Xnumbers Tutorial 
10 
Now - attention! - give the "magic" keys sequence CTRL+SHIFT+ENTER  
That is: 
•  Press and keep down the CTRL and SHIFT keys 
•  Press the ENTER key 
All the values will fill the cells that you have selected. 
Note that Excel shows the function around two braces { }. These symbols mean that the 
function return an array (you cannot insert them by hand). 
An array function has several constrains. Any cell of the array cannot be modified or deleted. 
To modify or delete an array function you must selected before the entire array cells. 
Adding two matrices 
The CTRL+SHIFT+ENTER rule is valid for any function and/or operation returning a matrix or a 
vector 
Example - Adding two matrices  
+
0 1
1 0
1
2
2
1
We can use directly the addition operator "+".  We can do this following these steps. 
1) 
Enter the matrices into the spreadsheet. 
2) 
Select the B8:C9 empty cells so that a 2 × 2 range is highlighted.  
3)  Write a formula that adds the two ranges. Either write =B4:C5+E4:F5 Do not press 
<Enter>. At this point the spreadsheet should look something like the figure below. Note 
that the entire range B8:C9 is selected.  
Pdf metadata extract - add, remove, update PDF metadata in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Allow C# Developers to Read, Add, Edit, Update and Delete PDF Metadata
pdf metadata viewer; pdf metadata reader
Pdf metadata extract - VB.NET PDF metadata library: add, remove, update PDF metadata in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WinForms, WPF
Enable VB.NET Users to Read, Write, Edit, Delete and Update PDF Document Metadata
pdf metadata online; rename pdf files from metadata
Xnumbers Tutorial 
11 
4) 
Press and hold down <CTRL> + <SHIFT>  
5) 
Press <ENTER>. 
If you have correctly followed the procedure, the spreadsheet should now look something like 
this 
This trick can also work for matrix subtraction and for the scalar-matrix multiplication, but not for 
the matrix-matrix multiplication. 
Let's see this example that shows how to calculate the linear combination of two vectors   
Functions returning optional values 
Some function, such as for example the definite integral of a real function f(x), can return one 
single value and optional extra data (iterations, error estimation, etc...) 
If you do not want to see this additional information simply select one cell and insert the 
function with the standard procedure. On the contrary, if you want to see also the extra 
information, you must select the extra needed cells and insert it as an array-function 
VB.NET PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images
Get image information, such as its location, zonal information, metadata, and so on. Extract image from PDF free in .NET framework application with trial SDK
preview edit pdf metadata; read pdf metadata
C# PDF Image Extract Library: Select, copy, paste PDF images in C#
information, such as its location, zonal information, metadata, and so on. Able to edit, add, delete, move, and output PDF document image. Extract image from PDF
analyze pdf metadata; batch update pdf metadata
Xnumbers Tutorial 
12 
How to get the help on line 
Xnumbers provides the help on line that can be recalled in the same way of any other Excel 
function. When you have selected the function that you need, press the F1 key or click on the 
guide hyperlink
” 
There is also another way to get the help-on-line. It is from the Xnumbers Function Handbook 
Select the function that you want and press the Help button 
You can also recall the help guide from the function wizard window 
Of course you can open the help on-line from the Xnumber menu 
or directly by double clicking on the Xnumbers.hlp file  
C# PDF Page Extract Library: copy, paste, cut PDF pages in C#.net
|. Home ›› XDoc.PDF ›› C# PDF: Extract, Copy and Paste PDF Pages. C#.NET Sample Code: Extract PDF Pages and Save into a New PDF File in C#.NET.
view pdf metadata; pdf xmp metadata
VB.NET PDF Library SDK to view, edit, convert, process PDF file
Feel free to define text or images on PDF document and extract accordingly. Multiple metadata types of PDF file can be easily added and processed.
online pdf metadata viewer; batch edit pdf metadata
Xnumbers Tutorial 
13 
Xnumbers installation 
How to install 
This addin for Excel XP  is composed by the following files: 
Addin file 
(It contains the Excel macros 
and functions)
Help file 
(It contains the help notes)
Handbook file 
(It contains the macros and 
functiosn description list for the 
Xnumbers Handbook)
This installation is entirely contained in the folder that you specify. 
Put all these files in a same directory as you like.  
Open Excel and follow the usually operations for the addin installation: 
1) Select <addins...> from <tools> menu, 
2) Excel shows the Addins Manager, 
3) Search for the file xnumbers.xla, 
4) Press OK, 
After the first installation, Xnumbers.xla will be add to the Addin Manager 
By this tool, you can load or unload the addins that you want, simply switching on/off the check-
boxes. 
At the starting, the checked addins will be automatically loaded  
If you want to stop the automatic loading of xnumbers.xla simply deselect the check box before 
closing Excel 
If all goes right you should see the welcome 
popup of Xnumbers. This appears only when 
you activate the check box of the Addin 
Manager. When Excel automatically loads 
Xnumbers, this popup is hidden 
C# PDF Text Extract Library: extract text content from PDF file in
XDoc.PDF ›› C# PDF: Extract PDF Text. C# PDF - Extract Text from PDF in C#.NET. Feel Free to Extract Text from PDF Page, Page Region or the Whole PDF File.
edit pdf metadata acrobat; edit pdf metadata
VB.NET PDF Text Extract Library: extract text content from PDF
PDF ›› VB.NET PDF: Extract PDF Text. VB.NET PDF - Extract Text from PDF Using VB. How to Extract Text from PDF with VB.NET Sample Codes in .NET Application.
c# read pdf metadata; change pdf metadata creation date
Xnumbers Tutorial 
14 
How to uninstall 
If you want to uninstall this package, simply delete its folder. Once you have cancelled the 
Xnumbers.xla file, to remove the corresponding entry in the Addin Manager, follow these steps: 
1)  Open Excel 
2)  Select <Addins...> from the <Tools> menu. 
3)  Once in the Addins Manager, click on the Xnumbers entry 
4)  Excel will inform you that the addin is missing and ask you if you want to remove it from 
the list. Give "yes".  
Installation troubles 
If you do not see the Xnumbers icon or the welcome popup the installation has gone wrong and 
probably it is due to same configuration parameter of your Windows / Excel environment 
The default security setting of Excel XP 2002/2003 doesn't allowe to install Xnumbers as is. To 
prevent errors it is necessary to open the Excel menu option:  
Tools  >  Options  >  Security > Macro Security, and set: "Average  Level security"  and "Trust 
Access to Visual Basic Project". 
Do not worry about it. Xnumbers contains only safe macros; they do not alter your PC in any 
way. If you want to remove Xnumbers simply delete all the files contained in the package. 
In addition we have to point out that, nowadays, nobody use to hide virus, spy-software, trojan 
and  related  things  in  a  macro  Excel:  this  things  belong  to  the  prehistory  of  informatics! 
Nowadays, E-mail and Internet are by far the most important media. 
VB.NET PDF Form Data Read library: extract form data from PDF in
Data: Read, Extract Field Data. |. Home ›› XDoc.PDF ›› VB.NET PDF: Read, Extract Field Data. VB.NET PDF - Read and Extract Field Data in VB.NET.
extract pdf metadata; modify pdf metadata
C# PDF Library SDK to view, edit, convert, process PDF file for C#
Feel free to define text or images on PDF document and extract accordingly. Multiple metadata types of PDF file can be easily added and processed in C#.NET
bulk edit pdf metadata; acrobat pdf additional metadata
Xnumbers Tutorial 
15 
Multiprecision Floating Point Arithmetic 
Any computer having hardware at 32-bit can perform arithmetic operations with 15 significant 
digits
1
. The only way to overcome this finite fixed precision is to adopt special software that 
extends the accuracy of the native arithmetic  
Why using extended precision numbers? 
First of all, for example, to compute the following operation: 
90000000002341 x 
8067 = 
-------------------- 
726030000018884847 . 
Any student, with a little work, can do it. Excel, as any 32-bit machine, cannot! It always gives 
the (approximate) result 726030000018885000 , with a difference of +153.  
But do not ask Excel for the difference. It replies 0
The second, deeper, example regards numeric analysis.  
Suppose we have to find the roots of the following 9
th
degree polynomial. 
=
=
n
i
i
i
a x
P x
0
( )
There are excellent algorithms for finding a 
numerical solution of this problem. We can 
use the Newton-Raphson method: starting 
from x = 32 and operating with 15 significant 
digits (the maximum for Excel), we have: 
Coefficients 
a9
1
a8
-279
a7
34606
a6
-2504614
a5
116565491
a4
-3617705301
a3
74873877954
a2
-996476661206
a1
7738306354988
a0
-26715751812360
x
n
P(x) 
(15 digit)
P' (x) 
(15 digit)
-P/P' 
|x
n
-x| 
32
120
428
0,280373832
1
31,71962617
43,77734375
158,9873047
0,275351191
0,7196262
31,44427498
15,69921875
60,93164063
0,257652979
0,444275
31,186622
4,78125
29,46289063
0,162280411
0,186622
31,02434159
0,65625
24,10644531
0,02722301
0,0243416
30,99711858
-0,07421875
24,01953125
-0,003089933
0,0028814
31,00020851
0,23828125
24,04980469
0,009907825
0,0002085
30,99030069
-0,52734375
23,98925781
-0,021982495
0,0096993
31,01228318
0,2421875
24,02050781
0,01008253
0,0122832
31,00220065
-0,03515625
23,99023438
-0,00146544
0,0022007
As we can see, the iteration approaches the solution x = 31 but the error |x
n
- x| remains too 
high. Why? Multiple roots? No, because P'(x) >> 0. Algorithm failed? Of course not. This 
method is very well tested. The only explanation is the finite precision of the computing. In fact, 
repeating the calculus of P(x) and P'(x) with 25 significant digits, we find the excellent 
convergence of this method. 
1
The basic structure is the IEEE-754 which allows for a 64 bit standard floating point double precision number. The 
later has a mantissa of 53 bits (one is the implied bit) which becomes equivalent to 15.4 digits. Excel reports a 
maximum of 15 digits. For a good, accurate note see "Excel Computation and Display Issue" by David. A. Heiser, 
http://www.daheiser.info/excel/frontpage.html
Xnumbers Tutorial 
16 
x
P(x) 
(25 digit
P' (x) 
(25 digit)
-P/P' 
|x
n
-x| 
32
120
428
0,28037383
1
31,71962617
43,71020049043
158,979858019937
0,27494175
0,719626
31,44468442
15,71277333004
61,059647049872
0,25733482
0,444684
31,1873496
4,83334748037
29,483621556222
0,1639333
0,18735
31,02341629
0,56263326884
24,082301045236
0,02336294
0,023416
31,00005336
0,00128056327
24,000000427051
5,3357E-05
5,34E-05
31
0,00000000053
23,999999999984
2,2083E-11
1,54E-11
31
0,00000000004
23,999999999995
1,6667E-12
6,66E-12
The graph below resumes the effect of computation with 15 and 25 significant digits. 
1E-12
1E-10
1E-08
1E-06
0,0001
0,01
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|Xn -X|
15 digits
25 digits
Iteration
The application field of multi-precision computation is wide. Especially it is very useful for 
numeric algorithms testing. In the above example, we had not doubt about the Newton-
Raphson method, but what about the new algorithm that you are studying? This package helps 
you in this work. 
Xnumbers Tutorial 
17 
Multiprecision methods 
Several methods exist for simulating variable multi-precision floating point arithmetic. The basic 
concept consists of breaking down a long number into two or more sub-numbers, and repeating 
cyclic operations with them. The ways in which long numbers are stored vary from one method 
to another. The two most popular methods use the "string" conversion and the "packing"  
How to store long number 
String Extended Numbers
In this method, long numbers are stored as vectors of characters, each representing a digit in 
base 256. Input numbers are converted from decimal to 256 base and vice versa for output. All 
internal computations are in 256 base. this requires only 16 bit for storing and a 32 bit 
accumulator for computing. Here is an example of how to convert the number 456789 into 
string 
(
)
(
)
256
10
6, 248, 85
456789 ≡
String = chr(6)&chr(248)&chr(85) 
This method is very fast, and efficient algorithms for the input-output conversion have been 
realized. A good explanation of this method can be found in "NUMERICAL RECIPES in C - The 
Art of Scientific Computing", Cambridge University Press, 1992, pp. 920-928. In this excellent 
work you can also find efficient routines and functions to implement an arbitrary-precision 
arithmetic. 
Perhaps the most critical factor of this method is the debug and test activity. It will be true that 
the computer does not care about the base representation of numbers, but programmers 
usually do it. During debugging, programmers examine lots and lots of intermediate results, 
and they must always translate them from base 256 to 10. For this kind of programs, the 
debugging and tuning activity usually takes 80 - 90% of the total develop time.  
Packet Extended Numbers
This method avoids converting the base representation of long numbers and stores them as 
vectors of integers. This is adopted in all FORTRAN77 routines of  "MPFUN: A MULTIPLE 
PRECISION FLOATING POINT COMPUTATION PACKAGE" by NASA Ames Research 
Center. For further details we remand to the refined work of David H. Bailey published in 
"TRANSACTIONS ON MATHEMATICAL SOFTWARE", Vol. 19, No. 3, SEPTEMBER, 1993, 
pp. 286-317. 
Of course this add-in does not have the performance of the mainframe package (16 million 
digits) but the method is substantially the same. Long numbers are divided into packets of 6 or 
7 digits.  
For example, the number  601105112456789   in packet form of 6 digits becomes the following 
integer vector: 
456789
105112
601
As we can see, the sub-packet numbers are in decimal base and the original long number is 
perfectly recognizable. This a great advantage for the future debugging operation. 
An example of arithmetic operation - the multiplication A x B = C - between two packet numbers 
is shown in the following: 
A
B
456789
654321
105112
X
601
The schema below illustrates the algorithm adopted: 
Xnumbers Tutorial 
18 
carry
A
B
C'
C
0
+
456789
x
654321
=
298886635269
=> 
635269
298886
+
105112
x
654321
=
68777287838
=> 
287838
68777
+
601
x
654321
=
393315698
=> 
315697
393
+
0
x
654321
=
393
=> 
393
The numbers in the accumulator C' are split into two numbers. The last 6 digits are stored in C, 
the remaining left digits are copied into the carry register of the next row. 
As we can see, the maximum number of digits is reached in accumulator C'. In the other 
vectors, the numbers require only six digits at most. The maximum number of digits for a single 
packet depends of the hardware accumulator. Normally, for a 32-system, is 6 digits.. This is 
equivalent to conversion from a decimal to a 10^6 representation base. This value is not critical 
at all. Values from 4 to 7 affect the computation speed of about 30 %. But it does not affect the 
precision of the results in any case. 
Xnumbers Tutorial 
19 
Functions 
General Description 
Xnumbers is an Excel addin (xla) that performs multi-precision floating point arithmetic. 
Perhaps the first package providing functions for Excel with precision from 15 up to 200 
significant digits. It is compatible with Excel XP and consists of a set of more than 270 functions 
for arithmetic, complex, trigonometric, logarithmic, exponential and matrix calculus covering the 
following main subjects. 
The basic arithmetical functions: addition, multiplication, and division were developed at the 
first. They form the basic kernel for all other functions. 
All functions perform multiprecision floating point computations for up to 200 significant digits. 
You can set a precision level separately for each function by an optional parameter.  By default, 
all functions use the precision of 30 digits, but the numerical precision can easily be regulated 
continually from 1 to 200 significant digits. In advance some useful constants like 
π
, Log(2), 
Log(10) are provided with up to 400 digits. 
Using Xnumbers functions 
These functions can be used in an Excel worksheet as any other built-in function. After the 
installation, look up in the functions library or click on the icon 
Upon "user's" category you will find the functions of this package.  
From version 2.0 you can manage functions also by the Function Handbook. It starts by the 
Xnumbers menu 
All the functions for multi-precision computation begin with "x". The example below shows two 
basic functions for the addition and subtraction. 
As any other functions they can also be nested to build complex expressions. In the example 
below we compute x^4 with 30 digits precision 
As we can see, Xnumbers is  powerful,  but it does slow down the computation considerably 
Therefore, use the multiprecision x-functions only when they are really necessary. 
Documents you may be interested
Documents you may be interested