to look like a
point charge. Notice that as x gets large, the term (L
2
/4) becomes negligible compared to x
2
i
x
k L
E
i
x x
k L
E
ˆ
ˆ
2
2
How to C#: Basic SDK Concept of XDoc.PDF for .NET
XDoc.PDF for .NET allows C# developers to edit hyperlink of PDF document, including editing PDF url links and quick navigation link in bookmark/outline.
VB.NET PDF: Basic SDK Concept of XDoc.PDF
XDoc.PDF for .NET allows VB.NET developers to edit hyperlink of PDF document, including editing PDF url links and quick navigation link in bookmark/outline.
13
Since the total charge on the rod (Q) is simply the product of the charge density and the total
length of the rod, this reduces to
i
x
kQ
E
ˆ
2
This is exactly the expression for the electric field from a point charge. Thus, as you move
farther and farther from the rod, the rod does indeed begin to look like a point charge.
Gauss’ Law
The long, hollow plastic cylinder at right has inner
. Find the electric field at all points in a plane
perpendicular to the cylinder near its midpoint.
For certain situations, typically ones with a high degree of symmetry, Gauss’ Law allows you
to calculate the electric field relatively easily. Gauss’ Law, mathematically, states:
0
enclosed
q
E dA
Let’s describe what this means in English. The left side of the equation involves the vector dot
product between the electric field and an infinitesimally small area that is a piece of a larger
closed surface (termed the gaussian surface). This dot product between electric field and area
is termed electric flux, and is often visualized as the amount of field that “passes through” the
little piece of area. The integral simply tells us to add up all of these infinitesimal electric
fluxes to get the total flux through the entire closed surface.
The gist of Gauss’ Law is that this total electric flux is exactly equal to the total amount of
electric charge enclosed within the gaussian surface, divided by a constant,
0
. (
0
is the
permittivity of free space, a constant equal to 8.85 x 10
-12
C
2
/Nm
2
.)
Somewhat counter intuitively, the key to applying Gauss’ Law is to choose a gaussian surface
such that you never really have to do the integral on the left side of the equation! To try to
help you understand what I’m talking about, let’s walk through the solution of the above
problem. The following sequence of steps will help you understand the process of applying
Gauss’ law:
1.  Choose the appropriate gaussian surface.
2.  Carefully draw the hypothetical gaussian surface at the location of interest.
3.  Carefully draw the electric field at all points on the gaussian surface.
4.  Write an expression for the surface area parallel to the electric field.
5.  Write an expression for q
enclosed
, the charge enclosed within the gaussian surface.
6.
Apply Gauss’ Law and determine the electric field at all points on this hypothetical surface.
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14
Since we want to find the electric field at all points in space, there are three distinct regions
we will have to investigate:
the region inside the “hole” in the cylinder (r < a),
the region within the actual material of the cylinder (a < r < b),
and the region outside of the cylinder (r > b).
Let’s start outside of the cylinder.
Outside of the cylinder: r > b
1.   Choose the appropriate gaussian surface.
Gauss’ law is primarily useful when the objects under investigation have a high degree of
symmetry. Gauss’ law basically exploits that symmetry to make the calculation of the electric
field relatively painless. To exploit the symmetry of the situation, you should always choose a
gaussian surface to mimic the symmetry of the object you are investigating. In this example,
since the object is a cylinder, my gaussian surfaces will all be cylinders.
2.
Carefully draw the hypothetical gaussian surface at the location of interest.
Since we are trying to determine the electric field for all points outside of the cylinder, draw a
cylindrical gaussian surface with radius r. The value of r is variable, and can take on any
value greater than b, the radius of the real cylinder. Remember, the gaussian surface is
hypothetical; it’s a mathematical “object” that only exists to help you solve the problem. Try
not to confuse it with the real cylinder of radius b.
The gaussian surface is represented from two separate viewpoints below. (The gray cylinder
is the actual, charged cylinder while the dashed cylinder is the gaussian surface.) The gaussian
surface has radius r, where r can be any value greater than b, and length L. It is located near
the midpoint of the actual cylinder. The gaussian surface also includes the circular “end caps”
of the cylinder since a gaussian surface must be a closed surface.
L
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15
3.   Carefully draw the electric field at all points on the gaussian surface.
Although I have no idea what the magnitude of the electric field is at any point on my
gaussian surface, the symmetry of the situation tells me that the direction of the electric field
must be either radially away from or radially toward the central axis of the cylinder. If the
charge density is positive, the field will be directed radially outward from the cylinder axis.
Moreover, even though I don’t know the magnitude of the field, I do know that the magnitude
is the same at every point on my surface.
E
4.   Write an expression for the surface area parallel to the electric field.
The left side of Gauss’ law requires us to evaluate an integral over the surface of our gaussian
cylinder. The integral requires us to find the dot product between the electric field and the
area, and integrate this dot product over the entire surface. I mentioned earlier that you should
never have to actually do this integral (assuming you chose the “correct” gaussian surface). So
why don’t we have to do this integral?
The vector dot product can be re-written as:
)cos
( )(
dA
E
E dA
where
is the angle between the electric field and the area of the gaussian surface. You may
recall from calculus that the “direction” associated with area is perpendicular to its surface.
Thus, the direction of each infinitesimal area is indicated on the diagrams below.
E
E
dA
dA
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16
Notice that the electric field vector and the area vector are parallel
at every point on the
cylindrical portion of the gaussian surface and perpendicular at every point on the circular end
caps. Thus, breaking the integral into two parts, one over the cylindrical portion of the
gaussian surface and one over the end caps, yields:
cylinder
endcaps
cylinder
dA
E
E dA
dA
E
dA
E
dA
E
E dA
)
( )(
90
)cos
( )(
)cos0
( )(
)cos
( )(
Now note that the magnitude of the electric field is the same at every point on the cylindrical
portion of the gaussian surface since every point is equal distance from the charge
distribution. Thus, the electric field is constant and can be brought outside of the integral,
leaving a pretty easy integral to evaluate.
cylinder
cylinder
cylinder
EA
E dA
dA
E dA A E
dA
E
E dA
)
( )(
Notice that the entire left-hand side of Gauss’ law reduces to the product of the electric field
magnitude and the magnitude of the surface area parallel to this field. Thus, because of our
wise choice of gaussian surface, all we really need to calculate is the magnitude of the surface
area parallel to the electric field. In this case, the parallel area is given by:
rL
A
A
cylinder
parallel
2
5.   Write an expression for q
enclosed
, the charge enclosed within the gaussian surface.
Since the gaussian surface is outside of the real cylinder, all of the charge on the cylinder
within the length L is enclosed. Since we know the volume charge density on the cylinder,
the total charge on the cylinder within the length L is the product of the charge density and the
volume of the cylinder.
)
(
)
(
2
2
a L
b L
q
V
V
q
V
q
enclosed
hole
der
solidcylin
enclosed
enclosed

17
6.  Apply Gauss’ Law and determine the electric field at all points on this hypothetical surface.
r
a
b
E
a L
b L
rL
E
q
E A
q
E dA
enclosed
parallel
enclosed
0
2
2
0
2
2
0
0
2
)
(
)
(
)
(2
)
(

Thus, the electric field outside of the cylinder is inversely proportional to the distance from
the cylinder.
Now we have to repeat this analysis for the other two regions.
Within the cylinder: a < r < b
1.    Choose the appropriate gaussian surface.
We will again use a cylindrical surface.
2.   Carefully draw the hypothetical gaussian surface at the location of interest.
Since we are interested in the electric field within the
actual cylinder, the radius of our gaussian surface is larger
than a but less than b.
3.   Carefully draw the electric field at all points on the gaussian surface.
As before, the magnitude of the electric field must be
constant on the gaussian surface and directed radially
outward due to the symmetry of the situation.
E