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200 basis points to below 0.5% by the end of 2008 before returning to the pre-Lehman level over
the following year; throughout the same period, survey inflation expectations were practically
unchanged. For inflation risk premiums to be the sole source of such notable disparities between
TIPS BEI and survey forecasts, they would need to be deeply negative during both episodes and
highly volatile. Economic theory does no rule out negative inflation risk premiums per se, as
noted by Piazzesi and Schneider (2007) and Campbell, Sunderam, and Viceira (2013). However,
as summarized by Bekaert and Wang (2010, Table 11), most studies in the literature do find
inflation risk premiums to be positive on average and relatively smooth during our sample
period.
12
These findings therefore cast doubt on the ability of inflation risk premiums alone to
account for these significant and sometimes volatile discrepancies.
Apositive TIPS liquidity premium, on the other hand, could push up TIPS yields and push
down TIPS BEI below the true BEI; a large enough TIPS liquidity premium could even outweight
apositive inflation risk premium and depress the TIPS BEI to levels below survey inflation
forecasts. Part of the volatility of the TIPS BEI may also reflect fluctuations in liquidity
premiums. Indeed, as shown in Panel D of Table 1, three proxies of the TIPS-market liquidity
conditions explain about 60% of the difference between the quarterly 10-year SPF inflation
forecast and the 10-year TIPS BEI over the full sample. To formally test this hypothesis, we need
aframework for identifying and measuring the relevant components, including inflation
expectations, inflation risk premiums, and the potential TIPS liquidity premiums. For this
purpose, we now switch to the no-arbitrage term structure modeling framework and re-examine
the TIPS liquidity hypothesis in Section VI.
[Insert Table 1 about here.]
[Insert Figure 2 about here.]
12
See, for example,Campbell and Shiller(1996),Foresi et al. (1997), Veronesi and Yared (1999), Buraschi and
Jiltsov (2005), Ang et al.(2008),Haubrich et al.(2012),Chernov and Mueller (2012), and H¨ordahl and Tristani
(2014).
8
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III. A Joint Model of Nominal Yields, TIPS yields, and
Inflation
We use a no-arbitrage pricing framework that models nominal yields, TIPS yields and
inflation jointly. This approach avoids the tight assumptions that go into structural, utility-based
models, while still requiring the cross section of yields and inflation to be priced in an internally
consistent manner that is free of arbitrage opportunities.
A. State Variable Dynamics and the Nominal Pricing Kernel
We assume that real yields, expected inflation, and nominal yields are all driven by a vector of
three latent variables, x
t
=[x
1t
;x
2t
;x
3t
]
0
,that follows a multivariate Gaussian process,
(2)
dx
t
=K(   x
t
)dt +dB
t
;
where B
t
is an 3 1 vector of standard Brownian motion. The nominal pricing kernel takes the
form
(3)
dM
N
t
=M
N
t
= r
N
(x
t
)dt   
N
(x
t
)
0
dB
t
;
with the nominal short rate and nominal prices of risk given by
r
N
(x
t
)= 
N
0
+
N0
1
x
t
;
(4)
N
(x
t
)= 
N
0
+
N
x
t
:
(5)
Note that the nominal term structure in this paper is fairly standard and falls into the “essentially
affine” A
0
(3) category developed by Duffee (2002).
9
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B. Inflation and the Real Pricing Kernel
We assume that the price level process takes the form:
(6)
dlog Q
t
=(x
t
)dt + 
0
q
dB
t
+
?
q
dB
?
t
:
where the instantaneous expected log inflation, (x
t
), is an affine function of the state variables:
(7)
(x
t
)= 
0
+
0
1
x
t
:
Unexpected inflation consists of a component, 
0
q
dB
t
,that loads on shocks that move the nominal
interest rates and expected inflation, dB
t
,and a component, 
?
q
dB
?
t
,that loads on an orthogonal
shock dB
?
t
,with dB
t
dB
?
t
=0
31
.The orthogonal shock is included to capture short-run inflation
variations that may not be spanned by yield curve movements.
13
Areal bond can be thought of as a nominal asset paying realized inflation upon maturity.
Therefore, the real and the nominal pricing kernels are linked by the no-arbitrage relation
(8)
M
R
t
=M
N
t
Q
t
:
As detailed in Appendix A, the real pricing kernel follows the dynamics
(9)
dM
R
t
=M
R
t
= r
R
(x
t
)dt   
R
(x
t
)
0
dB
t
()dB
?
t
C. Nominal and Real Bond Yields
The time-t prices of -period nominal and real bonds, P
N
t;
and P
R
t;
,are given by
(10)
P
i
t;
=E
t
(M
i
t+
)=M
i
t
; i = N;R:
13
See Kim (2009)for more discussions about such variations.
10
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They can also be expressed in terms of expectations taken under the risk-neutral measure Q
(11)
P
i
t;
=E
Q
t
exp
Z
t+
t
r
i
s
ds

; i = N;R:
Their closed-form solution can be derived following the standard literature:
14
(12)
P
i
t;
=exp
A
i
+B
i0
x
t
; i = N;R;
where
dA
i
d
= 
i
0
+B
i0
K   
i
0
+
1
2
B
i0

0
B
i
(13)
dB
i
d
= 
i
1
K+
i
0
B
i
(14)
with initial conditions A
i
0
=0 and B
i
0
=0
31
.
Nominal and real yields therefore both take the affine form,
y
i
t;
=a
i
+b
i0
x
t
; i = N;R;
(15)
with factor loadings a
i
= A
i
= and b
i
= B
i
=.
D. Inflation Expectations and Inflation Risk Premiums
In this model, inflation expectations also take an affine form,
(16)
I
t;
,E
t
(log(Q
t+
=Q
t
))= = a
I
+b
I
0
x
t
;
14
See Duffie and Kan(1996) and Dai and Singleton (2000), among others.
11
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where the factor loadings a
I
and b
I
are given by
a
I
=
0
+(1=)
0
1
Z
0
ds(I   e
Ks
)
b
I
=(1=)
Z
0
dse
K
0
s
1
;
From equations (15)-(16), it can be seen that the BEI, defined as before, and the inflation risk
premium, defined as the difference between the BEI and the expected log inflation over the same
horizon and denoted by }
t;
,are both affine in the state variables:
BEI
t;
,y
N
t;
y
R
t;
=a
N
a
R
+(b
N
b
R
)
0
x
t
:
(17)
}
t;
,y
N
t;
y
R
t;
I
t;
=a
N
a
R
a
I
+(b
N
b
R
b
I
)
0
x
t
:
(18)
Using equation (8) we can write the price of a -period nominal bond as
(19)
P
N
t;
=
E
t
[M
R
t+
Q
1
t+
]
M
R
t
Q
1
t
:
It is then straightforward to show that the inflation risk premium }
t;
consists of a covariance
term, c
t;
,and a Jensen’s inequality term, J
t;
:
(20)
}
t;
=c
t;
+J
t;
;
where
c
t;
 (1=)log[1 + cov
t
(M
R
t+
=M
R
t
;Q
t
=Q
t+
)=(E
t
(M
R
t+
=M
R
t
)E
t
(Q
t
=Q
t+
))]:
In practice, the Jensen’s inequality term is fairly small, and the inflation risk premium is mainly
determined by the covariance between the real pricing kernel and inflation, and can assume either
apositive or a negative sign depending on how the two terms covaries over time.
12
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E. A TIPS-Specific Factor
Given the evidence presented in Section II on the existence of a TIPS-specific factor, we allow
the TIPS yield to deviate from the underlying real yield. The resulting yield spread,
L
t;
=y
T
t;
y
R
t;
,should primarily capture the liquidity premium TIPS investors demand for
holding an instrument that is less liquid than nominal Treasury securities, but may also reflect
other technical factors, such as seasonal variations in headline CPI and the embedded deflation
protection in TIPS. We examine the relative importance of each of these factors in Section VI.
Since the relative illiquidity of TIPS would raise TIPS yields, we would in general expect L
t;
to
be positive.
To model L
t;
,we assume that investors discount TIPS cash flows by adding a positive spread,
l
s
,to the instantaneous real short rate, resulting in a TIPS yield that exceeds the real yield by
(21)
L
t;
= (1=)log E
Q
t
exp
Z
t+
t
(r
R
s
+l
s
)ds

y
R
t
:
This is analogous to the corporate bond pricing literature, where defaultable bonds are priced by
discounting future cash flows using a default- and liquidity-adjusted short rate.
15
Without the
instantaneous spread l
t
in equation (21), the TIPS and the real yields y
R
coincide, and L
t;
becomes zero (see equation (11)).
We assume that l
t
has both a systematic component and a TIPS-specific component:
(22)
l
t
=
0
x
t
+~ ~x
t
;
where the TIPS-specific factor, ~x
t
,follows the Vasicek (1977) process and is independent of all
other state variables contained in x
t
:
(23)
d~x
t
=~(~   ~x
t
)dt + ~dW
t
;
15SeeDuffieandSingleton(1999),Longstaffetal.(2005),andDriessen(2005).
13
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with dW
t
dB
t
=0
31
.A non-zero   allows the TIPS-real yield spread to be correlated with the
other state variables in the economy. Finally, we assume that the idiosyncratic factor ~x
t
carries a
market price of risk of
(24)
~
t
=
~
0
+
~
1
~x
t
:
Appendix B shows that the spread between TIPS and real yields takes the affine form
(25)
L
t;
=
~a
+(a
T
a
R
)
+
(b
T
b
R
)
0
~
b
2
6
4
x
t
~x
t
3
7
5
:
Ignoring the indexation lag for now, the TIPS yield in this model is given by
(26)
y
T
t;
=y
R
t;
+L
t;
:
Appendix C shows that this model can be restated in a four-factor Gaussian framework, in which
the expanded state variables include x
t
and the demeaned TIPS-specific factor, ~x
t
~.
F. Indexation Lag
An indexation lag of about 2.5 months introduces an additional complication in the pricing of
TIPS. This implies that TIPS holders receive compensation for inflation over the 2.5 months prior
to the purchase date but are still exposed to inflation risks during the final 2.5 months before the
maturity or sale of the bond. In general, the yield on a -year indexed bond with an indexation lag
of l years differs from the yield on a fully indexed real bond for two reasons: first, inflation
between the two l-year periods could diverge, and second, investor would demand a risk premium
for bearing inflation risks over the final l-year period:
(27)
y
I
t;;l
=y
R
t;
+
1
E
t
log
Q
t+
Q
t+ l
log
Q
t
Q
t l
+}
IL
t;;l
;
14
where }
IL
t;;l
denotes the indexation lag premium.
Evans (1998) and Risa (2001) have found the indexation lag premium to be small, between 1.5
and 6 basis points, for U.K. inflation-linked gilts with an even longer indexation lag of 8 months.
Nonetheless, the indexation-lag effect on yields could be large during periods with significantly
above- or below-trend inflation. For example, annualized CPI inflation was running below  9%
in each of the last three months of 2008; over the same period, TIPS liquidity also reportedly
deteriorated rapidly. It is therefore important to explicitly account for the indexation lag.
To do so, we follow Risa (2001) and note that at time t, a -year indexed bond with a l-year
indexation lag is a claim to a nominal payoff of
Q
T l
Q
t l
,to be received at time T = t + . Assuming
that the current price level Q
t
is observed without error at time t, we first consider an artificial
indexed bond that pays
Q
T l
Q
t
at time T. Let y
I
t;;l
and ey
I
t;;l
represent the yields on the actual and
the artificial indexed bond, respectively. The relationship between the two yields is
y
I
t;;l
1
log E
t
M
N
T
M
N
t
Q
T l
Q
t l
1
log E
t
M
N
T
M
N
t
Q
T l
Q
t
1
log
Q
t
Q
t l
(28)
=ey
I
t;;l
1
log
Q
t
Q
t l
:
This implies that to derive the yield on the actual indexed bond, we can first calculate the
yield on the artificial indexed bond, ey
I
t;;l
,similarly to how we price the real bond, and then add
back the realized inflation over the previous 2.5 months. Finally, to incorporate the TIPS-specific
factor, the cash flows of both indexed bonds are discounted taking into account the instantaneous
TIPS spread, l
t
,specified in equation (22). Appendix D describes these steps in more details.
G. A Comparison to Previous Studies
Some of the models studied in the earlier literature, such as Pennacchi (1991) and Campbell
and Viceira (2001), can be viewed as special cases of this model. For example, Pennacchi
(1991)’s model corresponds to a two-factor version of our model with constant market price of
risk. Campbell and Viceira (2001) is also a special case of this model, as their real term structure
15
has a lower dimension than the nominal term structure. In this paper, we let the data decide the
dimensionality of the real term structure.
Overall, compared with previous studies, two main features of this model help us better
distinguish the inflation risk premium and the liquidity premium components of the TIPS BEI. On
the one hand, the use of price level data Q
t
in the estimation and the unrestricted correlation
structure between factor innovations help us better pin down expected inflation and the inflation
risk premium. On the other hand, the higher-dimensionality of the real term structure, the
estimation of which is assisted by the additional information from TIPS yields, allows us to better
identify the parameters governing the real yield dynamics. As a result, the spread between TIPS
and indexation lag-adjusted real yields is pinned down, and can be estimated separately from the
inflation risk premium. These features can only be fully appreciated when considered within the
context of the empirical methodology used to estimate the model, to which we now turn.
IV. Data and Empirical Methodology
A. Data
We use 3- and 6-month, 1-, 2-, 4-, 7-, and 10-year nominal yields and CPI-U data from
January 1990 to March 2013. In contrast, our TIPS yields are restricted by data availability and
cover a shorter period from January 1999 to March 2013, with the earlier period without TIPS
data (1990-1998) treated as missing observations.
16
We sample yields at the weekly frequency
and assume that the monthly CPI-U data is observed in the last week of the current month.
17
16
3-and 6-month T-bill yields are fromthe Federal Reserve Board’s H.15 release and converted to continuously
compounded basis. Longer-term nominal yieldsand TIPS yieldsare based on zero-coupon yield curvesfitted at the
Federal Reserve Board. In particular,nominal yieldsare based on the Svensson (1995) curve specification forthe
entire sample; TIPS yields are based on the Nelson and Siegel (1987) curve specification prior to January 2004 and
the Svensson (1995) curve specification thereafter. See G¨urkaynak,Sack, and Wright (2007, 2010)for details.
17
Here we abstract from the real-time data issue by assuming that investors correctly infer the current inflation
rate in a timely fashion.
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Shorter-maturity TIPS yields cannot be estimated reliably before 2002, as there was only one
TIPS with maturity below 5 years. We therefore only use 5-, 7-, and 10-year TIPS yields in our
estimation. All nominal and TIPS yields used in the estimation are plotted in Figure 3. Although
TIPS are indexed to non-seasonally-adjusted CPI, we use seasonally-adjusted CPI inflation
because the models we estimate do not accommodate seasonality; this is not expected to have a
big effect due to the relatively long maturities of our TIPS yields.
The sample period 1990-2013 was chosen as a compromise between utilizing more data to
improve the efficiency of estimation and having a more homogeneous sample with no structural
breaks in the relation between term structure variables and inflation.
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Further, to avoid running
into small sample problems, we follow Kim and Orphanides (2012) and supplement the data with
survey forecasts of short-term rates to help stabilize the estimation and better pin down some of
the model parameters. Specifically, we use the 6- and 12-month-ahead forecasts of the 3-month
T-bill rate from Blue Chip Financial Forecasts, which are available monthly, and allow the size of
the measurement errors to be determined within the estimation. We also use the semiannual
long-range (5 to 10 years ahead) forecast of the same rate, with the standard deviation of its
measurement error fixed at a fairly large value of 75 basis points at an annual rate. This is done to
prevent the long-horizon survey forecasts from having unduly strong influence on the estimation,
similarly to a quasi-informative prior in a Bayesian estimation.
Finally, in most cases, we include median SPF forecasts of average inflation over the
following year and over the next ten years as additional data inputs to model estimation. When
included, those survey forecasts are also treated as noisy measures of their model counterparts.
B. Identification and Summary of Models
We only impose restrictions that are necessary for achieving identification to allow a
maximally flexible correlation structure between the factors, which has shown to be critical in
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The 1979-83 episode of Fed’sexperiment with reserve targeting is a well known example.
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