﻿

# c# pdf free : Add hyperlink pdf document application software tool html winforms wpf online TRENCH_REAL_ANALYSIS32-part251

312 Chapter5
Real-ValuedFunctionsofSeveralVariables
m
n
R(G)  = range of G
G
D
G
D
f
Figure 5.2.3
Proof
Suppose that  > 0. Since f is continuous at X
0
DG.U
0
/, there is an 
1
>0
such that
jf .X/  f .G.U
0
//j < 
(5.2.17)
if
jX  G.U
0
/j < 
1
and X 2 D
f
:
(5.2.18)
Since G is continuous at U
0
,there is a ı > 0 such that
jG.U/  G.U
0
/j < 
1
if jU  U
0
j< ı and U 2 D
G
:
By taking X D G.U/ in (5.2.17) and (5.2.18), we see that
jh.U/  h.U
0
/j D jf .G.U/  f .G.U
0
//j < 
if
jU  U
0
j< ı and U 2 T:
Example 5.2.12
If
f.s/ D
p
s
and
g.x; y/ D 1  x
2
2y
2
;
then D
f
DŒ0; 1, D
g
DR
2
,and
T D
˚
.x; y/
ˇ
ˇ
x
2
C2y
2
1
:
From Theorem5.2.7 and Example5.2.1, g is continuous on R
2
.(We can obtain the same
conclusion by observing that the functions p
1
.x; y/ D x and p
2
.x; y/ D y are continuous
on R2 and applying Theorem5.2.8.) Since f is continuous on D
f
,the function
h.x; y/ D f .g.x; y// D
p
1 x2  2y2
is continuous on T .
Free C# example code is offered for users to edit PDF document hyperlink (url), like inserting and deleting
Add hyperlink pdf document - VB.NET PDF url edit library: insert, remove PDF links in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Help to Insert a Hyperlink to Specified PDF Document Page
Section 5.2
ContinuousReal-ValuedFunctionsof
n
Variables
313
Example 5.2.13
If
g.x; y/ D
p
1 x2  2y2
and
f.s/ D
8
<
:
sin s
s
; s ¤ 0;
1;
sD 0;
then D
f
D.1; 1/ and
D
g
DT D
˚
.x; y/
ˇ
ˇ
x
2
C2y
2
1
:
In Example5.2.12 we saw that g (we called it h there) is continuous on T . Since f is
continuous on D
f
,the composite function h D f ı g deﬁned by
h.x; y/ D
8
ˆ
<
ˆ
:
sin
p
1 x2  2y2
p
1 x2  2y2
; x2 C 2y2 < 1;
1;
x
2
C2y
2
D1;
is continuous on T . This implies the result of Example5.2.2.
Bounded Functions
The deﬁnitions of bounded above, bounded below, and bounded on a set S are the same for
functions of n variables as for functions of one variable, as are the deﬁnitions of supremum
and inﬁmum of a function on a set S (Section 2.2). The proofs of the next two theorems are
similar to those of Theorems2.2.8 and2.2.9 (Exercises5.2.12 and5.2.13).
Theorem 5.2.11
If f is continuous on a compact set S in R
n
;then f is bounded
on S:
Theorem 5.2.12
Let f be continuous on a compact set S in R
n
and
˛D inf
X2S
f.X/; ˇ D sup
X2S
f.X/:
Then
f.X
1
/D ˛ and f .X
2
/D ˇ
for some X
1
and X
2
in S:
The next theorem is analogous to Theorem2.2.10.
Theorem 5.2.13 (Intermediate Value Theorem)
Let f be continuous on
aregion S in R
n
:Suppose that A and B are in S and
f.A/ < u < f .B/:
Then f .C/ D u for some C in S:
How to C#: Basic SDK Concept of XDoc.PDF for .NET
You may add PDF document protection functionality into your C# program PDF for .NET allows C# developers to edit hyperlink of PDF document, including editing
VB.NET PDF: Basic SDK Concept of XDoc.PDF
You may add PDF document protection functionality into your VB.NET program NET allows VB.NET developers to edit hyperlink of PDF document, including editing
314 Chapter 5
Real-ValuedFunctionsofSeveralVariables
Proof
If there is no such C, then S D R [ T , where
RD
˚
X
ˇ
ˇ
X2 S and f .X/ < u
and
TD
˚
X
ˇ
ˇ
X2 S and f .X/ > u
:
If X
0
2R, the continuity of f implies that there is a ı > 0 such that f .X/ < u if jXX
0
j<
ıand X 2 S. This means that X
0
62
T. Therefore, R \
T D ;. Similarly,
R\ T D ;.
Therefore, S is disconnected (Deﬁnition5.1.19), which contradicts the assumption that S
is a region (Exercise5.1.30). Hence, we conclude that f .C/ D u for some C in S.
Uniform Continuity
The deﬁnition of uniform continuity for functions of n variables is the same as for functions
of one variable; f is uniformly continuous on a subset S of its domain in Rn if for every
> 0 there is a ı > 0 such that
jf .X/  f .X
0
/j < 
whenever jX  X
0
j< ı and X; X
0
2S. We emphasize again that ı must depend only on 
and S , and not on the particular points X and X
0
.
The proof of the next theorem is analogous to that of Theorem2.2.12. We leave it to you
(Exercise5.2.14).
Theorem 5.2.14
If f is continuous on a compact set S in R
n
;then f is uniformly
continuous on S:
5.2 Exercises
With R replaced by R
n
;the following exercises from Sections 2:1 and 2:2 have analogs for
this section:2.1.5,2.1.82.1.11,2.1.26,2.1.28,2.1.29,2.1.33,2.2.8;2.2.9;2.2.10,2.2.15,
2.2.16, 2.2.20, 2.2.29, 2.2.30.
1.
Find lim
X!X
0
f.X/ and justify your answer with an –ı argument, as required by
Deﬁnition5.2.1. H
INT
:See Examples5.2.1 and5.2.2:
(a)
f.X/ D 3x C 4y C ´  2, X
0
D.1; 2; 1/
(b)
f.X/ D
x
3
y
3
x y
, X
0
D.1; 1/
(c)
f.X/ D
sin.x C 4y C 2´/
xC 4y C 2´
, X
0
D.2; 1; 1/
C# PDF Library SDK to view, edit, convert, process PDF file for C#
C# Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in C#.
Change Word hyperlink to PDF hyperlink and bookmark. Add necessary references DOCXDocument doc = new DOCXDocument(inputFilePath); // Convert it to PDF document.
Section 5.2
ContinuousReal-ValuedFunctionsof
n
Variables
315
(d)
f.X/ D .x
2
Cy
2
/log.x
2
Cy
2
/
1=2
, X
0
D.0; 0/
(e)
f.X/ D
sin.x  y/
p
x y
, X
0
D.2 ; 2/
(f)
f.X/ D
1
jXj
e
1=jXj
, X
0
D0
2.
Prove Theorem5.2.2.
3.
If lim
x!x
0
y.x/ D y
0
and lim
x!x
0
f.x; y.x// D L, we say that f .x; y/ ap-
proaches L as .x; y/ approaches .x
0
;y
0
/along the curve y D y.x/.
(a)
Prove: If lim
.x;y/!.x
0
;y
0
/
f.x; y/ D L, then f .x; y/ approaches L as .x; y/
approaches .x
0
;y
0
/along any curve y D y.x/ through .x
0
;y
0
/.
(b)
We saw in Example5.2.3 that if
f.x; y/ D
xy
x2 C y2
;
then lim
.x;y/!.0;0/
f.x; y/ does not exist. Show, however, that f .x; y/ ap-
proaches a value L
a
as .x; y/ approaches .0; 0/ along any curve y D y.x/
that passes through .0; 0/ with slope a. Find L
a
.
(c)
Show that the function
g.x; y/ D
x
3
y
4
.x2 C y6/3
approaches 0 as .x; y/ approaches .0; 0/ along a curve as described in
(b)
,
but that lim
.x;y/!.0;0/
f.x; y/ does not exist.
4.
Determine whether lim
X!X
0
f.X/ D ˙1.
(a)
f.X/ D
jsin.x C 2y C 4´/j
.x C 2y C 4´/2
, X
0
D.2 ; 1; 0/
(b)
f.X/ D
1
p
x y
, X
0
D.0; 0/
(c)
f.X/ D
sin 1=x
p
x y
, X
0
D.0; 0/
(d)
f.X/ D
4y
2
x
2
.x  2y/3
, X
0
D.2; 1/
(e)
f.X/ D
sin.x C 2y C 4´/
.x C 2y C 4´/2
, X
0
D.2; 1; 0/
5.
Find lim
jXj!1
f.X/, if it exists.
(a)
f.X/ D
log.x
2
C2y
2
C4´
2
/
x2 C y2 C ´2
(b)
f.X/ D
sin.x
2
Cy
2
/
p
x2 C y2
(c)
f.X/ D e
.xCy/
2
(d)
f.X/ D e
x
2
y
2
VB.NET Create PDF from Excel Library to convert xlsx, xls to PDF
Change Excel hyperlink to PDF hyperlink and bookmark. VB.NET Demo Code for Converting Excel to PDF. Add necessary references: RasterEdge.Imaging.Basic.dll.
VB.NET PDF Library SDK to view, edit, convert, process PDF file
RasterEdge PDF SDK for .NET package offers robust APIs for editing PDF document hyperlink (url), which provide quick access to the website or other file.
316 Chapter 5
Real-ValuedFunctionsofSeveralVariables
(e)
f.X/ D
8
<
:
sin.x2  y2/
x2  y2
; x ¤ ˙y;
1;
xD ˙y
6.
Deﬁne
(a)
lim
jXj!1
f.X/ D 1 and
(b)
lim
jXj!1
f.X/ D 1.
7.
Let
f.X/ D
jx
1
j
a
1
jx
2
j
a
2
  jx
n
j
a
n
Xjb
:
For what nonnegative values of a
1
, a
2
,. . . , a
n
,b does lim
X!0
f.X/ exist in the
extended reals?
8.
Let
g.X/ D
.x
2
Cy
4
/
3
1C x6 y4
:
Show that lim
jxj!1
g.x; ax/ D 1 for any real number a. Does
lim
jXj!1
g.X/ D 1‹
9.
For each f in Exercise5.2.1, ﬁnd the largest set S on which f is continuous or can
be deﬁned so as to be continuous.
10.
Repeat Exercise5.2.9 for the functions in Exercise5.2.5.
11.
Give an example of a function f on R
2
such that f is not continuous at .0; 0/,
but f .0; y/ is a continuous function of y on .1; 1/ and f .x; 0/ is a continuous
function of x on .1; 1/.
12.
Prove Theorem5.2.11. H
INT
:See the proof of Theorem2.2.8:
13.
Prove Theorem5.2.12. H
INT
:See the proof of Theorem2.2.9:
14.
Prove Theorem5.2.14. H
INT
:See the proof of Theorem2.2.12:
15.
Suppose that
X2 D
f
R
n
and
Xis a limit point of D
f
.Show that f is continuous
at
Xif and only if lim
k!1
f.X
k
/D f .
X/ whenever fX
k
gis a sequence of points
in D
f
such that lim
k!1
X
k
D
X. H
INT
:See the proof of Theorem4.2.6:
5.3 PARTIAL DERIVATIVES AND THE DIFFERENTIAL
To say that a function of one variable has a derivative at x
0
is the same as to say that it
is differentiable at x
0
. The situation is not so simple for a function f of more than one
variable. First, there is no speciﬁc number that can be called the derivative of f at a point
X
0
in R
n
. In fact, there are inﬁnitely many numbers, called the directional derivatives of
f at X
0
(deﬁned below), that are analogous to the derivative of a function of one variable.
Second, we will see that the existence of directional derivatives at X
0
does not imply that f
is differentiable at X
0
,if differentiability at X
0
is to imply (as it does for functions of one
variable) that f .X/ f .X
0
/can be approximated well near X
0
by a simple linear function,
or even that f is continuous at X
0
.
VB.NET Create PDF from Word Library to convert docx, doc to PDF in
Change Word hyperlink to PDF hyperlink and bookmark. Add necessary references doc As DOCXDocument = New DOCXDocument(inputFilePath) ' Convert it to PDF document.
.NET PDF SDK - Description of All PDF Processing Control Feastures
Section 5.3
PartialDerivativesandtheDifferential
317
We will now deﬁne directional derivatives and partial derivatives of functions of several
variables. However, we will still have occasion to refer to derivatives of functions of one
variable. We will call them ordinary derivatives when we wish to distinguish between them
and the partial derivatives that we are about to deﬁne.
Deﬁnition 5.3.1
Let ˆ be a unit vector and X a point in R
n
.The directional derivative
of f at X in the direction of ˆ is deﬁned by
@f .X/
Dlim
t!0
f.X C tˆ/  f .X/
t
if the limit exists. That is, @f .X/=@ˆ is the ordinary derivative of the function
h.t/ D f .X C t ˆ/
at t D 0, if h0.0/ exists.
Example 5.3.1
Let ˆ D .
1
;
2
;
3
/and
f.x; y; ´/ D 3xy´ C 2x
2
2
:
Then
h.t/ D f .x C t
1
;y C t
2
;´ C t
3
/;
D3.x C t
1
/.y C t
2
/.´ C t
3
/C 2.x C t
1
/
2
C.´ C t
3
/
2
and
h
0
.t/ D 3
1
.y C t
2
/.´ C t
3
/C 3
2
.x C t
1
/.´ C t
3
/
C3
3
.x C t
1
/.y C t
2
/C 4
1
.x C t
1
/C 2
3
.´ C t
3
/:
Therefore,
@f .X/
Dh
0
.0/ D .3y´ C 4 x/
1
C3x´
2
C.3xy C 2´/
3
:
(5.3.1)
The directional derivatives that we are most interested in are those in the directions of
the unit vectors
E
1
D.1; 0; : : : ; 0/; E
2
D.0; 1; 0; : : : ; 0/; : : : ; E
n
D.0; : : : ; 0; 1/:
(All components of E
i
are zero except for the i th, which is 1.) Since X and X C tE
i
differ
only in the i th coordinate, @f .X/=@E
i
is called the partial derivative of f with respect to
x
i
at X. It is also denoted by @f .X/=@x
i
or f
x
i
.X/; thus,
@f .X/
@x
1
Df
x
1
.X/ D lim
t!0
f.x
1
Ct; x
2
;: : : ; x
n
/ f .x
1
;x
2
;: : : ; x
n
/
t
;
318 Chapter 5
Real-ValuedFunctionsofSeveralVariables
@f .X/
@x
i
Df
x
i
.X/ D lim
t!0
f.x
1
;: : : ; x
i1
;x
i
Ct; x
iC1
;: : : ; x
n
/ f .x
1
;x
2
;: : : ; x
n
/
t
if 2  i  n, and
@f .X/
@x
n
Df
x
n
.X/ D lim
t!0
f.x
1
;: : : ; x
n1
;x
n
Ct/  f .x
1
;: : : ; x
n1
;x
n
/
t
;
if the limits exist.
If we write X D .x; y/, then we denote the partial derivatives accordingly; thus,
@f .x; y/
@x
Df
x
.x; y/ D lim
h!0
f.x C h; y/  f .x; y/
h
and
@f .x; y/
@y
Df
y
.x; y/ D lim
h!0
f.x; y C h/  f .x; y/
h
:
It can be seen from these deﬁnitions that to compute f
x
i
.X/ we simply differentiate f
with respect to x
i
according to the rules for ordinary differentiation, while treating the other
variables as constants.
Example 5.3.2
Let
f.x; y; ´/ D 3xy´ C 2x
2
2
(5.3.2)
as in Example5.3.1. Taking ˆ D E
1
(that is, setting 
1
D1 and 
2
D
3
D0) in (5.3.1),
we ﬁnd that
@f .X/
@x
D
@f .X/
@E
1
D3y´ C 4x;
which is the result obtained by regarding y and ´ as constants in (5.3.2) and taking the
ordinary derivative with respect to x. Similarly,
@f .X/
@y
D
@f .X/
@E
2
D3x´
and
@f .X/
D
@f .X/
@E
3
D3xy C 2´:
The next theorem follows from the rule just given for calculating partial derivatives.
Theorem 5.3.2
If f
x
i
.X/ and g
x
i
.X/ exist; then
@.f C g/.X/
@x
i
Df
x
i
.X/ C g
x
i
.X/;
@.fg/.X/
@x
i
Df
x
i
.X/g.X/ C f .X/g
x
i
.X/;
Section 5.3
PartialDerivativesandtheDifferential
319
and; if g.X/ ¤ 0;
@.f =g/.X/
@x
i
D
g.X/f
x
i
.X/  f .X/g
x
i
.X/
Œg.X/2
:
If f
x
i
.X/ exists at every point of a set D, then it deﬁnes a function f
x
i
on D. If this
function has a partial derivative with respect to x
j
on a subset of D, we denote the partial
derivative by
@
@x
j
@f
@x
i
D
@
2
f
@x
j
@x
i
Df
x
i
x
j
:
Similarly,
@
@x
k
@
2
f
@x
j
@x
i
D
@
3
f
@x
k
@x
j
@x
i
Df
x
i
x
j
x
k
:
The function obtained by differentiating f successively with respect to x
i
1
;x
i
2
;: : : ; x
i
r
is
denoted by
@
r
f
@x
i
r
@x
i
r1
  @x
i1
Df
x
i
1
  x
i
r1
x
i
r
I
it is an rth-order partial derivative of f .
Example 5.3.3
The function
f.x; y/ D 3x
2
y
3
Cxy
has partial derivatives everywhere. Its ﬁrst-order partial derivatives are
f
x
.x; y/ D 6xy
3
Cy; f
y
.x; y/ D 9x
2
y
2
Cx:
Its second-order partial derivatives are
f
xx
.x; y/ D 6y3 ;
f
yy
.x; y/ D 18x2y;
f
xy
.x; y/ D 18xy2 C 1; f
yx
.x; y/ D 18xy2 C 1:
There are eight third-order partial derivatives. Some examples are
f
xxy
.x; y/ D 18y
2
; f
xyx
.x; y/ D 18y
2
; f
yxx
.x; y/ D 18y
2
:
Example 5.3.4
Compute f
xx
.0; 0/, f
yy
.0; 0/, f
xy
.0; 0/, and f
yx
.0; 0/ if
f.x; y/ D
8
<
:
.x
2
yC xy
2
/sin.x  y/
x2 C y2
; .x; y/ ¤ .0; 0/;
0;
.x; y/ D .0; 0/:
Solution
If .x; y/ ¤ .0; 0/, the ordinary rules for differentiation, applied separately to
xand y, yield
f
x
.x; y/ D
.2xy C y
2
/sin.x  y/ C .x
2
yC xy
2
/cos.x  y/
x2 C y2
2x.x
2
yC xy
2
/sin.x  y/
.x2 C y2/2
; .x; y/ ¤ .0; 0/;
(5.3.3)
320 Chapter 5
Real-ValuedFunctionsofSeveralVariables
and
f
y
.x; y/ D
.x
2
C2xy/ sin.x  y/  .x
2
yC xy
2
/cos.x  y/
x2 C y2
2y.x
2
yC xy
2
/sin.x  y/
.x2 C y2/2
; .x; y/ ¤ .0; 0/:
(5.3.4)
These formulas do not apply if .x; y/ D .0; 0/, so we ﬁnd f
x
.0; 0/ and f
y
.0; 0/ from their
deﬁnitions as difference quotients:
f
x
.0; 0/ D lim
x!0
f.x; 0/  f .0; 0/
x
D lim
x!0
0 0
x
D0;
f
y
.0; 0/ D lim
y!0
f.0; y/  f .0; 0/
y
D lim
y!0
0 0
y
D0:
Setting y D 0 in (5.3.3) and (5.3.4) yields
f
x
.x; 0/ D 0; f
y
.x; 0/ D sin x; x ¤ 0;
so
f
xx
.0; 0/ D lim
x!0
f
x
.x; 0/  f
x
.0; 0/
x
D lim
x!0
0 0
x
D0;
f
yx
.0; 0/ D lim
x!0
f
y
.x; 0/  f
y
.0; 0/
x
D lim
x!0
sin x  0
x
D1:
Setting x D 0 in (5.3.3) and (5.3.4) yields
f
x
.0; y/ D  sin y; f
y
.0; y/ D 0; y ¤ 0;
so
f
xy
.0; 0/ D lim
y!0
f
x
.0; y/  f
x
.0; 0/
y
D lim
y!0
sin y  0
y
D1;
f
yy
.0; 0/ D lim
y!0
f
y
.0; y/  f
y
.0; 0/
y
D lim
y!0
0 0
y
D0:
This example shows that f
xy
.X
0
/and f
yx
.X
0
/may differ. However, the next theorem
shows that they are equal if f satisﬁes a fairly mild condition.
Theorem 5.3.3
Suppose that f; f
x
;f
y
;and f
xy
exist on a neighborhood N of .x
0
;y
0
/;
and f
xy
is continuous at .x
0
;y
0
/: Then f
yx
.x
0
;y
0
/exists, and
f
yx
.x
0
;y
0
/D f
xy
.x
0
;y
0
/:
(5.3.5)
Proof
Suppose that  > 0. Choose ı > 0 so that the open square