Growth Models   187 
1.633 = 1.03
n
Now take the log of both sides 
log(1.633) = log(1.03
n
Use the exponent property of logs on the right side 
log(1.633)= n log(1.03) 
Now we can divide by log(1.03)  
=n
log(1.03)
log(1.633)
We can approximate this value on a calculator 
n ≈ 16.591 
Alternatively, after applying the exponent property of logs on the right side, we could have 
evaluated the logarithms to decimal approximations and completed our calculations using 
those approximations, as you’ll see in the next example.  While the final answer may come 
out slightly differently, as long as we keep enough significant values during calculation, our 
answer will be close enough for most purposes. 
Example 14 
Polluted water is passed through a series of filters. Each filter removes 90% of the remaining 
impurities from the water. If you have 10 million particles of pollutant per gallon originally, 
how many filters would the water need to be passed through to reduce the pollutant to 500 
particles per gallon? 
In this problem, our “population” is the number of particles of pollutant per gallon.  The 
initial pollutant is 10 million particles per gallon, so P
0
= 10,000,000.  Instead of changing 
with time, the pollutant changes with the number of filters, so n will represent the number of 
filters the water passes through. 
Also, since the amount of pollutant is decreasing with each filter instead of increasing, our 
“growth” rate will be negative, indicating that the population is decreasing instead of 
increasing, so r = -0.90. 
We can then write the explicit equation for the pollutant: 
P
n
= 10,000,000(1 – 0.90)
n
= 10,000,000(0.10)
n
To solve the question of how many filters are needed to lower the pollutant to 500 particles 
per gallon, we can set P
n
equal to 500, and solve for n. 
500 = 10,000,000(0.10)
n
Divide both sides by 10,000,000 
0.00005 = 0.10
n
Take the log of both sides 
log(0.00005) = log(0.10
n
)   
Use the exponent property of logs on the right side 
log(0.00005) = n log(0.10)   
Evaluate the logarithms to a decimal approximation 
-4.301 = n (-1)  
Divide by -1, the value multiplying n 
4.301 = n 
It would take about 4.301 filters.  Of course, since we probably can’t install 0.3 filters, we 
would need to use 5 filters to bring the pollutant below the desired level. 
Pdf security - C# PDF Digital Signature Library: add, remove, update PDF digital signatures in C#.net, ASP.NET, MVC, WPF
Help to Improve the Security of Your PDF File by Adding Digital Signatures
convert secure webpage to pdf; change pdf document security
Pdf security - VB.NET PDF Digital Signature Library: add, remove, update PDF digital signatures in vb.net, ASP.NET, MVC, WPF
Guide VB.NET Programmers to Improve the Security of Your PDF File by Adding Digital Signatures
convert locked pdf to word; change security settings pdf reader
188 
Try it Now 4 
India had a population in 2008 of about 1.14 billion people.  The population is growing by 
about 1.34% each year.  If this trend continues, when will India’s population reach 1.2 
billion? 
Logistic Growth 
In our basic exponential growth scenario, we had a recursive equation of the form 
P
n
= P
n-1 
+ r P
n-1
In a confined environment, however, the growth rate may not remain constant.  In a lake, for 
example, there is some maximum sustainable population of fish, also called a carrying 
capacity. 
Carrying Capacity 
The carrying capacity, or maximum sustainable population, is the largest 
population that an environment can support. 
For our fish, the carrying capacity is the largest population that the resources in the lake can 
sustain.  If the population in the lake is far below the carrying capacity, then we would expect 
the population to grow essentially exponentially.  However, as the population approaches the 
carrying capacity, there will be a scarcity of food and space available, and the growth rate 
will decrease.  If the population exceeds the carrying capacity, there won’t be enough 
resources to sustain all the fish and there will be a negative growth rate, causing the 
population to decrease back to the carrying capacity. 
If the carrying capacity was 5000, the growth rate 
might vary something like that in the graph 
shown.  Note that this is a linear equation with 
intercept at 0.1 and slope 
5000
0.1
, so we could 
write an equation for this adjusted growth rate as: 
r
adjusted
=
5000
0.11
5000
0.1
0.1
P
P
Substituting this in to our original exponential growth model for r gives 
1
1
1
5000
0.11
+
=
n
n
n
n
P
P
P
P
-0.1
0
0.1
0
5000
10000
Population
Growth Rate
VB.NET PDF Password Library: add, remove, edit PDF file password
RasterEdge XDoc.PDF SDK provides some PDF security settings about password to help protect your PDF document in VB.NET project. Set PDF security level.
pdf security; add security to pdf in reader
C# PDF Password Library: add, remove, edit PDF file password in C#
Able to change password on adobe PDF document in C#.NET. To help protect your PDF document in C# project, XDoc.PDF provides some PDF security settings.
decrypt pdf file; decrypt pdf with password
Growth Models   189 
Logistic Growth 
If a population is growing in a constrained environment with carrying capacity K, and 
absent constraint would grow exponentially with growth rate r, then the population 
behavior can be described by the logistic growth model: 
1
1
1
1
+
=
n
n
n
n
P
K
P
r
P
P
Unlike linear and exponential growth, logistic growth behaves differently if the populations 
grow steadily throughout the year or if they have one breeding time per year.  The recursive 
formula provided above models generational growth, where there is one breeding time per 
year (or, at least a finite number); there is no explicit formula for this type of logistic growth.   
Example 15 
A forest is currently home to a population of 200 rabbits.  The forest is estimated to be able 
to sustain a population of 2000 rabbits.  Absent any restrictions, the rabbits would grow by 
50% per year.  Predict the future population using the logistic growth model. 
Modeling this with a logistic growth model, r  = 0.50, K = 2000, and P
0
= 200.  Calculating 
the next year: 
290
200
2000
200
0.501
200
2000
0.501
0
0
0
1
=
+
=
+
=
P
P
P
P
We can use this to calculate the following year: 
414
290
2000
290
0.501
290
2000
0.501
1
1
1
2
+
=
+
=
P
P
P
P
A calculator was used to compute several more values: 
Plotting these values, we can see that the 
population starts to increase faster and the 
graph curves upwards during the first few 
years, like exponential growth, but then the 
growth slows down as the population 
approaches the carrying capacity. 
10 
P
200  290  414  578  784  1022  1272  1503  1690  1821  1902 
1821  1902 
0
500
1000
1500
2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Years
Population
Online Split PDF file. Best free online split PDF tool.
into Multiple ones. You can receive the PDF files by simply clicking download and you are good to go!. Web Security. We have a privacy
secure pdf file; copy locked pdf
Online Remove password from protected PDF file
If we need a password from you, it will not be read or stored. To hlep protect your PDF document in C# project, XDoc.PDF provides some PDF security settings.
secure pdf; pdf secure signature
190 
Example 16 
On an island that can support a population of 1000 lizards, there is currently a population of 
600.  These lizards have a lot of offspring and not a lot of natural predators, so have very 
high growth rate, around 150%.  Calculating out the next couple generations: 
960
600
1000
600
1.501
600
1000
1.501
0
0
0
1
=
+
=
+
=
P
P
P
P
1018
960
1000
960
1.501
960
1000
1.501
1
1
1
2
=
+
=
+
=
P
P
P
P
Interestingly, even though the factor that limits the growth rate slowed the growth a lot, the 
population still overshot the carrying capacity.  We would expect the population to decline 
the next year. 
991
1018
1000
1018
1.501
1018
1000
1.501
3
3
2
3
=
+
=
+
=
P
P
P
P
Calculating out a few more years and plotting the 
results, we see the population wavers above and 
below the carrying capacity, but eventually settles 
down, leaving a steady population near the carrying 
capacity. 
Try it Now 5 
A field currently contains 20 mint plants.  Absent constraints, the number of plants would 
increase by 70% each year, but the field can only support a maximum population of 300 
plants.  Use the logistic model to predict the population in the next three years. 
Example 17 
On a neighboring island to the one from the previous 
example, there is another population of lizards, but 
the growth rate is even higher – about 205%.   
Calculating out several generations and plotting the 
results, we get a surprise:  the population seems to 
be oscillating between two values, a pattern called a 
2-cycle.   
0
200
400
600
800
1000
1200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Years
Population
0
200
400
600
800
1000
1200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Years
Population
C# HTML5 Viewer: Deployment on AzureCloudService
RasterEdge.XDoc.PDF.HTML5Editor.dll. system.webServer> <validation validateIntegratedModeConfiguration="false"/> <security> <requestFiltering
advanced pdf encryption remover; decrypt pdf password online
C# HTML5 Viewer: Deployment on ASP.NET MVC
RasterEdge.XDoc.PDF.HTML5Editor.dll. system.webServer> <validation validateIntegratedModeConfiguration="false"/> <security> <requestFiltering
decrypt pdf password; create pdf security
Growth Models   191 
While it would be tempting to treat this only as a strange side effect of mathematics, this has 
actually been observed in nature.  Researchers from the University of California observed a 
stable 2-cycle in a lizard population in California
4
Taking this even further, we get more and more extreme behaviors as the growth rate 
increases higher.   It is possible to get stable 4-cycles, 8-cycles, and higher.  Quickly, though, 
the behavior approaches chaos (remember the movie Jurassic Park?). 
4
http://users.rcn.com/jkimball.ma.ultranet/BiologyPages/P/Populations2.html 
r=2.46  A 4-cycle
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Years
Population
r=2.9  Chaos!
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0
5
10
15
20
25
30
Years
Population
Online Convert PDF to HTML5 files. Best free online PDF html
Web Security. All your PDF and HTML files will be permanently erased from our servers after one hour. Not anyone has access to your
create pdf the security level is set to high; decrypt pdf online
Online Merge PDF files. Best free online merge PDF tool.
We try to make it as easy as possible to merge your PDF files. You don't need to adjust any settings and the conversion only takes a few seconds. Web Security.
decrypt pdf; change security settings on pdf
192 
Try it Now Answers 
1. Letting n = 0 correspond with 1976, then P
0
= 20,610.   
From 1976 to 2010 the number of stay-at-home fathers increased by  
53,555 – 20,610 = 32,945 
This happened over 34 years, giving a common different d of 32,945 / 34 = 969. 
P
n
= 20,610 + 969n 
Predicting for 2020, we use n = 44 
P
44
= 20,610 + 969(44) = 63,246 stay-at-home fathers in 2020. 
2. Using n = 0 corresponding with 2008,  
P
12
= (1+0.0134)
12 
(1.14) = about 1.337 billion people in 2020 
3. Here we will measure n in months rather than years, with n = 0 corresponding to the 
February when they went public.  This gives P
0
= 45 thousand.  October is 8 months later, so 
P
8
= 60.   
P
8
= (1+r)
P
60 = (1+r)
8
45 
8
)
(1
45
60
= +r
=1+r
45
60
8
1 0.0366
45
60
8
− =
r=
, or 3.66% 
The general explicit equation is P
n
= (1.0366)
45 
Predicting 24 months (2 years) after they went public: 
P
24
= (1.0366)
24 
45 = 106.63 thousand users. 
4. 1.14(1.0134)
n
= 1.2.   n = 3.853, which is during 2011 
5. 
33
20
300
20
0.701
20
300
0.701
0
0
0
1
=
+
 =
+
=
P
P
P
P
P
2
= 54 
P
3
= 85 
Growth Models   193 
Exercises 
Skills 
1.  Marko currently has 20 tulips in his yard.  Each year he plants 5 more. 
a.  Write a recursive formula for the number of tulips Marko has 
b.  Write an explicit formula for the number of tulips Marko has 
2.  Pam is a Disc Jockey.  Every week she buys 3 new albums to keep her collection 
current.  She currently owns 450 albums. 
a.  Write a recursive formula for the number of albums Pam has 
b.  Write an explicit formula for the number of albums Pam has 
3.  A store’s sales (in thousands of dollars) grow according to the recursive rule       
P
n
=P
n-1 
+ 15, with initial population P
0
=40. 
a.  Calculate P
1
and P
2
b.  Find an explicit formula for P
n
c.  Use your formula to predict the store’s sales in 10 years 
d.  When will the store’s sales exceed $100,000? 
4.  The number of houses in a town has been growing according to the recursive rule 
P
n
=P
n-1 
+ 30, with initial population P
0
=200. 
a.  Calculate P
1
and P
2
b.  Find an explicit formula for P
n
c.  Use your formula to predict the number of houses in 10 years 
d.  When will the number of houses reach 400 houses? 
5.  A population of beetles is growing according to a linear growth model. The initial 
population (week 0) was P
0
=3, and the population after 8 weeks is P
8
=67. 
a.  Find an explicit formula for the beetle population in week n 
b.  After how many weeks will the beetle population reach 187? 
6.  The number of streetlights in a town is growing linearly.  Four months ago (n = 0) 
there were 130 lights.  Now (n = 4) there are 146 lights.  If this trend continues, 
a.  Find an explicit formula for the number of lights in month n 
b.  How many months will it take to reach 200 lights? 
7.  Tacoma's population in 2000 was about 200 thousand, and had been growing by 
about 9% each year.  
a.  Write a recursive formula for the population of Tacoma 
b.  Write an explicit formula for the population of Tacoma 
c.  If this trend continues, what will Tacoma's population be in 2016? 
d.  When does this model predict Tacoma’s population to exceed 400 thousand? 
194 
8.  Portland's population in 2007 was about 568 thousand, and had been growing by 
about 1.1% each year.  
a.  Write a recursive formula for the population of Portland 
b.  Write an explicit formula for the population of Portland 
c.  If this trend continues, what will Portland's population be in 2016? 
d.  If this trend continues, when will Portland’s population reach 700 thousand? 
9.  Diseases tend to spread according to the exponential growth model. In the early days 
of AIDS, the growth rate was around 190%. In 1983, about 1700 people in the U.S. 
died of AIDS. If the trend had continued unchecked, how many people would have 
died from AIDS in 2005? 
10. The population of the world in 1987 was 5 billion and the annual growth rate was 
estimated at 2 percent per year. Assuming that the world population follows an 
exponential growth model, find the projected world population in 2015. 
11. A bacteria culture is started with 300 bacteria.  After 4 hours, the population has 
grown to 500 bacteria.  If the population grows exponentially, 
a.  Write a recursive formula for the number of bacteria 
b.  Write an explicit formula for the number of bacteria 
c.  If this trend continues, how many bacteria will there be in 1 day? 
d.  How long does it take for the culture to triple in size? 
12. A native wolf species has been reintroduced into a national forest.  Originally 200 
wolves were transplanted.  After 3 years, the population had grown to 270 wolves.  If 
the population grows exponentially, 
a.  Write a recursive formula for the number of wolves 
b.  Write an explicit formula for the number of wolves 
c.  If this trend continues, how many wolves will there be in 10 years? 
d.  If this trend continues, how long will it take the population to grow to 1000 
wolves? 
13. One hundred trout are seeded into a lake.  Absent constraint, their population will 
grow by 70% a year.  The lake can sustain a maximum of 2000 trout.   Using the 
logistic growth model,  
a.  Write a recursive formula for the number of trout 
b.  Calculate the number of trout after 1 year and after 2 years. 
14. Ten blackberry plants started growing in my yard.  Absent constraint, blackberries 
will spread by 200% a month.  My yard can only sustain about 50 plants.  Using the 
logistic growth model,  
a.  Write a recursive formula for the number of blackberry plants in my yard 
b.  Calculate the number of plants after 1, 2, and 3 months 
Growth Models   195 
15. In 1968, the U.S. minimum wage was $1.60 per hour. In 1976, the minimum wage 
was $2.30 per hour. Assume the minimum wage grows according to an exponential 
model where n represents the time in years after 1960. 
a.  Find an explicit formula for the minimum wage. 
b.  What does the model predict for the minimum wage in 1960? 
c.  If the minimum wage was $5.15 in 1996, is this above, below or equal to what 
the model predicts? 
Concepts 
16. The population of a small town can be described by the equation P
n
= 4000 + 70n, 
where n is the number of years after 2005.  Explain in words what this equation tells 
us about how the population is changing. 
17. The population of a small town can be described by the equation P
n
= 4000(1.04)
n
where n is the number of years after 2005.  Explain in words what this equation tells 
us about how the population is changing. 
Exploration 
Most of the examples in the text examined growing quantities, but linear and exponential 
equations can also describe decreasing quantities, as the next few problems will explore. 
18. A new truck costs $32,000.  The car’s value will depreciate over time, which means it 
will lose value.  For tax purposes, depreciation is usually calculated linearly.  If the 
truck is worth $24,500 after three years, write an explicit formula for the value of the 
car after n years.  
19. Inflation causes things to cost more, and for our money to buy less (hence your 
grandparents saying, "In my day, you could buy a cup of coffee for a nickel"). 
Suppose inflation decreases the value of money by 5% each year. In other words, if 
you have $1 this year, next year it will only buy you $0.95 worth of stuff. How much 
will $100 buy you in 20 years? 
20. Suppose that you have a bowl of 500 M&M candies, and each day you eat ¼ of the 
candies you have.  Is the number of candies left changing linearly or exponentially? 
Write an equation to model the number of candies left after n days.   
21. A warm object in a cooler room will decrease in temperature exponentially, 
approaching the room temperature according to the formula 
(1 )
n
n
r
T
a
r
T
=
 where 
T
n
is the temperature after n minutes, r is the rate at which temperature is changing, a 
is a constant, and T
r
is the temperature of the room.  Forensic investigators can use 
this to predict the time of death of a homicide victim.  Suppose that when a body was 
discovered (n = 0) it was 85 degrees.  After 20 minutes, the temperature was 
measured again to be 80 degrees.  The body was in a 70 degree room.   
a.  Use the given information with the formula provided to find a formula for the 
temperature of the body. 
b.  When did the victim die, if the body started at 98.6 degrees?   
196 
22. Recursive equations can be very handy for modeling complicated situations for which 
explicit equations would be hard to interpret.  As an example, consider a lake in 
which 2000 fish currently reside.  The fish population grows by 10% each year, but 
every year 100 fish are harvested from the lake by people fishing.   
a.  Write a recursive equation for the number of fish in the lake after n years. 
b.  Calculate the population after 1 and 2 years.  Does the population appear to be 
increasing or decreasing? 
c.  What is the maximum number of fish that could be harvested each year 
without causing the fish population to decrease in the long run?   
23. The number of Starbucks stores grew after first opened.  The number of stores from 
1990-2007, as reported on their corporate website
5
, is shown below.   
a.  Carefully plot the data.  Does is appear to be changing linearly or 
exponentially? 
b.  Try finding an equation to model the data by picking two points to work from.  
How well does the equation model the data? 
c.  Try using an equation of the form 
0
k
n
P
=Pn
, where k is a constant, to model 
the data.  This type of model is called a Power model.  Compare your results 
to the results from part b.  Note: to use this model, you will need to have 1990 
correspond with n = 1 rather than n = 0. 
Year 
Number of 
Starbucks stores 
Year 
Number of 
Starbucks 
stores 
1990 
84 
1999 
2498 
1991 
116 
2000 
3501 
1992 
165 
2001 
4709 
1993 
272 
2002 
5886 
1994 
425 
2003 
7225 
1995 
677 
2004 
8569 
1996 
1015 
2005 
10241 
1997 
1412 
2006 
12440 
1998 
1886 
2007 
15756 
24. Thomas Malthus was an economist who put forth the principle that population grows 
based on an exponential growth model, while food and resources grow based on a 
linear growth model. Based on this, Malthus predicted that eventually demand for 
food and resources would out outgrow supply, with doom-and-gloom consequences.  
Do some research about Malthus to answer these questions. 
a.  What societal changes did Malthus propose to avoid the doom-and-gloom 
outcome he was predicting? 
b.  Why do you think his predictions did not occur? 
c.  What are the similarities and differences between Malthus's theory and the 
logistic growth model? 
5
http://www.starbucks.com/aboutus/Company_Timeline.pdf retrieved May 2009 
Documents you may be interested
Documents you may be interested