﻿
where the instantaneous expected inﬂation, …(x
t
), is also an afﬁne function of the state vari-
ables in the form of
…(x
t
)= ‰
0
+‰
0
1
x
t
;
(7)
and the unexpected inﬂation, ¾
0
q
dB
t
?
q
dB
?
t
,is allowed to load both on shocks that move
the nominal interest rates and expected inﬂation, dB
t
,and on an orthogonal shock dB
?
t
with
dB
t
dB
?
t
=0. The orthogonal shock is included to capture short-run inﬂation variations that
may not be spanned by yield curve movements.
Areal bond can be thought of as a nominal asset paying realized inﬂation upon maturity.
Therefore, the real and the nominal pricing kernels are linked by the no-arbitrage relation
M
R
t
=M
N
t
Q
t
:
(8)
Applying Ito’s lemma to Equation (8) and using Equations (3) to (7), the real pricing kernel
can be derived as following the process
dM
R
t
=M
R
t
= dM
N
t
=M
N
t
+dQ
t
=Q
t
+(dM
N
t
=M
N
t
)¢ (dQ
t
=Q
t
)
(9)
= ¡r
R
(x
t
)dt ¡ ‚
R
(x
t
)
0
dB
t
¡(¢)dB
?
t
(10)
where the real short rate is given by
r
R
(x
t
)= ‰
R
0
+‰
R
0
1
x
t
;
(11)
and the vector of real prices of risk is given by
R
(x
t
)= ‚
R
0
+⁄
R
x
t
;
(12)
in which the coefﬁcients are linked to their nominal counterparts by
R
0
= ‰
N
0
¡‰
0
¡
1
2
0
q
¾
q
?2
q
)+‚
N
0
0
¾
q
(13)
R
1
= ‰
N
1
¡‰
1
+⁄
N
0
¾
q
(14)
R
0
= ‚
N
0
¡¾
q
(15)
R
= ⁄
N
:
(16)
3.3 Nominal and Real Bond Prices
By the deﬁnition of nominal and real pricing kernels, the time-t prices of ¿-period nominal
and real bonds, P
N
t;¿
and P
R
t;¿
,are given by
P
i
t;¿
=E
t
(M
i
t+¿
)=M
i
t
; i = N;R:
(17)
8
Pdf form creation - C# PDF Field Edit Library: insert, delete, update pdf form field in C#.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WPF
Online C# Tutorial to Insert, Delete and Update Fields in PDF Document
create a fillable pdf form online; adding form fields to pdf
Pdf form creation - VB.NET PDF Field Edit library: insert, delete, update pdf form field in vb.net, ASP.NET, MVC, Ajax, WPF
How to Insert, Delete and Update Fields in PDF Document with VB.NET Demo Code
change font size pdf form reader; change font in pdf fillable form
The bond prices can be also expressed in terms of a risk-neutral expectation as
P
i
t;¿
=E
Q
t
µ
exp
µ
¡
Z
t+¿
t
r
i
s
ds
¶¶
; i = N;R:
(18)
where the superscript Q denotes the risk-neutral measure.
Following the standard literature,
11
it is straightforward to derive a closed-form solution
for the bond prices:
P
i
t;¿
=exp
¡
A
i
¿
+B
i0
¿
x
t
¢
; i = N;R;
(19)
where
dA
i
¿
d¿
=¡‰
i
0
+B
i0
¿
¡
K„ ¡ §‚
i
0
¢
+
1
2
B
i0
¿
§§
0
B
i
¿
(20)
dB
i
¿
d¿
=¡‰
i
1
¡
¡
K+ §⁄
i
¢
0
B
i
¿
(21)
with initial conditions A
i
0
=0 and B
i
0
=0
3£1
.
Nominal and real yields therefore both take the afﬁne form,
y
i
t;¿
=a
i
¿
+b
i0
¿
x
t
; i = N;R;
(22)
i
and b
i
are given by
a
i
¿
=¡A
i
¿
=¿; b
i
¿
=¡B
i
¿
=¿;
(23)
3.4 Inﬂation Expectations and Inﬂation Risk Premiums
In this model, inﬂation expectations also take an afﬁne form,
I
t;¿
,E
t
(log(Q
t+¿
=Q
t
))=¿ = a
I
¿
+b
I0
¿
x
t
;
(24)
I
and b
I
are given by
a
I
¿
= ‰
0
+(1=¿)‰
0
1
Z
¿
0
ds(I ¡ e
¡Ks
)„
b
I
¿
= (1=¿)
Z
¿
0
dse
¡K
0
s
1
;
From equations (22)-(24), it can be seen that both the breakeven inﬂation rate, deﬁned as
the difference between zero coupon nominal and real yields of identical maturities, and the
11
See Dufﬁe and Kan (1996) and Dai and Singleton (2000), among others.
9
C# Word: How to Create Word Online Viewer in C# Application
and TIFF web viewer creating, you can go to PDF Web Viewer Creation in C#.NET and TIFF Web Viewer Creation in C# web page, you should add a new Web Form to your
create a fillable pdf form in word; add editable fields to pdf
VB.NET PDF - Create PDF Online with VB.NET HTML5 PDF Viewer
change font in pdf form; adding an image to a pdf form
inﬂation risk premium, deﬁned as the difference between the breakeven inﬂation rate and the
expected log inﬂation over the same horizon, are afﬁne in the state variables:
BEI
t;¿
,y
N
t;¿
¡y
R
t;¿
=a
N
¿
¡a
R
¿
+(b
N
¿
¡b
R
¿
)
0
x
t
:
(25)
and
}
t;¿
,y
N
t;¿
¡y
R
t;¿
¡I
t;¿
=a
N
¿
¡a
R
¿
¡a
I
¿
+(b
N
¿
¡b
R
¿
¡b
I
¿
)
0
x
t
:
(26)
(27)
Using Equation (8) we can write the price of a ¿-period nominal bond as
P
N
t;¿
=E
t
(M
R
t+¿
Q
¡1
t+¿
)=(M
R
t
Q
¡1
t
):
(28)
It is then straightforward to show that the inﬂation risk premium }
t;¿
consists of a covariance
term, c
t;¿
,and a Jensen’s inequality term, J
t;¿
:
}
t;¿
=c
t;¿
+J
t;¿
;
(29)
where
c
t;¿
· ¡(1=¿)log[1 + cov
t
(M
R
t+¿
=M
R
t
;Q
t
=Q
t+¿
)=(E
t
(M
R
t+¿
=M
R
t
)E
t
(Q
t
=Q
t+¿
))]
J
t;¿
· ¡(1=¿)[log(E
t
(Q
t
=Q
t+¿
)) ¡ E
t
(log(Q
t
=Q
t+¿
))]:
In practice, theJensen’s inequality term isfairly small, and theinﬂation risk premiumis mainly
determined by the covariance between the real pricing kernel and inﬂation,
12
and can assume
either a positive or a negative sign depending on how the two terms covaries over time.
3.5 A Four-Factor Model of TIPS Yields
Given the evidence presented in Section 2 on theexistence of a TIPS-speciﬁc factor, we allow
the TIPS yield to deviate from the true underlying real yield. The spread between the TIPS
yields and the true real yield,
L
t;¿
=y
T
t;¿
¡y
R
t;¿
;
(30)
12
An alternative deﬁnition of inﬂation risk premium used in the literature is }^
t;¿
=
y
N
t;¿
¡
¡
yR
t;¿
¡
1
¿
lnE
t
(Q
t
=Q
t+¿
)
¢
(See Buraschi and Jiltsov (2005)). The two deﬁnitions differ by the Jensen’s in-
equality term J
t;¿
.
10
C# HTML5 PDF Viewer SDK to create PDF document from other file
Form Process. Data: Read, Extract Field Data. Data: Auto Fill-in Field Data. Field: Insert, Delete An advanced PDF loading and creation tool easily
pdf form maker; adding text fields to a pdf
VB.NET Image: Program for Creating Thumbnail from Documents and
to create thumbnail from multiple document and image formats, such as PDF, TIFF, GIF, BMP, etc. It is easy to use this VB.NET thumbnail creation control to
add jpg to pdf form; change font in pdf form field
mainly captures the liquidity premium TIPS investors demand for holding a less liquid instru-
ment, but could also reﬂect other factors that can potentially drive a wedge between the TIPS
yield and the true real yield.
13
Since the relative illiquidity of TIPS would lower TIPS prices
and raise TIPS yields, we would in general expect L
t;¿
to be positive.
We model L
t;¿
as containing a stochastic component and a deterministic component. To
model the stochastic part, we assume that the investors discount TIPS cash ﬂows by adjusting
the true instantaneous real short rate with a positive liquidity spread, resulting in a TIPS yield
that exceeds the true real yield by
L
s
t;¿
=¡(1=¿)logE
Q
t
µ
exp
µ
¡
Z
t+¿
t
(r
R
s
+l
s
)ds
¶¶
¡y
R
t
;
(31)
where L
s
t;¿
denotes the stochastic part of the TIPS liquidity premium, l
t
is the instantaneous
liquidity spread, and the superscript Qrepresentsexpectation taken underthe risk-neutralmea-
sure.
14
This is analogous to the corporate bond pricing literature,
15
where defaultable bonds
are priced by discounting future cash ﬂows using a default- and liquidity-adjusted short rate.
Note that, without the instantaneous liquidity spread l in Equation (31), the TIPS yield be-
comes identical to the true real yield y
R
and the stochastic part of the TIPS liquidity premium
becomes zeros (see Equation (18)).
t
is given by
l
t
= °
0
x
t
+~°~x
t
;
(32)
where ° is a 3 £ 1 constant matrix, ~° is a constant and ~x
t
follows the Vasicek (1977) process
and is independent of all other state variables contained in x
t
:
d~x
t
=~•(~„ ¡ ~x
t
)dt + ~¾dW
t
;
(33)
in which dW
t
dB
t
=0
3£1
.A non-zero ° allows the liquidity premium to be correlated with the
state of economy. We assume that the independent liquidity factor ~x
t
carries a market price of
risk of
~
t
=
~
0
+
~
1
~x
t
:
(34)
13
Such factorsinclude indexation lagsand seasonal and short-run variationsin headline CPI prices.
14Althoughourtreatmentismotivatedbytheliquidityconsideration,ourmodelofTIPSyieldscouldbealso
viewed more generally asa model inwhich TIPSyieldsof allmaturitiesare affected bya common TIPS-speciﬁc
factor.
15
See Dufﬁe and Singleton (1999), Longstaff, Mithal, and Neis(2005),Driessen (2005).
11
VB.NET Image: Web Image and Document Viewer Creation & Design
Our document & image web viewer for VB.NET can be used to view and print such documents and images as JPEG, BMP, GIF, PNG, TIFF, PDF, etc.
cannot edit pdf form; add form fields to pdf
C# PDF - Create Barcode on PDF in C#.NET
Form Process. Data: Read, Extract Field Data. Data: Auto Fill-in Field Data. Field: Insert, Delete, Update Field. C# PDF Barcode Creation Overview.
change font size in pdf form field; best program to create pdf forms
Appendix B shows that the stochastic part of the TIPS liquidity premium takes the afﬁne
form
L
s
t;¿
=
£
~a
¿
+(a
T
¿
¡a
R
¿
)
+
h
(b
T
¿
¡b
R
¿
)
0
~
b
¿
i
"
x
t
~x
t
#
(35)
Note that although we focus on a one-factor speciﬁcation for the liquidity factor ~x
t
, it is
straightforward to extend the model to incorporate multiple liquidity factors.
To accommodatepotential nonstationarities associated with the inception of theTIPS mar-
ket, wealso allow for a maturity-independent downward-trending deterministic component in
the liquidity premium, which takes the form
L
d
t
=(c
1
=2)[1 ¡ tanh(c
2
(t ¡ c
3
))];
(36)
where c
1
controls the initial level of TIPS liquidity premium, c
2
controls the speed that the
liquidity premium comes down over time, and c
3
controls the time when the decline is the
steepest. The backwards S-shaped hyperbolic tangent function is designed to yield a liquid-
ity premium that was high when the TIPS was ﬁrst introduced but decreases over time and
asymptotes towards zero. This is meant to capturethedepressed demand in a ﬂedgling market
The total liquidity premium on a ¿-year TIPS in our “full model” is then the sum of the
two components:
L
t;¿
=L
d
t
+L
s
t;¿
:
(37)
with the TIPS yields given by
y
T
t;¿
=y
R
t;¿
+L
t;¿
:
(38)
We shall refer to this model as Model L-IId. In the empirical part, we also estimate three
restricted versions of the full model. The model with the least restrictions, which we shall call
Model L-II, sets c
1
and hence the deterministic part of theliquidity premium to zero. The next
restricted model, which we shall term Model L-I, further sets ° = 0
3£1
in Equation (32), so
that theliquidity premiums on TIPS are not correlated with the nominal term structure factors.
This results in a model similar to those in Driessen (2005) and Longstaff, Mithal, and Neis
(2005), which model the liquidity premium in corporate bonds as a one-factor process that is
independent of the credit and interest rate factors. Finally, the most restricted model, which
we shall call Model NL, simply equate TIPS yields with the true real yields, i.e.,
y
T
t;¿
=y
R
t;¿
:
(39)
12
VB.NET PDF Library SDK to view, edit, convert, process PDF file
Rapidly and multiple PDF document (pages) creation and edit methods in VB.NET. Feel PDF File and Page Creation and Modification. Tell
can save pdf form data; add signature field to pdf
C# Excel: Tutorial for Web Excel Document Viewer Creation
Support saving modified Excel document PDF and TIFF files within NET Web Document Viewer for Excel - Creation in C#. Add a new Web Form (Default.aspx) to your C#
pdf form change font size; changing font size in pdf form field
This is the model studied by Chen, Liu, and Cheng (2005), although their speciﬁcation differ
from ours along other dimensions.
3.6 Discussions and Related Literature
Besides its tractability, the afﬁne-Gaussian bond pricing framework used here allows for a
ﬂexible correlation structure between the factors. As inﬂation risk premiums arise from the
correlation between the real pricing kernel and inﬂation, it is important to allow for a gen-
eral correlation structure. On the other hand, the afﬁne-Gaussian setup does not capture the
time-varying inﬂation uncertainty and therefore cannot further decompose inﬂation risk pre-
miumsinto thepartdueto time-varying inﬂation risks and time-varying pricesof inﬂation risk.
Nonetheless, the afﬁne-Gaussian model could still provide a reasonable estimate of inﬂation
risk premium, similar to the way it generates reasonable measures of term premia despite its
inability to capturetime-varying interest rate volatilities. Weview the general afﬁne-Gaussian
model as an important benchmark to be investigated before more sophisticated models can be
explored.
Some of the models studied in the earlier literature, such as Pennacchi (1991) and Camp-
bell and Viceira (2001), can be viewed asa special caseof thismodel. Forexample, Pennacchi
(1991)’smodel corresponds to atwo-factor version of ourmodel with constant marketprice of
risk. Campbell and Viceira (2001) is also aspecial case of thismodel, but their real term struc-
ture has a lower dimension than the nominal term structure (nominal yields are described by
2factors and real yields are described by 1 factor). In this paper, we let thereal term structure
have as many factors as the nominal term structure; if the real term structure is truly lower-
dimensional than nominal term structure, welet the datadecide on that. A related point is that
in a reduced-form setup like ours, one cannot make a distinction between real and nominal
factors, as correlation effects in the general model make such a distinction meaningless.
To our knowledge, this is the ﬁrst paper to model liquidity premium in TIPS in a no-
arbitrage framework. There is a large literature studying the pricing implications of indexed
bonds using data from other countries with longer histories of issuing inﬂation linked secu-
rities,
16
There have also been studies of US real yields and inﬂation risk premia that use
16SeeWoodward(1990),BarrandCampbell(1997),Evans(1998),Remolona,Wickens,andGong(1998)and
Risa (2001) for the UK, Kandel, Ofer, and Sarig (1996) for Isreal and H¨ordahl and Tristani (2007) for the Euro
13
C# PDF: PDF Document Viewer & Reader SDK for Windows Forms
application form (Here, we take a blank form as an example); Now, with simple C#.NET code, you can easily open a file dialog and load your PDF document in
add form fields to pdf without acrobat; pdf forms save
VB.NET PowerPoint: VB Codes to Create Linear and 2D Barcodes on
as 2d barcodes QR Code, Data Matrix, PDF-417, etc add barcode, which will be in the form of REImage Basic .NET code for a certain barcode creation on PowerPoint
best way to create pdf forms; add an image to a pdf form
realized inﬂation
17
or survey inﬂation forecasts
18
without incorporating information from in-
dexed bonds. Dueto theshort datahistory, studiesusing U.S. inﬂation-linked assets, including
TIPS or inﬂation swaps, are fairly recent and relatively few.
19
In addition, most of these stud-
ies take TIPS at their face value, and typically ﬁnd a real yield that seems too high as well
as inﬂation risk premium estimates that are insigniﬁcant or negative in the early sample when
TIPS was ﬁrst introduced. In contrast, this paper shows that there is a persistent liquidity
premium component in TIPS prices, which, if not properly taken account of, will bias the
results.
4 Empirical Methodology
4.1 Identiﬁcation and Summary of Models
We only impose restrictions that are necessary for achieving identiﬁcation so as to allow a
maximally ﬂexible correlation structure between the factors, which has shown to be critical
in ﬁtting the rich behavior in risk premiums that we observe in the data.
20
In particular, we
employ the following normalization:
„= 0
3£1
; § =
2
6
6
4
0:01
0
0
§
21
0:01
0
§
31
§
32
0:01
3
7
7
5
; K =
2
6
6
4
K
11
0
0
0
K
22
0
0
0
K
33
3
7
7
5
; ~¾ = 0:01:
(40)
and leave all other parameters unrestricted. It can be shown that any speciﬁcation of the
afﬁne Gaussian model that has a K matrix with all-real eigenvalues can be transformed to this
form.
21
area.
17
See, e.g.,Ang, Bekaert, and Wei (2008).
18
See, e.g.,Pennacchi (1991),Foresi, Penati, and Pennacchi (1997) and Brennan,Wang, and Xia (2004).
19
To our knowledge, this paper and a contemporaneous study by Chen, Liu, and Cheng (2005) are the ﬁrst
two to study TIPS in a no-arbitrage framework. Otherpapersanalyzing TIPSor inﬂation swapsinclude Chernov
and Mueller(2007),Adrian andWu (2008),Haubrich, Pennacchi, and Ritchken (2008),Christensen,Lopez, and
Rudebusch (2008), Grishchenko and Huang (2008).
20
See Dufﬁe and Kan (1996) and Dai and Singleton (2000).
21
With normalization (40), the speciﬁcation we estimate in this paper can be shown to be equivalent to that
of Sangvinatsos and Wachter (2005). The main difference between their paper and ours is empirical: they use
amuch longer sample, which would be desirable if the relationship between inﬂation and interest rates can be
assumed to be stable.
14
To summarize, we estimate four modelsthat differ in how TIPS liquidity premium ismod-
eled, including one model that equates TIPS yields with true real yields and assumes zero
liquidity premium on TIPS (Model NL), a model with an independent liquidity factor (Model
L-I), a model allowing the TIPS liquidity premium to be correlated with other state variables
(Model L-II), and the most general model (Model L-IId) in which TIPS liquidity premiums
also contain a deterministic trend. Table 2 summarizes the models and the parameter restric-
tions. Two things are worth noting here: First, as shown in Section 3.5, Models NL, L-I and
L-II can all be considered as special cases of Model L-IId. Second, Model NL has a 3-factor
representation of TIPS yields, while in all other models TIPS yields have a 4-factor speciﬁca-
tion.
4.2 Data
We use 3- and 6-month, 1-, 2-, 4-, 7-, and 10-year nominal yields and CPI-U data from Jan-
uary 1990 to March 2007. In contrast, our TIPS yields are restricted by data availability and
covera shorter period from January 1999 to March 2007, with the earlier period without TIPS
data (1990-1998) treated as missing observations. Both nominal and TIPS yields, shown in
Figure 4, are based on zero-coupon yield curves ﬁtted at the Federal Reserve Board
22
and are
sampled at the weekly frequency, while CPI-U inﬂation is available monthly and assumed to
be observed on the last Wednesday of the current month.
23
As discussed in more details in
Appendix A, shorter-maturity TIPS yields are affected to a larger degree by the problem of
indexation lags. In addition, no more than one TIPS with a maturity of below 5 years existed
before2002, hencenear-maturity zero-coupon TIPS yieldscannot bereliably estimated during
that period. We therefore only use 5-, 7-, and 10-year TIPS yields in our estimation. Because
the modelsweestimate do not accommodate seasonalities, weuse seasonally-adjusted CPIin-
ﬂation in the estimation. TIPS are indexed to non-seasonally-adjusted CPI; however, our use
of seasonally-adjusted CPI is not expected to matter much for the relatively long maturities
22NominalyieldsarebasedontheSvensson(1994)curvespeciﬁcationfortheentiresample;TIPSyieldsare
based on the Nelson and Siegel (1987)curve speciﬁcation prior to January 2004 and the Svensson (1995) curve
speciﬁcation thereafter. See G¨urkaynak, Sack, and Wright (2007, 2009) for more details.
23
Here we abstract fromthe real-time data issue by assuming that investorscorrectly infer the current inﬂation
rate in a timely fashion.
15
that we examine.
The sample period 1990-2007 was chosen as a compromise between having more data
in order to improve the efﬁciency of estimation, and having a more homogeneous sample so
as to avoid possible structural breaks
24
in the relation between term structure variables and
inﬂation. This sample period roughly spans Greenspan’s tenure and a little bit of Bernanke’s
as well.
Results from Kimand Orphanides (2006)suggestthat thestandard techniqueof estimating
our models using only nominal and TIPS yields and inﬂation data for a relative short sample
period of 1990-2007 will almost surely run into small sample problems: variables like K
and ⁄
N
may not be reliably estimated, and the estimated model typically generates a path of
expected future short rate over the next 5 to 10 years that is too smooth compared to survey-
based measures of market expectations.
25
Therefore, we supplement the aforementioned data
with survey forecasts of 3-month T-bill yields to help stabilize the estimation and to better pin
down some of the model parameters. Note that survey inﬂation forecast data are not used in
the estimation, as we would like to get a measure of inﬂation expectations from yields data,
independently of other sources of information about inﬂation expectation.
To be speciﬁc, we use the 6-month- and 12-month-ahead forecasts of the 3-month T-bill
yield from Blue Chip Financial Forecasts, which are available monthly, and allow the size
of the measurement errors to be determined within the estimation. We also use long-range
forecast of 3-month T-bill yield over the next 5 to 10 years from the same survey, which
are available twice a year, with the standard deviation of its measurement error ﬁxed at a
fairly large value of 0.75% at an annual rate. This is done to prevent the long-horizon survey
forecasts from having unduly strong inﬂuence on the estimation, and can be viewed as similar
to a quasi-informative prior in a Bayesian estimation.
We denote the short-horizon survey forecasts by f
t;6m
and f
t;12m
and the long-range fore-
cast by f
t;long
. The standard deviation of their measurement errors are denoted denoted
f;6m
;–
f;12m
and –
f;long
,respectively. These survey-based forecasts are taken as noisy mea-
sures of corresponding truemarket expectations. Morespeciﬁcally, we have that for the short-
24
The 1979-83 episode of Fed’s experiment with reserve targeting is a well known example.
25
Resultsfor our models based on the conventional estimation method are available upon request.
16